Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau.. Chứng minh ∆ABC đều.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC − ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TÌNH LỚP 10
Năm học 2006 − 2007
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (6 điểm) Giải các phương trình sau:
2
7
2
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
Bài 3: Cho a, b, c ∈ R Chứng minh: ( )2 ( 2 2 2 )
a b c 1+ + + ≤3 a +b + + +c 1 6ab
Bài 4: Cho ∆ABC và K, L, M lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho
AB = BC = CA =3 Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau Chứng minh ∆ABC đều
Bài 5: Cho x, y, z ∈ R thoả mãn điều kiện x y z 02 2 2
+ + =
Tìm GTLN, GTNN của P = x3 + y3 + z3
Trang 2ĐÁP ÁN
y 1 y 1 7
2 2 7
8 b)
2
3
Bài 1:
a) Đặt 8x+7=y, phương trình đã cho trở thành y
Phương trình đã cho tương đương với
x
có: +)
±
− = ⇔ =
2
y x
x
2
2
2
Phương trình trở thành: y
*)Với ta có: x=1
*) Với y =2 ta có:
=
±
=
±
( ) ( )
( ) ( )
2
4 u m 1
Ta c
2
2
2 2
2
v
ới m < 2 hệ vô nghiệm, ta chỉ xét m
|x| = |y|
ó:
x
+ + =
≥
+
( )
( ) ( )
2 2
4
2m
2
2
|x| = |y| 3 x
2m x
ừ 4 ta có:
m
≤ −
−
Trang 3( )
B
ài 3: 3 điểm ĐT đã cho tương đương với
a
ĐT này luôn đúng nên BĐT được chứng minh
Bài 4: (4 điểm) Gọi bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc AKM, BLK, CML là R ta cú: KL = 2RsinB, KM = 2RsinA, ML = 2RsinC Từ đú suy ra
∆ABC đồng dạng với ∆LMK
Mặt khỏc ta cú: SAKM = SBLK = SMCL = 2SABC
9 ⇒ SKLM = 1SABC
3 Nờn tỉ số đồng dạng của ∆ABC và ∆LMK là 1
3
Áp dụng định lớ cosin cho ∆ABC là cú a2 = b2 + c2− 2bccosA