các cách giải phương trình lượng giác và ví dụ minh họa

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản

và một số phương trình lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các

điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài

ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện

để tan x và cot gx có nghĩa

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một

trong các phương trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những

nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay

nhiều hàm số lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.

a) Giải và biện luận phương trình sin x m (1)

Do sinx   1;1 nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử  khi đó

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt

m=sin Ta có:sin sin 2 ,

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như

Giải:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

đặt m=cos Ta có: cos cos 2 ,

2

x 

Giải:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m=tan ta được

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ta cũng đi biện luận theo m

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử  khi đóphương trình có dạng

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

4x35o 45o k180o  4x80o k180o x20o k45 (o k )

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức

1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.

1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1: asin2x b sinx c 0 (a0; , ,a b c ) (1)

Cách giải: Đặt tsinx , điều kiện | |t 1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợpvới điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b cosx c 0 (a0; , ,a b c ) (2)

Cách giải: Đặt t cosx điều kiện | |t 1 ta cũng đưa phương trình (2) về

phương trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: atan2x b tanx c 0 (a0; , ,a b c ) (3)

2

Đặt ttanx t  ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t,

chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: acot2x b cotx c 0 (a0; , ,a b c ) (4)

Đặt tcotx (t ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t

,1

2cos

32

x k x

Ví dụ 2: Giải phương trình: cot tan 4sin 2 2

Bài 1: Giải phương trình: 5sin2x 4sinx 1 0

Bài 2 Giải phương trình: cos 2x 3cosx 4 0

2

Bài 4: Giải phương trình: cos(4x2) 3sin(2 x1) 2

Bài 5: Giải phương trình: tan 34 x 3tan 3x 1 0

16

Bài 7: Giải phương trình: 2 2

sin 2

tan 62cos 2sin

a)Định nghĩa: Phương trình sina x b cosx c (1) trong đó a, b, c  và

a b  được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu a2 b2<c2 phương trình vô nghiệm

-Nếu a2 b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Cách 2: Thực hiện theo các bước

2

x

      thử vào phương trình (1) xem có

là nghiệm hay không?

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Hay tanx 3 tan  x  k ,k 

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2

sin 2 3(1 cos2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt

tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phươngtrình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x  2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từngbài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

42

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

22

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm

*Chú ý: Đối với phương trình dạng

sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)

a P x b Q x c Q x d P x trong đó a, b, c, d  thoả mãn a2 b2 c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số Bằng phép chia cho a2 b2 ta có (*) sinP x( ) sinQ x( ) hoặc(*) cos ( ) P x  cosQ x( ) trong đó  , là các góc phụ thích hợp

Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos7x sin 5x 3(cos5x sin 7 ) (4)x

Giải:

(4) cos7x 3 sin 7x 3 cos5xsin 5x

1cos7 3sin 7 3cos5 1sin 5

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Bài tập: Giải các phương trình sau :

2 10cosx 24sin 2x13

3 sin2 x 6 cosx3cos2x 2 sinx

4 4cos3x 3sin 3x 1 3cosx

5 sin4 x cos4x 1 2 2 sin cosx x

6 2( 3sinx cos )x  7 sin 2x3(cos4x sin )4x

9 cosx2cos2x2 2 cos3 x

trình

asin2 x b sin cosx x c cos2x d (1) trong đó a, b, c, d  

b) Cách giải :

Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2x 2 x

hoặc sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra:

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

không?

Bước 2: Nếu cosx 0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

x k  k  không là nghiệm của phươngtrình

+)Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x2 ta được

2 3 6 tan x(3 3)(1 tan ) 2x  (3 3) tan2x 6 tanx 3 3 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực

x  có thể biểu diễn được qua sinx cosx Luỹ thừa bậc

ba biểu thức sinx cosx

ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải

Phương trình (2)

3 3

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

Đặt ttanx phương trình có được đưa về dạng:

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có

những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0

tan tan 2 tan 0 (*)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

Giải các phương trình sau :

1) 3sinx 4sin cosx xcos2x0

2) 2cos3xsin3x 11sin2x 3cosx 0

5) sin3x 5sin2xcosx7sin cosx 2 x 2cos3x0

6) sin 2 sinx xsin 3x6cos3x

9) cos3x sin3x sinx cosx

dạng

(sina xcos )x bsin cosx x c 0 trong đó a b c  , , (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx )2  1 sin cosx x nên ta đặt

2

2

b

b x x  c Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  bằng cách đặt tsinx cosx và lúc đó

2

1sin cos

Cách 1: Đặt sinxcosx t điều kiện | |t  2 Lúc đó

2

z z

24

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối

xứng đã xét ở trên

Bài toán 1: Giải phương trình

2tan  2cot  ( sin  cos ) (1) 0

Cách giải: Phương trình (1) có thể viết

( sin cos )sin cos

 ( sina x b cos )( sinx a x b cos )x c a( sinx b cos )x

 ( sina x bcos ) ( sinx  a x bcos )x  csin cosx x 0

lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới

 (sinx 3 cos )(sinx x 3 cos ) 4(sinx  x 3 cos )sin cosx x x

 (sinx 3 cos ) (sinx  x 3 cos )sin 2x x 0

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx sin )x b(cotx cos )x  a b 0

Ví Dụ 3: Giải phương trình

tanx 3 cotx sinx 3 cosx 1 3 0 (3)

Giải:

Điều kiện sin 2 0

2

k

(3) tanx sinx 3(cotx cos ) 1x   3 0

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

  

 

 



Kết hợp với điều kiện (*) thì t  1 2 bị loại

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các

biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

6cos 0

22

2

1

1 sin 22

 3sin 23 x sin 22 x 4sin 2x 2 0

 (sin 2x 1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x 0

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

sin 2x 2(sinx cos )x  2 xsinxcosx x

2 2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 5 0x  

3. 1 cos 3x sin3x sin 2x

4 sinxcosx( 3 1)cos 2 x

2

x

6 sin3xcos3xsin 2xsinxcosx

7 4(sin4xcos )4x  3 sin 4x2

đưa phương trình đã cho về dạng đại số F t ( ) 0

kiện của bài toán

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

2 1( 1)( 2) 0

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

x k là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:Giải các phương trình sau:

1 2(tanxcot ) tanx  7xcot7x

2 tan3xtan2xcot2xcot3x 4 0

3 5(tanxcot ) 3(tanx  2xcot ) 8 02x  

4 tan2 2(tan cot ) 11 12

6 sinxcosx tanxcotx

7 8(tan4 xcot ) 9(tan4x  xcot )x 2  10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt

ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

sin 4

x x



 (1)

Giải:

Điều kiện sin 4x 0 (*)

Suy ra 2

2

x  k  không thoả mãn (*)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào

đó Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệmcủa phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lêntrên cùng một đường tròn lượng giác Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc

L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là

nghiệm của phương trình

cos cos2x x sin sin 2x x 0

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 6

Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào đểgiải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình vềphương trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương trình ta phảithực hiện các phép biến đổi theo hướng

-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổitương đương về phương trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thìbiến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toánkhác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép

biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biếtcách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác

Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 3x 3 cos9( x) 1 4sin 3  3 x (1)Giải:

Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3sin3 ,4sin 3x 3 x ta có

thể sử dụng được công thức góc nhân ba

Ta có (1) 3sin 3x 4sin 33 x 3 cos9x1

Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin cos33x xsin 3 cosx 3x sin 43 x

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cosx sinx 1 (1)

Giải :

Ta có :(1)  2 cosx  1 sinx  4cos2x (1 sin )x 2

23

   ta thấy có 1 giá trị k 0 là thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

x

Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công

thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo

để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loạiđặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

3 2 3

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos

4cos 2 4cos 3cos 1 0

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

25

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ.

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây +Phương trình trùng phương ax4 bx2  c 0 (a0)

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau

khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình

Do sinx  3 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với t

2

(sin 3) 4(sin 3)(sin 1)(sin 3)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Giải:

Đặt u 2 cos x điều kiện 1 u 3 khi đó ta có u2  2 cosx (*)

Từ (*) và (1) ta có hệ

2 2

cos2 cos 2 0 cos 1 2 ( )

Khi đó: 16sin x16cos x 16sin x cos x 16

Phương trình tương đương với 10

16

u vuv

2

14

v

u

sin xv

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn





-Với t 1 ta có: sin cosx x2 sinxcosx 1

sinxcosx  1 sin cosx x ( )a

Do 1 sin cos x x 0 nên (a)  (sinxcos )x 2  (1 sin cos )x x 2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos )

sin cos (sin cos 4) 0

-Với t 3 ta có sin cosx x sinxcosx 3

 sinxcosx  3 sin cosx x ( )b

Ta nhận thấy 3 sin cos  x x   2 0 sinxcosx , suy ra phương trình (b) vônghiệm

Vậy phương trình có một họ nghiệm

-Với t 5 2cos 2x ta có 3cos 2x  5 2cos2x  3cos 2x 2cos 2x5 (*)

Đặt y cos 2 ,x y 1phương trình (*) trở thành 3y 2y5

Đặt ( ) 3f x  y 2y Rõ ràng f y( ) là hàm đồng biến trên 

Mặt khác ta có f(1) 5 suy ra y 1 là nghiệmduy nhất của phương trình (*) Với y 1ta có cos 2x 1 2x k 2  x k  (k )

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

Nhận xét:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được vận dụngkhá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạngphương trình lượng giác mà ta đã biết cách giải Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiếtphải tìm điều kiện của nó và lưu ý ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãnđiều kiện của phương trình hay không

2.3- Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức