Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua ∀m 2.. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự
Trang 1Câu 1: (2 đ)
Cho hàm số : y =x3 −(m+3)x2 +(2+3m)x −2m (1)
1 Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua ∀m
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Câu 2: (2 đ)
1 Cho ∆ABC có ba góc A, B, C thoả mãn :
= +
= +
1 cos cos
3
3 2 2 2
B A
B tg
A tg
Chứng minh ∆ABC là tam giác đều
2 Giải hệ phơng trình
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x
x
y y
Câu 3: (2 đ)
1 Giải bất phơng trình : ( ) log (3 1)
1 3
log
1
2
2
4 x + x < x−
2 Xác định a, b để hàm số :
<
−
≥
+
=
0 4
cos 2
cos
0
x khi x
x x
x khi b
ax y
có đạo hàm tại x = 0
Câu 4: (3 đ)
4 9 :
2 2
= + y
x
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0 (m2 + n2> 0)
d2 với (E)
2 Tìm điều kiện của m, n để diện tích tứ giác MNPQ đạt Max, Min.
Câu 5: (1đ)
Với n là số nguyên dơng, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n – 3 = 26n
Trang 2
-(Hết) -Câu 1: (2,5 đ)
1 Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ
thị hàm số luôn đi qua ∀m
Giả sử M( x; y) là điểm cố định mà mọi đờng
cong của họ (Cm) đều đi qua ⇔ Pt ẩn m :
(−x2 +3x−2).m+ x3 −3x2 +2x− y =0 có vô số
0 2
3
0 2 3
2 1
2 3
2
M M
y x x
x
x x
⇔
=
− +
−
= +
−
2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành
một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng ⇔ (Cm) phải có 2 cực trị và điểm uốn phải nằm trên trục hoành
( )
2
3 3
, 0 0
9 9
2
0 3 3
0 2 3
3
3 2 3
3
3 3
3
0 3
2 3 3 0
0
2 3
2
2 3
2 '
,
=
∨
=
∨
=
⇔
= +
−
>
+
−
⇔
=
−
+ +
+
+ +
−
+
>
+
−
+
⇔
=
>
∆
⇔
m m
m m
m
m
m
m
m m
m m
m
m m
x
f u
y
Câu 2: (2 đ)
( )
= +
= +
2 1 cos cos
1 3
3 2 2 2
B A
B tg
A tg
Ta có ( )
2 3 2 1
1 2
1
1 2
3 2
cos 2
cos
2
2 2
2
+
+ +
⇔
= +
⇔
B tg
A tg
B A
3
1 2
2 3
1 0
1 6 9
0 3
4 1 2
3
2
3 1 2
2 2 2
3 1 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
=
⇔
=
⇔
= +
−
⇔
= +
−
−
⇔
= +
− +
+
−
⇔
= + +
+
+
+
⇔
+
=
=
B tg
A tg P
P P
P
P
P S
P
P S
B tg
A tg
B tg
A
tg
B tg
A
B tg A tg P
Vậy hệ
=
=
+
⇔
3
3 2
2
3
3 2 2 2
B tg
A tg
B tg
A tg
⇒
2
; 2
B tg A
tg > 0 là nghiệm của Pt :
Trang 31 2 2
3
1 0
1 3 2 3 0 3
1
3
3
2 − t+ = ⇔ t − t + = ⇔t= ⇒tg A=tg B =
t
⇒ A = B = 600⇒∆ABC là tam giác đều
1 Giải hệ phơng trình:
1
0
2 3
0 3
2 3
0
2 3
0 3
2 3
3 3
2 3
2 3
2 3
0
2 3
2 3
2
3
2 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
=
=
⇔
>
=
−
+
=
⇔
= + +
+
=
=
−
+
=
⇔
= + +
−
+
=
⇔
−
=
−
+
=
⇔
+
=
+
=
⇔
≠
+
=
+
=
⇔
+
=
+
=
y
x
y x
y y x
y x xy
y y x
y x
y y x y
x xy y
x
y y
x
x y xy y
x
y y x x
xy
y y x xy
x xy
y y x
y
x
x
x
y
y
0 xy vi ngiệm vô
2
2
2
2
+
+
=
x
y y
x
Giả sử 0 < x ≤ y ⇒
1 1
2
2
2
2
=
=
⇒
=
+
+
y
y
y
x
Câu 3: (2 đ)
1 3
log
1
2
2
4 x + x < x−
9
1
4
2 + x= + > ⇒ x + x >
x
2
1 1 3 log 1
3
2 3
2
⇔
⇒
<
<
8
1 1
0 1 9
8 2 − + > ⇔ > ∨ <
2
1 1 3 log
2
⇔
⇒
1 8
1 0 1 9
8 2 − + < ⇔ < <
∈
3
2
; 3
1
x
2 Xác định a, b để hàm số :
<
−
≥
+
=
0 4
cos 2
cos
0
x khi x
x x
x khi b
ax y
có đạo hàm tại x = 0
Trang 4Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 ⇔ f '( ) ( )0− = f ' 0+
• Hàm số có đạo hàm tại x = 0 ⇒ liên tục tại x = 0 f( )x f( )x
x
x→ − = → +
⇔
0
lim ( ) lim cos2 cos4 sin 2 sin 0, lim ( ) 0
lim
0
2 2
0
→
→
x
x x
x
x x
x
f
x x
x
• Hàm số có đạo hàm tại x = 0 f( )x f( )x
x
x→ − = → +
⇔
0
lim ( )
lim
3 1 4 sin
2 sin lim 4
cos 2
cos lim lim
0 0
2
2 2
0 2
0 0
=
⇒
=
=
=
−
=
−
=
−
=
⇔
+ +
−
−
−
→
→
→
→
→
a a x
ax x
f
x
x x
x
x x
x
f
x x
x x
x
Vậy a = 3, b = 0 ⇒ hàm số có đạo hàm tại x = 0
Cõu 4: (2 đ) Trờn mặt phẳng toạ độ cho elớp ( ) 1
4 9 :
2 2
= + y
x
d1: mx – ny = 0, d2: nx + my = 0 (m2 + n2> 0)
1 Tỡm toạ độ của cỏc giao điểm M, P của d1 với (E) và cỏc giao điểm N, Q của d2 với (E)
• Viết Pt d1 & d2 dưới dạng tham số: 1: ( )1, 2 : ( )2
−
=
=
=
=
nl y
ml x d mt
y
nt x d
⇒ Toạ đọ của M & P là nghiệm của Hệ (E) & (1)
2 2 2
2
9 4
6 36
9 4
36 9
4
m n
t t
m n
t m t
n
+
±
=
⇔
= +
⇔
= +
⇒
+
− +
−
+ +
⇒
2 2
2 2
2 2
2 2
9 4
6
; 9
4
6
9 4
6
; 9 4
6
m n
m m
n
n
P
m n
m m
n
n M
Thay n bởi m và m bởi – n ta cú:
+ +
−
+
− +
⇒
2 2
2 2
2 2
2 2
9 4
6
; 9
4
6
9 4
6
; 9 4
6
n m
n n
m
m
Q
n m
n n
m
m N
• Ta cú: MP // NQ ⇒ SMNPQ = MP NQ
2
1
) 9 4
)(
4 9
(
72 4
9
144
; 9 4
144
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
m n
m n
m n S
m n
n m NQ
m n
n m MP
+ +
+
=
⇒ +
+
= +
+
=
6
72 6
6 ) 9 4
)(
4 9
2 2 2
2 2
2 2
2
+
+
≤
⇒ +
≥ +
+
m n
m n S
m n
m n
m n
vậy Max(S) = 12 Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 0 ∨ n = 0
y N
M
3 x
Q -2
P -3
2
O
Trang 5Ta lại cú ( ) ( ( ) ) 14413
13
144 2
13 ) 9 4
)(
4 9
2 2 2
2 2
2 2
+
+
≥
⇒ +
≤ +
+
n m
n m S
n m m
n m n
Vậy Min(S) =
13
144
Dấu “=” xảy ra ⇔ m = ± n
Câu 5: (1đ)
Với n là số nguyên dơng, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n – 3 = 26n
2
n
n
i j n
−
−
∑
∑
⇒ Các hạng tử của đa thức trên có dạng : 2j C n i.C n j.x2(n−i) (+n−j)
Từ đó ta có : 2(n – i) + (n – j) = 3n – 3 ⇔ 2i + j = 3 ⇔ i i==10;;j j==13
C C C
3
4 3 2
2
2
2
2 1
1 1 3 0
5 2
/ 7
5 0
35 3
−
=
=
⇔
=
−
−
n
n n
n