chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản

và một số phương trình lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các

điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài ra

trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để

tan x và cot gx có nghĩa.

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong

các phương trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm

nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều

hàm số lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.

a) Giải và biện luận phương trình sin x m= (1)

Do sinx∈ −[ 1;1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đóphương trình sẽ có dạng đặc biệt

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như

x+π =

Giải:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cosx m= ( )b

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu m >1phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m ≤1 ta xét 2 khả năng:

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử gócα Khi

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó

2

x= −

Giải:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x m c = ( )

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x m = ( ) d

Ta cũng đi biện luận theo m

Bước1: Đặt điều kiện sinx ≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình

cot(4x+35 )o = −1

Giải:

Ta nhận thấy cot( 45 )− o = −1 nên ta có

cot(4x+35 )o = − ⇔1 cot(4x+35 ) cot( 45 )o = − o

4x+35o = −45o +k180o ⇔4x= −80o +k180o x = −20o+k45 (o k∈¢)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức

1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.

1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1: asin2x b+ sinx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (1))

Cách giải: Đặt t =sinx , điều kiện | |t ≤1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b+ cosx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (2))

Cách giải: Đặt t =cosx điều kiện | |t ≤1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương

trình bậc hai theo t , giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: atan2x b+ tanx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (3))

Cách giải: Điều kiện cos 0 ,

2

Đặt t=tanx (t∈¡ ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t , chú )

ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: acot2x b+ cotx c+ =0 (a≠0; , ,a b c∈¡ (4))

Cách giải: Điều kiện sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈¢

Đặt t=cotx (t∈¡ Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai )

,1

2cos

32

x k x

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình: cot tan 4sin 2 2

Ta thấy cos 2x =1 không thoả mãn điều kiện Do đó (*)⇔

Bài 1: Giải phương trình: 5sin2x−4sinx− =1 0

Bài 2 Giải phương trình: cos 2x−3cosx− =4 0

Bài 3: Giải phương trình: 3tan 2 3tan 5 0

2

x− x− =

Bài 4: Giải phương trình: cos(4x+ +2) 3sin(2x+ =1) 2

Bài 5: Giải phương trình: tan 34 x−3tan 3x+ =1 0

Bài 6: Giải phương trình: cos 24 6cos 22 25

1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a)Định nghĩa: Phương trình sina x b+ cosx c= (1) trong đó a, b, c∈¡ và

a +b ≠ được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu a2 +b2<c phương trình vô nghiệm 2

-Nếu a2 + ≥b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a2+b2 , ta được

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos 0 2 ( )

2

x

x π k π k

nghiệm hay không?

Bước 2: Với cos 0 2 ( )

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx=0 là nghiệm của phương trình

Hay tanx= =3 tanα ⇔ = +x α kπ ,k∈¢

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt

tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sinx+cos )cosx x = +3 cos 2x ( )2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phương trình (1+ 3)sinx+ −(1 3)cosx=2 (3)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn

Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan

2

x

t = và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng

sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)

a P x +b Q x =c Q x +d P x trong đó a, b, c, d∈¡ thoả mãn a2 +b2 = +c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số Bằngphép chia cho a2 +b2 ta có (*)⇔sin[P x( )+α] =sin[Q x( )+β] hoặc

(*)⇔cos ( )[P x +α] =cos[Q x( )+β] trong đó ,α β là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos7x−sin 5x= 3(cos5x−sin 7 ) (4)x

Giải:

(4)⇔ cos7x+ 3 sin 7x= 3 cos5x+sin 5x

1cos7 3sin 7 3cos5 1sin 5

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Bài tập: Giải các phương trình sau :

1 3sinx+cosx = 3

2 10cosx−24sin 2x=13

3 sin2 x+ 6 cosx=3cos2x+ 2 sinx

4 4cos3x− 3 sin 3x= +1 3cosx

5 sin4 x−cos4x= +1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinx−cos )x = 7 sin 2x+3(cos4x−sin )4x

8 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x

9 cosx+2cos 2x=2 2 cos3+ x

10 2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( 2 ) 2sin(3 )

1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phương

trình

asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d= (1) trong đó a, b, c, d ∈¡

b) Cách giải :

Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2x 2 x

hoặc sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x ta làm theo các bước sau:2

Bước 1: Kiểm tra:

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n≥3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x = trong đó k h n k h n+ = ; , , ∈¥

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

Bước 1: Kiểm tra xem cosx=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cosx≠0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ

được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

x= +π k π k∈¢ không là nghiệm của phươngtrình.

+)Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được 2

2 3 6 tan+ x= +(3 3)(1 tan )+ 2x ⇔ +(3 3) tan2x−6 tanx+ −3 3 0=

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

một số phép biến đổi thích hợp

Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin (3 x−π)= 2 sinx (2)

Giải :

Ta nhận thấy sin( )

4

x−π có thể biểu diễn được qua sinx−cosx Luỹ thừa bậc ba

biểu thức sinx−cosx

ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải

Phương trình (2)

3 3

+) Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos x ta được :3

(tanx−1)3 =4(1 tan ) tan+ 2x x⇔3tan3x+3tan2 x+tanx− =1 0

Đặt t=tanx phương trình có được đưa về dạng:

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những

phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0 tan tan 2 tan 0 (*)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

π

ππ

Giải các phương trình sau :

1) 3sinx−4sin cosx x+cos2x=0

2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx =0

5) sin3x−5sin2xcosx+7sin cosx 2 x−2cos3x=0

6) sin 2 sinx x+sin 3x=6cos3x

8) (sin2 x−4cos )(sinx 2x−2sin cos ) 2x x = cos x4

9) cos3x−sin3x=sinx−cosx

1.2.4-Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình

dạng

(sina x+cos )x +bsin cosx x c+ =0 trong đó , ,a b c∈¡ (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx+ )2 = +1 sin cosx x nên ta đặt

Điều kiện | |t ≤ 2Suy ra

2 1sin cos

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình

a x− x +b x x c+ = bằng cách đặt t =sinx−cosx và lúc đó

2

1sin cos

2

z z

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng

đã xét ở trên

Bài toán 1: Giải phương trình a2tanx b+ 2cotx c a= ( sinx b± cos ) (1)x ab≠0

Cách giải: Phương trình (1) có thể viết

2sin2 2cos2

( sin cos )sin cos

⇔ ( sina x b− cos )( sinx a x b+ cos )x =c a( sinx b± cos )x

⇔ ( sina x[ ]± bcos ) ( sinx  a x[ ]mbcos )x −csin cosx x=0

⇔(sinx− 3 cos )(sinx x+ 3 cos ) 4(sinx = x+ 3 cos )sin cosx x x

⇔(sinx+ 3 cos ) (sinx  x− 3 cos )sin 2x x=0

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx[ ]± sin )x +b(cotx[ ]± cos )x − + =a b 0

(3)⇔ tanx−sinx− 3(cotx−cos ) 1x + − 3 0=

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

 = −

⇔ 

= +



Kết hợp với điều kiện (*) thì t= +1 2 bị loại

Với t = −1 2 ta có 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các

biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2.

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

Ta có: cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 ) cos

2

1

1 sin 22

⇔ − = ⇔ (8 6sin 2 )sin 2− 2 x x= −4 2sin 22 x

⇔3sin 23 x−sin 22 x−4sin 2x+ = ⇔2 0 (sin 2x−1)(3sin 22 x+2sin 2x− =2) 0

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x≠0

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2 2(tanx−sin ) 3(cotx + x−cos ) 5 0x + =

3. 1 cos+ 3x−sin3x =sin 2x 4 sinx+cosx=( 3 1)cos 2− x

5 2cos2 (1 sin ) cos2 0

sin x+cos x =sin 2x+sinx+cosx

7 4(sin4x+cos )4x + 3sin 4x=2 8 sin8 cos8 17

Bước 1: Đặt ẩn phụ tan cot | | 2 2

αα

đưa phương trình đã cho về dạng đại số ( ) 0F t =

Bước 2: Giải phương trình ( ) 0F t = loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện

của bài toán

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

Ta có: Phương trình (2)

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

x= +π kπ là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:Giải các phương trình sau:

1 2(tanx+cot ) tanx = 7 x+cot7x 2

tan x+tan x+cot x+cot x− =4 0

3 5(tanx+cot ) 3(tanx − 2x+cot ) 8 02 x − = 4

x 6 sinx+cosx=tanx+cotx

7 8(tan4 x+cot ) 9(tan4x = x+cot )x 2 −10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào

đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải phương trình 1 sin 0

sin 4

x x

(1)

Giải:

Điều kiện sin 4x ≠0 (*)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi

L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình(1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng mộtđường tròn lượng giác Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu

(x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.

Ví Dụ: Giải phương trình: cos cot 2x x =sinx (1)

Khi đó phương trình (1) cos cos 2 sin

sin 2

x

x

⇔ = ⇔ cos cos 2x x=sin sin 2x x

cos cos2x x sin sin 2x x 0

Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 6

1.3.3- Phương pháp đại số.

Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình

(thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số

* Ví Dụ: Giải phương trình: cos8 0 (1)

x

−

6: Giải phương trình: sin3x=cos cos 2 (tanx x 2x+tan 2 )x

Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải

nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương

trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện cácphép biến đổi theo hướng

-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tươngđương về phương trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biếnđổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khácnhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến

đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cáchgiải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác

Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin3x− 3 cos9(π + = +x) 1 4sin 33 x (1)

Giải:

Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3sin3 ,4sin 3x 3 x ta có thể

sử dụng được công thức góc nhân ba

Ta có (1)⇔3sin 3x−4sin 33 x− 3 cos9x=1

Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin cos33x x+sin 3 cosx 3x =sin 43 x

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cosx +sinx =1 (1)

< + < ta thấy có 1 giá trị k =0 là thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

x =π

Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công

thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để

có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loạiđặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin(3 ) 1sin ( 3 )

Như vậy phương trình đã được đưa về phương trình chứa các hàm lượng giác chỉ chứa 1 cung Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi

514

25

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ.

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi

đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình Bộ phận cũ còn lại

ấy được xem là tham số của phương trình

Do sinx+ >3 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với t

2

(sin 3) 4(sin 3)(sin 1)(sin 3)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình cosx+ 2 cos+ x =2 (1)

Giải:

Đặt u= 2 cos+ x điều kiện 1≤ ≤u 3 khi đó ta có u2 = +2 cosx (*)

Từ (*) và (1) ta có hệ

2 2

-Với u= −cosx thế vào (*) ta được

u, vv

Khi đó: u v=16sin x2 16cos x2 =16sin x cos x2 + 2 =16

Phương trình tương đương với 10

16

u vuv

2

14

sin x cos x

sin x cos x

sin xu

v

sin xv

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

=



-Với t =1 ta có: sin cosx x+2 sinx+cosx =1

sinx+cosx = −1 sin cosx x ( )a

Do 1 sin cos− x x>0 nên (a) ⇔(sinx+cos )x 2 = −(1 sin cos )x x 2

2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos )

sin cos (sin cos 4) 0

-Với t = −3 ta có sin cosx x+ sinx+cosx = −3

⇔ sinx+cosx = − −3 sin cosx x ( )b

Ta nhận thấy 3 sin cos− − x x< − < <2 0 sinx+cosx , suy ra phương trình (b) vô nghiệm

Vậy phương trình có một họ nghiệm

1 2sin cos 2 cos 2 2 2 sin

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

Nhận xét:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụng khálinh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng phương trìnhlượng giác mà ta đã biết cách giải Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm điềukiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện củaphương trình hay không

2.3- Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :

A=sin cos33x x+sin 3 cosx 3x

Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau: