phương pháp lượng giác trong các bài toán đại số

1 Phương pháp lượng giác trong bài toán giải phương trình, bất phương1.1 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao.. 21 2 Phương pháp lượng giác trong chứ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI

TOÁN ĐẠI SỐ

BÙI THI MAI

NAM ĐỊNH, THÁNG 05 NĂM 2015

1 Phương pháp lượng giác trong bài toán giải phương trình, bất phương

1.1 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 5

1.2 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác 8

1.3 Phương pháp lượng giác trong bài toán giải phương trình 13

1.4 Phương pháp lượng giác trong bài toán bất phương trình 19

1.5 Phương pháp lượng giác trong bài toán hệ phương trình 21

2 Phương pháp lượng giác trong chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 25 2.1 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức 27

2.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 29

3 Phương pháp lượng giác trong bài toán cực trị 41

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN:

Dạy toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục đích và chứcnăng giáo dục toán học Đối với học sinh phổ thông, giải toán là một trongnhững hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Đây là loại hình hoạt độngriêng biệt, phổ biến và rất cần thiết giúp các em học sinh nắm vững kiến thức

và ứng dụng chúng vào thực tiễn một cách có hiệu quả, phát huy tính sáng tạo

và khả năng tư duy của học sinh

Một trong những nhiệm vụ cơ bản của dạy học toán là bồi dưỡng cho họcsinh kĩ năng tìm tòi, phát hiện và vận dụng các phương pháp vào việc giải toán,tìm được mối liên hệ giữa các vấn đề của toán học.Vận dụng phương pháp lượnggiác vào việc giải toán là một trong những biện pháp để giải quyết nhiệm vụnày Trong chương trình toán phổ thông, học sinh cũng đã được làm quen vớiphương pháp lượng giác tuy nhiên với một thời lượng không nhiều chỉ ở mộtmức độ nhất định Hơn nữa sách giáo khoa cũng không chỉ ra việc định hướng,tìm tòi lời giải bằng phương pháp lượng giác và cũng chưa chú trọng đến việcrèn luyện kĩ năng này Bên cạnh đó trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, caođẳng, các kì thi học sinh giỏi toán các cấp thường xuất hiện những bài toán màlời giải của chúng có thể tìm được bằng phương pháp lượng giác

Với mục đích tìm hiểu phương pháp lượng giác và hệ thống một cách đầy

đủ những ứng dụng của phương pháp đối với đại số và giải tích, tôi chọn đề tài

"Phương pháp lượng giác trong các bài toán đại số "

Nội dung chủ yếu của đề tài là dùng phương pháp lượng giác để chứng minhcác hệ thức đại số; giải phương trình; bất phương trình; hệ phương trình; giảicác bài toán cực trị bên cạnh đó cũng cung cấp cho học sinh và giáo viên một

số kinh nghiệm sáng tác các bài toán đại số

II THỰC TRẠNG (trước khi tạo ra sáng kiến)

- Nhiều học sinh ít hứng thú với môn Toán Sở dĩ học sinh chưa tìm thấyniềm vui, sự yêu thích trong hoạt động giải toán là do chưa được rèn luyện

những năng lực Toán học cần thiết đáp ứng yêu cầu của môn học.

- Những khó khăn nảy sinh khi học tập môn Toán nói chung và giải các bàitoán về Đại số nói riêng là: Học sinh phải nắm bắt và ghi nhớ khá nhiều kiểubài và cách làm, thời gian luyện tập lại ít, dẫn đến lối học tập thụ động, gặpnhiều khó khăn trước bài tập mới hoặc lạ Để góp phần giải quyết những khókhăn trên, dựa trên thực tiễn đã giảng dạy, trong báo cáo này tác giả trình bàymột số kinh nghiệm giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình hay cácbài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác trong đó chứa đựngtrong đó một số kĩ thuật dạy học và kĩ thuật sáng tác bài tập dành cho giáo viên

- Một số bài tập sau khiến học sinh rất lúng túng, khó tìm được cách giải :Bài toán 0.1 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình

- Nội dung bài viết này nhằm cung cấp cho học sinh và giáo viên một cách nhìn mới

về việc học toán Không chỉ là biết làm toán mà còn khơi dạy tư duy sáng tạo, lôgic Nộidung chính của bài viết này được chia thành hai chương:

+ Chương 1: Phương pháp lượng giác trong bài toán giải phương trình, bất phươngtrình và hệ phương trình

+ Chương 2: Phương pháp lượng giác trong bài toán đẳng thức, bất đẳng thức và cực trị

Trong mỗi chương tôi đều nêu lên phương pháp chung để giải các bài toán và các dấuhiệu nhận biết để giải Sau đây tôi xin trình bày nội dung từng chương

Phương pháp lượng giác trong bài toán giải phương trình, bất phương trình và

Để làm được điều này tôi giới thiệu một số ví dụ :

Ví dụ 1.1 Từ công thức

cos 6α = 32 cos6α − 48 cos4α + 18 cos2α − 1,

lấy cos α = x ta được

Ta có bài toán sau

Bài toán 1.1 (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình

64x6− 96x4+ 36x2− 3 = 0.

Lời giải Ta có

cos 6α = 2 cos23α − 1 = 2 4 cos3α − 3 cos α
2− 1

⇔ 6 cosα = 32 cos6α − 48 cos4α + 18 cos2α − 1 (1)

Phương trình đã cho tương đương

k2π 6

2 =

x5− 15x 3 + 45x

18 √

3 ⇔ x5− 15x3+ 45x − 27 = 0.

Ta có bài toán sau

Bài toán 1.2 Giải phương trình x5− 15x3+ 45x − 27 = 0

Lời giải

Tập xác định R Đặt x = 2 √

3t, thay vào phương trình đã cho ta được

288 √ 3t5− 360√3t3+ 90 √

cos 5α + cos α = 2 cos 3α cos 2α

⇔ cos 5α = 2 4 cos3α − 3 cos α
2 cos2α − 1
− cos α

⇔ cos 5α = 2 8 cos5α − 10 cos3α + 3 cos α
− cos α

⇔ cos 5α = 16 cos5α − 20 cos3α + 5 cos α.

Từ công thức (2) suy ra (1) có 5 nghiệm là t = cos



π 6.5 +

k2π 5



, k = 0, 1, 2, 3, 4.

Lưu ý Trong lời giải trên, phép đặt x = 2 √

3t được tìm ra như sau : Do công thức

cos 5α = 16 cos5α − 20 cos3α + 5 cos α, nên ta đặt x = at, với a sẽ tìm sau Thay x = at vàophương trình đã cho ta được a5t5− 15a 3 t3+ 45at − 27 = 0. Ta tìm a thoả mãn điều kiện

và rèn được tính tỉ mỉ của học sinh

Ví dụ 1.3 Từ công thức

sin 5α = 16 sin5α − 20 sin3α + 5 sin α,

lấy sin α = 2x ta được

sin 5α = 512x5− 160x3+ 10x.

Chọn 5α = π

3, ta có

√ 3

2 = 512x

5 − 160x3+ 10x ⇔ 1024x5− 320x3+ 20x − √

3 = 0.

Ta được bài toán sau

Bài toán 1.3 Giải phương trình

⇔ sin 5α = 2 3 sin α − 4 sin3α
1 − 2 sin2α
− sin α

⇔ sin 5α = 2 8 sin5α − 10 sin3α + 3 sin α
− sin α

⇔ sin 5α = 16 sin5α − 20 sin3α + 5 sin α.

Từ công thức (2) suy ra (1) có 5 nghiệm là t = sin



π 3.5 +

k2π 5

4 cos3t − 3 cos t =p1 − cos 2 t.

Đặt x = cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.4 (Đề nghị Olympic 30/04/2003-toán 10) Giải phương trình

4x3− 3x =p1 − x 2

Lời giải

Từ điều kiện |x| ≤ 1.

Đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Phương trình đã cho trở thành

4 cos3t − 3 cos t = sin t ⇔ cos 3t = cos(π

2 .

Nếu thay x bởi x − 1 ta được bài toán khó hơn

Bài toán 1.5 Giải phương trình 4x3− 12x2+ 9x − 1 = √

2x − x 2

Lời giải

Điều kiện 0 ≤ x ≤ 2. Phương trình đã cho tương đương với

4(x − 1)3− 3(x − 1) =p1 − (x − 1) 2

2 .

Ví dụ 1.5 Từ phương trình cos 3t = cos t

2, với t ∈ [0; π], ta thấy phương trình này tươngđương với

8 cos3t − 6 cos t =p2(1 + cos t).

Đặt x = 2 cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.6 (Đề nghị Olympic 30/04/2006) Giải phương trình

Vậy x > 2 không thoả mãn (1.2), do đó để giải PT (1.2), chỉ cần xét −2 ≤ x ≤ 2

Khi đó đặt x = 2 cos t, điều kiện t ∈ [0; π] Thay vào (1) ta được

8 cos3t−6 cos t =p2 (1 + cos t) ⇔ 4 cos3t−3 cos t = cos t

t = k4π7 (k ∈Z).

Do t ∈ [0; π] nên chỉ lấy các nghiệm t = 0, t = 4π

5 , t = 4π

7 Phương trình đã cho có banghiệm

3 sin t − 4 sin3t = cos x ⇔ sin t 3 − 4 sin2t
= cos t

⇔p1 − cos 2 t 4 cos2t − 1
= cos t

⇔p1 − cos 2 t = cos t

4 cos 2 t − 1.

Lấy x = cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.7 Giải phương trình √1 − x 2 = x

4 cos 2 t − 1 ⇔p1 − cos 2 t 4 cos2t − 1
= cos t

⇔ sin t 4 − 4 sin2t − 1
= cos t ⇔ sin t 3 − 4 sin2t
= cos t

⇔ 3 sin t − 4 sin3t = cos t ⇔ sin 3t = cos t

sin 5α = 16 sin5α − 20 sin3α + 5 sin α.

Từ phương trình sin 5t = cos t,với t ∈ [0; π], ta thấy phương trình này tương đương với

16 sin5t − 20 sin3t + 5 sin t = cos t ⇔ sin t 16 sin4t − 20 sin2t + 5
= cos t

⇔ sin th16 1 − sin2t
2− 12 1 − sin2t
+ 1

Lấy x = cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.8 Giải phương trình √1 − x 2 = x

16x 4 − 12x 2 + 1.Lời giải

Từ điều kiện |x| ≤ 1 và 16x4− 12x 2 + 1, ta đặt

x = cos t, t ∈ [0; π] , 16 cos4t − 12 cos2t + 1.

Thay vào phương trình đã cho ta được

p

1 − cos 2 t = cos t

16 cos 4 t − 12 cos 2 t + 1 ⇔ sin t 16 cos4t − 12 cos2t + 1
= cos t

⇔ sin th16 1 − sin2t
2− 12 1 − sin2t
+ 1

i

= cos t ⇔ sin t 16 sin4t − 20 sin2t + 5
= cos t

⇔ 16 sin5t − 20 sin3t + 5 sin t = cos t ⇔ sin 5t = cos t

t = π

8 +

kπ 2 (k ∈Z).

16 sin5t − 20 sin3t + 5 sin t = cos 3t

⇔ sin t 16 sin4t − 20 sin2t + 5
= 4 cos3t − 3 cos t

⇔ sin th16 1 − sin2t
2− 12 1 − sin2t
+ 1

i

= 4 cos3t − 3 cos t

⇔ sin t 16 cos4t − 12 cos2t + 1
= 4 cos3t − 3 cos t

⇔p1 − cos 2 t = 16 cos4t − 12 cos2t + 1
= 4 cos3t − 3 cos t.

Lấy x = cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.9 Giải phương trình √1 − x 2 16x4− 12x 2 + 1
= 4x3− 3x.

Lời giải Từ điều kiện |x| ≤ 1, ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Thay vào phương trình đã cho

ta được

p

1 − cos 2 t 16 cos4t − 12 cos2t + 1
= 4 cos3t − 3 cos t

⇔ sin t 16 cos4t − 12 cos2t + 1
= 4 cos3t − 3 cos t

⇔ sin th16 1 − sin2t
2− 12 1 − sin2t
+ 1

i

= cos 3t

⇔ sin t 16 sin4t − 20 sin2t + 5
= cos 3t

⇔ 16 sin5t − 20 sin3t + 5 sin t = cos 3t ⇔ sin 5t = cos 3t



= sin



t +π4

, với t ∈ [0; π], ta thấy phương trìnhnày tương đương với

sin 3t − cos 3t = sin t + cos t ⇔ 3 sin t − 4 sin3t − 4 cos3t + 3 cos t = sin t + cos t

⇔ 2 cos t + 3 sin t − 4 sin3t = 4 cos3t + sin t

⇔ 2 cos t + sin t 3 − 4 sin2t
= 4 cos3t + sin t

⇔ 2 cos t + sin t 4 cos2t − 1
= 4 cos3t + sin t

⇔ 2 cos t +p1 − cos 2 t 4 cos2t − 1
= 4 cos3t +p1 − cos 2 t.

Lấy x = cos t ta được bài toán sau

Bài toán 1.10 Giải phương trình

2x + (4x2− 1)p1 − x 2 = 4x3+p1 − x 2

Lời giải Từ điều kiện |x| ≤ 1, ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Thay vào phương trình đã cho

ta được

2 cos t + 4 cos2t − 1
p1 − cos 2 t = 4 cos3t +p1 − cos 2 t

⇔ 2 cos t + 4 cos2t − 1
sin t = 4 cos3t + sin t

⇔ sin t 4 cos2t − 2
= 4 cos3t − 2 cos t

⇔ sin t 2 cos2t − 1
= cos t 2 cos2t − 1

⇔ 2 cos2t − 1
(sin t − cos t) = 0 ⇔



cos 2t = 0 sin t = cos t

⇔



2t = π

2 + kπtan t = 1

2 , x2 = −

√ 2

2 .

Ví dụ 1.10 Từ phương trình lượng giác 1

cos t +

1 sin t = 2

√

2 và từ đẳng thức lượng giác

sin2t + cos2t = 1 suy ra sin t = √

1 − cos 2 t thay thế cos t bởi x, ta sẽ có một phương trình vô

+ Cơ sở của phương pháp: Để áp dụng phương pháp lượng giác vào các bài toán đại

số ta cần dựa vào các dấu hiệu sau đây:

- Dấu hiệu 1: Nếu trong bài toán có |x| ≤ k (với k > 0) thì ta đặt x = k sin α (với

) hoặc đặt x = k cos α (với α ∈ [0; π])

- Dấu hiệu 2: Nếu trong bài toán có x, y thỏa mãn a2x2+ b2y2 = c2 với a, b, c > 0 thì tađặt x = c sin α

a ; y =

c cos α

b (với α ∈ [0; 2π])

- Dấu hiệu 3: Nếu trong bài toán có biểu thức x2 + y2 = k2 (với k > 0) thì ta đặt

x = k sin α; y = k cos α với α ∈ [0; 2π]

- Dấu hiệu 4: Nếu trong bài toán có biểu thức x2− k 2 và x ≥ k ( với k>0) thì ta đặt

- Dấu hiệu 5: Nếu trong bài toán có biểu thức x2+ k2 thì ta đặt x = k tan α, α ∈ (−π

2;

π

2).Khi đó x2+ k2 = k2(1 + tan2α) = k

2

cos 2 α (với cos α > 0)

- Dấu hiệu 6: Nếu trong bài toán có điều kiện x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

x + y + z = xyz thì ta đặt x = tan A; y = tan B; z = tan C với A,B,C là ba góc của tam giácnhọn ABC

- Dấu hiệu 7: Nếu trong bài toán có điều kiện x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

- Dấu hiệu 8: Nếu trong bài toán có điều kiện x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

- Dấu hiệu 9: Trong một số bài toán, một biểu thức đại số tương ứng với một biểu thứclượng giác nào đó Chẳng hạn như:

+) Biểu thức x2+ 1 tương ứng với công thức 1 + tan2t = 1

cos 2 t

+) Biểu thức 2x2− 1 tương ứng với công thức 2 cos2t − 1 = cos 2t

+) Biểu thức 1 − 2x2 tương ứng với công thức 1 − 2sin2t = cos 2t

+) Biểu thức 4x3− 3x tương ứngvới công thức 4 cos3x − 3 cos x = cos 3x

+) Biểu thức 3x − 4x3 tương ứng với công thức 3 sin t − 4 sin3t = sin 3t

Bước 1 : Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán và đặt ẩn phụ

Bước 2 : Lượng giác hóa bài toán

Bước 3 : Giải phương trình lượng giác tương ứng và kết luận

Bài toán 1.11 Giải phương trình: 4x3− 3x = m với |m| ≤ 1.

Lời giải

Bước 1: Nhận biết dấu hiệu và đặt ẩn phụ

Vì |m| ≤ 1. Đặt m = cos α = cos(α ± 2π).

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán

Bước 3:Giải phương trình và kết luận nghiệm

Do vậy phương trình có ba nghiệm

b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Thật vậy, phương trình không có nghiệm trong [−1, 1] vì nếu

x = x 0 ∈ [−1, 1] là nghiệm thì ta đặt x 0 = cos β.

Khi đó 4x3− 3x = |cos 3β| ≤ 1 6= m.

Giả sử phương trình có nghiệm x = x1 với |x1| > 1.

Khi đó 4x31− 3x1= m. Vậy có phương trình

q3

m +pm 2 − 1 + 3

q

m −pm 2 − 1.

Bài toán 1.13 Giải phương trình

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Mọi phương trình bậc ba với hệ số thực ta đều có thể giải được

Bài toán 1.15 .Giải phương trình :

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán

Thay x = sin t vào phương trình

q

1 +p1 − x 2 = x(1 + 2p1 − x 2 )

Phương trình trở thành

√

1 + cos t = sin t(1 + 2 cos t).

Bước 3: Giải phương trình và kết luận

t = π

2 +

4kπ 3 (k ∈Z).

1 cos α =

35 12

Đặt sin α + cos α = t ⇒ sin α cos α = t

t = −5

7 (loại)Với t = 7

5 ta tính được sin α cos α = 12

25. Như vậy sin α; cos α là nghiệm của phương trình

Bài toán 1.18 Tìm x trong khoảng (0; 1) thỏa mãn phương trình :

32 cos t(cos2t − 1)(2 cost−1)2 = 1 − 1

cos t ⇔ cos t = cos 8t

⇔





t = 2kπ7

t = 2kπ9 (k ∈Z).

nên cos t > 0.

3 sin t cos t − 1 ⇔ tan2t − 3 tan t + 2 > 0

⇔



tan t < 1 tan t > 2 ⇔

"

−π

2 < t <

π 4 arctan 2 < t < π



< x < sin

π 4



sin (arctan 2) < x < sin

π 2

 ⇔

"

−1 < x <

√ 2 2 sin (arctan 2) < x < 1

(Do hàm số sin đồng biến trên khoảng −π

2,

π 2

2], ta thu được bất phương trình

cos t + sin t > m sin t cos t + 1. (1.8)Đặt u = cos t + sin t, u ∈ [1, √

2] nênsin t cos t = u

2 − 1

2 ·

Khi đó (1.8) thành

2u > m(u2− 1) + 2 ⇔ 2(u − 1) > m(u2− 1). (1.9)

• Nếu u = 1 thì (1.9)⇔ 2.0 > m.0 (vô lý) Suy ra bất phương trình không có nghiệm

u = 1.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m < 1.

Bài toán 1.22 Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình sau có nghiệm :

x < 0 nên bất phương trình vô nghiệm

- Trường hợp m ≥ 0 : Điều kiện của bất phương trình là

2 ⇔ 0 < m ≤ 2

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi 0 ≤ m ≤ 2.

trình.

Bài toán 1.23 Giải hệ phương trình



x2+ y2 = 1 4xy(2y2− 1) = 1 .

Lời giải Vì x2+ y2 = 1 ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1. Ta đặt x = sin α, y = cos α với 0 ≤ α < π thì

ta được sin 4α = 1 Nghĩa là 4α = π

2 + k2π với k = 0, 1, 2, 3 Từ đó ta có thể dễ dàng tìm rađáp số cuối cùng

p

2 − √ 2

2 ;

p

2 + √ 2 2



,

p

2 + √ 2

2 ; −

p

2 − √ 2 2

2 ; −

p

2 + √ 2 2

2 ; −

p

2 − √ 2 2



.

Nhận xét: Các bạn có thể thấy phép thế này "giải quyết" bài toán nhanh gọn nhưthế nào, trong khi đó các cách giải bài toán không sử dụng phép thế lượng giác phức tạphơn nhiều

Bài toán 1.24 Giải hệ phương trình

(

3



x + 1x



= 4



x +1y



= 5



z +1z



= 4y

2 + 1 y



= 5z

2 + 1 z

nên suy ra

x 3(x 2 + 1) =

y 4(y 2 + 1) =

z 5(z 2 + 1).

Từ đó, x, y, z có cùng dấu, ngoài ra nếu(x; y; z)là một nghiệm của hệ thì(−x; −y; −z) cũng

là nghiệm của hệ Như vậy ta chỉ cần đi tìm các nghiệm dương

Chú ý: Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba xây dựng một số

hệ phương trình mà ta dùng phép thế lương giác để giải

Bài toán 1.25 (Chọn học sinh giỏi Quốc gia-Đồng Nai) Giải hệ phương trình sau







2x + x2y = y 2y + y2z = z 2z + z2x = x

.

Lời giải Ta chứng minh tất cả các số x, y, z theo giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.

Thật vậy, giả sử x là số lớn nhất trong các số này và x > 1 thì ta có z = 4x3− 3x > x. Ta

đi đến mâu thuẫn

Giả sử, x là số nhỏ nhất và x < −1 thì ta cũng có z = 4x3 − 3x < x, điều này cũng mâuthuẫn Như vậy, −1 ≤ x, y, z ≤ 1 và ta có thể sử dụng phép thế Đặt x = cos α, α ∈ [0; π]

Từ hệ phương trình ta có x = cos 27α, y = cos 9α, z = cos 3α. Bây giờ rã ràng số nghiệm của

hệ phương trình chính bằng số nghiệm của phương trình cos α = cos 27αtrên[0; π].Dễ dàngthấy số nghiệm của phương trình này là 27 nghiệm Vậy hệ đã cho có 27nghiệm

Bài toán 1.27 ˚Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm



|x| + |y| = 1 (∗∗)

x2+ y2 = m

Lời giải Từ phương trình (**) ta có |x| ≤ 1, |y| ≤ 1. Do đó ta có thể đặt

|x| = sin2t, |y| = cos2t.

Khi đó phương trình (**) trở thành: sin2t + cos2t = 1 (luôn đúng với mọi t ∈R).

Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:

Phương pháp lượng giác trong chứng

minh đẳng thức và bất đẳng thức

Trước hết ta nhắc lại một số đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức lượng giác quen biếttrong chương trình toán phổ thông

Tính chất 2.1 Với mọi tam giác ABC ta có

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sinA

Tính chất 2.2 Với mọi tam giác ABC ta có

sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2 cos A cos B cos C (2.2)

Tính chất 2.3 Với mọi tam giác ABC ta có

Tính chất 2.4 Với mọi tam giác ABC, ta có

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (2.4)

Tính chất 2.5 Với mọi tam giác ABC, ta có

cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 (2.5)

Tính chất 2.6 Với mọi tam giác ABC ta có

Tính chất 2.7 Với mọi tam giác ABC ta có

cos A + cos B + cos C ≤ 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Tính chất 2.8 Với mọi tam giác ABC ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Tính chất 2.9 Với mọi tam giác ABC ta có

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√ 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Tính chất 2.10 Với mọi tam giác ABC ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Tính chất 2.11 Với mọi tam giác ABC ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Tính chất 2.12 Với mọi tam giác ABC nhọn, ta có

cot2A + cot2B + cot2C ≥ 1 (2.12)

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Như vậy, để chứng minh một đẳng thức hay một bất đẳng thức đại số bằng phươngpháp lượng giác ngoài các dấu hiệu đã nêu ta có thể sử dụng các tính chất nêu trên Vậy

để chứng minh một đẳng thức hay bất đẳng thức ta có thể thực hiện qua ba bước:

Bước 1 : Biến đổi, phân tích để nhận biết dấu hiệu có trong bài toán

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán, nghĩa là chuyển đổi bài toán chứng minh đẳng thức vàbất đẳng thức đại số thành bài toán chứng minh đẳng thứ lượng giác hay bất đẳng thứclượng giác

Bước 3: Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức tương ứng rồi kết luận

2.1 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức

Bài toán 2.1 Cho a, b thỏa mãn: |b| ≤ |a| Chứng minh rằng:

|a + b| + |a − b| =

a +pa 2 − b 2

+

b a

≤ 1 = sin α, α ∈h−π

2;

π 2

i

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán

... tốn

Bước 2: Lượng giác hóa toán, nghĩa chuyển đổi toán chứng minh đẳng thức vàbất đẳng thức đại số thành toán chứng minh đẳng thứ lượng giác hay bất đẳng thứclượng giác

Bước 3:... (2.12)

Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC

Như vậy, để chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức đại số phươngpháp lượng giác dấu hiệu nêu ta sử dụng tính chất nêu... thức

Trước hết ta nhắc lại số đẳng thức lượng giác, bất đẳng thức lượng giác quen biếttrong chương trình tốn phổ thơng

Tính chất 2.1 Với tam giác ABC ta có

cos