ĐỀ TOÁN HAY

Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆A1B1C1.. Gọi r và R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện.

MỘT SỐ ĐỀ TỐN HAY BT1: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thoả điều kiện: với mỗi số nguyên dương

m < 1999 đều tồn tại số nguyên k sao cho 1999m < < kn 2000m+1

BT2: Giải phương trình: x5 - 15x3 + 45x - 27 = 0

BT3: Chứng minh bất đẳng thức sau với n nguyên dương:

+ 1 22 + 33 + + nn < 3

BT4: Cho hai tam giác đồng dạng ABC và A'B'C' (các đỉnh mỗi tam giác đều viết

ngược chiều kim đồng hồ) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA', BB', CC' Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆A1B1C1

BT5: Dùng 3 hình tròn đường kính d có thể phủ kín hình vuông có cạnh bằng 1 được

không khi:

a) d = 1? b) d = 1,04?

BT6: Dãy số (an) được xác định bởi: a0 = a, a1 = b, an+2 = dan+1 - an, trong đó a, b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực Tìm mọi giá trị của d để (an) là số nguyên, với mọi

n = 0, 1, 2,

BT7: Tìm giới hạn của Sn/n2 khi n → +∞, trong đó Sn =

n

k=1

k.cos

k

π

∑

BT8: Tìm tất cả các tập A gồm hữu hạn số thực có tính chất sau: nếu x thuộc A thì

f(x) = x3 - 3|x| + 4 cũng thuộc A

BT9: Gọi a, b, c, r, R lần lượt là 3 cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường

tròn ngoại tiếp một tam giác.Chứng minh:

a(b+c-a)2 + b(c+a-b)2 + c(a+b-c)2≤ 6 3 R2(2R - r) Đẳng thức xảy ra khi nào?

BT10: Cho tứ diện ABCD với BC = a, CA = b, AB = c, DA = a', DB = b', DC = c' Gọi

ha, hb, hc, hd lần lượt là các đường cao của tứ diện phát xuất từ các đỉnh A, B, C, D Gọi

r và R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện Chứng minh:

a b b c c a d a d b d c

r ≥ h h + h h + h h + h h + h h + h h

Đẳng thức xảy ra khi nào?