ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 Mấy năm gần nhu cầu thi vào lớp 10 chuyên học sinh ngày nhiều Điều học sinh quan tâm cách thức đề yêu cầu kiến thức trường Để đáp ứng nhu cầu chúng tơi xin giới thiệu tập tài liệu tham khảo: Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh Đây đề thi mơn tốn tuyển sinh vào lớp 10 trường phổ thông trung học chuyên phạm vi thành phố Trong chủ yếu đề thi vào trường chuyên Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa, trường Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM Lớp chuyên toán trường Trung Học Thực Hành – ĐHSP TPHCM Kể từ năm học 2006 – 2007 đề thi vào 10 lớp bình thường lớp chuyên trường LHP TĐN đề thi chung thành phố ra, trường THTH PTNK tuyển riêng Bộ đề gồm đề thi năm học 2001 – 2002 đến Hi vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh chuẩn bị thi vào lớp 10 chuyên thầy giáo quan tâm đến kì thi Thi vào trường Lê Hồng Phong Năm học 2001 – 2002 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) với b) c) với a, b, c, d, e Bài 3: Giải phương trình sau: a) b) Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ a) Xác định vị trí điểm M cho tứ giác BHCM hình bình hành b) » BC Với M lấy thuộc cung nhỏ c) » BC , gọi N, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng » Xác định vị trí M thuộc cung nhỏ BC cho NE có độ dài lớn Bài 5: Cho đường trịn cố định tâm O, bán kính Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua tâm O cắt cạnh AB, AC M, N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Năm học 2002 – 2003 Đề thi chung Bài 1: Rút gọn biểu: a) b) Bài 2: Cho phương trình: a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 3: a) Chứng minh: b) Chứng minh: c) Cho x, y > x + y = Chứng minh rằng: Bài 4: Giải phương trình sau: a) b) Bài 5: Cho đường trịn (O; R) đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A, B Từ điểm di động M đường thẳng (d) (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P hai tiếp điểm) a) Chứng minh b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M lưu động đường thẳng (d) c) Xác định vị trí điểm M đường thẳng (d) cho tứ giác MNOP hình vng d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động đường cố định M lưu động (d) Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm tính nghiệm theo m: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x10 + x5 + Bài 3: Giải phương trình hệ phương trình: Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có AB < AC Lấy điểm M thuộc cuung BC không chứa điểm A đường trịnh (O) Vẽ MH vng góc BC, MK vng góc CA, MI vng góc AB( H thuộc BC, K thuộc AC, I thuộc AB) Chứng minh Bài 6: Cho tam giác ABC, giả sử đường phân giác phân giác ngồi góc A tam giác ABC cắt đường thẳng BC D, E có AD = AE Chứng minh , với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Năm học 2003 – 2004 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để có Bài 2: a) Cho Chứng minh: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 3: Giải hệ phương trình sau: a) b) Bài 4: Chứng minh Bài 5: hai phương trình sau có nghiệm: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi K trung điểm cung đoạn BM cho: BN = AM » AB , M điểm lưu động cung nhỏ a) Chứng minh tam giác MNK vuông cân c) ( M khác A K) Lấy điểm N Chứng minh b) » AK Hai đường thẳng AM Ok cắt D Chứng minh MK đường phân giác góc d) Bài 6: Chứng minh đường thẳng vng góc với BM N ln qua điểm cố định Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c có R bán kính đường trịn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức Hãy định dạng tam giác ABC Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: a) Rút gọn biểu thức: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình sau a) b) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: Áp dụng giải phương trình Bài 4: Cho hai phương trình: Chứng minh phương trình hai phương trình vơ nghiệm phương trình sau ln có nghiệm: Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB D, cắt AC E ( D E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng b) Chứng minh MA vng góc với DE c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường trịn tâm O Tứ giác AMOH hình gì? d) Cho góc AH = a Tính diện tích tam giác AEC theo a Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cạnh đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD Cho biết Tính góc hình thang Năm học 2004 – 2005 Đề thi chung I Phần tự chọn: Học sinh chọn hai sau đây: Bài 1a: Cho phương trình: x − ( m + 1) x + 2m − 18 = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để có x1 − x2 ≤ Bài 1b Rút gọn biểu thức sau: a) b) I x2 − x x2 + x − + x +1 x + x +1 x − x +1  2+ x x −  x x + x − x −  B= − ÷ ÷ x −  x  x + x +1  A= Phần bắt buộc: Bài 2: Giải phương trình: a) b) ( 3x + x − = − x 2x2 = x+9 − + 2x Bài 3: ) x ≥ 1, y ≥ Chứng minh rằng: x y − + y x − ≤ xy a) Cho b) Cho x > 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 4: Tìm số nguyên x, y thoả hệ:    A =  − ÷ − ÷ y   x   y − x2 − x − ≥    y − + x +1 −1 ≤  Bài 5: Cho đường tròn tâm O Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O)( C, D tiếp điểm) Vẽ tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc · ACB cắt AB E a) b) c) Chứng minh MC = ME Chứng minh DE phân giác góc ADB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn d) Chứng minh IM phân giác · CID Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy BC AD(BC > AD) Trên tia đối của tia CA lấy điểm P tuỳ ý Đường thẳng qua P trung điểm I BC cắt AB M, đường thẳng qua P trung điểm J AD cắt CD N Chứng minh MN song song AD Đề thi vào lớp chun tốn Bài 1: Giải hệ phương trình:   x − y − x + y = −1    − =0  2x − y x + y  Bài 2: x2 + Cho x > thoả 1 = Tính x + x x Bài 3: 3x = 3x + − x + 10 Giải phương trình Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y − 12 xy + 24 x − 48 y + 82 b) Tìm số nguyên x, y thoả hệ x + y + z =  3 x + y + z = Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O( AB < BC) Vẽ đường tròn tâm I qua điểm A C cắt đoạn AB, BC M, N Vẽ đường tròn tâm J qua điểm B, N, M cắt đường tròn (O) điểm H Chứng minh a) OB vng góc với MN b) IOBJ hình bình hành c) BH vng góc với IH Thi vào trường Trần Đại Nghĩa Năm học: 2001 – 2002 Bài 1: Cho phương trình : mx − ( m + ) x + m = a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Bài 2: Giải phương trình: a) x − x + = 3x − b) − x2 + = − x Bài 3: Giải hệ phương trình: a)  x3 = y − x    y = 2x − y  b)  x − y = y − x ( + xy )   3  x + y = 54  ( ) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: x + y + ≥ xy + x + y Bài 5: Cho đường tròn (O; R) điểm P thuộc (O) Từ P vẽ hai tia Px, Py cắt đường tròn (O) A B Cho góc · xPy góc nhọn a) Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm tam giác ABM Chừng minh K thuộc (O) b) Gọi H trực tâm tam giác APC I trung điểm đoạn AB Chứng minh H, I, K thẳng hàng c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định cho PX, Py vẩn cắt (O) góc · xPy khơng đổi H lưu động đường cố định nào? Năm học 2002 – 2003 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình : x + mx − 28 = Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả x1 + x2 = Bài 2: Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả x1 = x2 Chứng minh b3 + a 2c + ac = 3abc Bài 3: Giải phương trình hệ phương trình: a) x −3+ x +3 = b) ( x + y ) − ( x + y ) = 12   ( x − y ) − ( x − y ) =  Bài 4: Thu gọn biểu thức sau: A= 6−2 + 12 + 18 − Bài 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤ abc a) Chứng minh b) Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: c2 x2 + ( a2 − b2 − c2 ) x + b2 = Bài 6: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi (CD khơng trùng AB) Vẽ tiếp tuyến (d) đường tròn (O) B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) P Q a) Chứng minh tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vng góc với CD c) Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP Chứng minh E lưu động đường tròn cố định đường kính CD thay đổi Năm học 2003 – 2004 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình x − ( 2m + ) x + m − = a) Chứng tỏ phương trình ln ln có nghiệm b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 − x2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho x < 0, y < Chứng minh: b) Cho xy − x+ y x+ y + + xy = x + y 2 + x + + y = + a Chứng minh x + y ≥ 2a Bài 3: Giải phương trình hệ phương trình: a) x − x3 − 19 x + 106 x − 120 = b)  x + y + xy =   4 2  x + y + x y = 21  Bài 4: Chứng minh phương trình x6 − x5 + x − x3 + x − x + =0 vô nghiệm Bài 5: Cho hai điểm A, B thuộc đường trịn (O)( AB khơng qua O) có hai điểm C, D lưu động cung lớn AB cho AD song song với BC ( C, D khác A, B AD > BC)Gọi M giao điểm DB AC Hai tiếp tuyến đường tròn (O) A D cắt I a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng b) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi Bài 6: Cho tam giác ABC khơng phải tam giác có góc nhọn Đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CE cắt giao điểm tạo thành tam giác PQR Tam giác PQR tam giác không? Đề thi vào lớp chun tốn Bài 1: Giải phương trình: a) b) ( x + ) ( 3x + ) ( x + 1) = ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = x 2 Bài 2: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ thoả 4 x + y + z =  3 x + y − z = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A = 5x -6y + 7z Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A = ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) 5 Bài 4: x + px + q = Chứng minh p − 9q = Cho phương trình: a) b) Bài 5: phương trình có nghiệm phân biệt nghiệm gấp đối nghiệm Cho p, q số nguyên Chứng minh phương trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải số nguyên Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M, N lưu động hai đoạn AB AC cho AM AN + = Đặt AM = x, AN = y MB NC MN = x + y − xy a) Chứng minh b) c) Chứng minh MN = a – x – y Chứng tỏ MN ln tiếp xúc với đường trịn nội tiếp tam giác ABC Bài 6: Cho góc · xOy cố định Có hai điểm M, N lưu động hai tia Ox, Oy cho OM + ON = 2k.( k số dương) Trung điểm I MN lưu động đường cố định nào? Năm học: 2004 – 2005 Đề thi chung Bài 1: Cho phương trình: x − ( 3m + 14 ) x + ( 4m + 12 ) ( − m ) = a) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Định m cho tích nghiệm phương trình có giá trị lớn Bài 2: Giải phương trình: a) b) x2 + x + − = − x2 2x + − 2 − x = 12 x − x + 16 Bài 3: Cho x, y số thực khác Chứng minh:  x y x2 y + ≥ 3 + ÷ y2 x  y x Bài 4: Tìm số nguyên x, y thoả mãn phương trình: x + xy + y = x y Bài 5: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O;R) Vẽ tam giác đềuACD ( D B khác phía đường thẳng AC) Gọi E giao điểm BD với đường tròn (O), gọi M giao điểm BD với đường cao AH tam giác ABC a) Chứng minh MADC tứ giác nội tiếp b) Tính DE theo R Bài 6: Cho tam giác ABC cân B nội tiếp đường trịn tâm O Trên cung AC khơng chứa B lấy hai điểm M K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM BK cắt E, đoạn thẳng KC BM cắt D Chứng minh ED song song với AC Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: x + px + = có hai nghiệm phân biệt a , a ( a1 − ba ) ( a2 − b2 ) ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) = q − p Cho phương trình: : Bài 2: Cho số a, b, c, x, y, z thoả phương trình x + qx + = x = by + cz , y = ax + cz , z = ax + by , có hai nghiệm b1, b2 Chứng minh x, y , z ≠ Chứng minh rằng: 1 + + = a +1 b +1 c +1 Bài 3: x + y + xy + x − y + = 3 b) Cho số dương x, y, z thoả: x + y + z = x2 y2 z2 + + ≥ Chứng minh: − x2 − y2 − z2 a) Tìm x, y thoả Bài 4: Chứng minh khơng thể có số ngun x, y thoả phương trình x − y = 1993 Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường tròn (O) M, tiếp xúc với hai cạnh AB, AC L K Gọi E giao điểm thứ hai MK với đường tròn (O) a) Chứng minh ME tia phân giác góc AMC b) Tia phân giác MX góc BMC cắt LK I Chứng minh điểm M, I, K, C thuộc đường tròn c) Chứng minh CI tia phân giác góc BCA Bài 6: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho BD = a CD = b.( a> b) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a, b Thi vào lớp chuyên toán trườngTrung Học Thực Hành ĐHSP TPHCM Năm học: 2005 – 2006 Vòng Bài 1: Cho phương trình: a) ( m + 1) x − 2mx + m − = Xác định m để phương trình có nghiệm kép tính nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biện x1, x2 thoả mãn: Bài 2: Tính A= ( 11 + 30 − − )( 5− ) x12 + x2 = x1 + x2 + Bài 3: a) Giải hệ phương trình: b) Giải phương trình: c) Giải phương trình: 1  ( x + ) ( y + 3) = xy + 50   1  ( x − ) ( y − ) = xy − 32 2  3x − x + = − x (x + x ) + 3( x2 + 2x ) − = Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I điểm đối xứng A qua O Trên cạnh BA lấy điểm M đường kéo dài cạnh AC phía C lấy điểm N cho: BM =CN Hai đường thẳng MN BC cắt nhai K Chứng minh rằng: a) Hai tam giác IBM ICN b) Tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn c) K trung điểm đoạn MN Bài 5: Cho hình vng ABCD Trên đoạn AC lấy điểm M Gọi E F hình chiếu vng góc M lên BA BC a) So sánh diện tích tam giác DEF diện tích tứ giác AEFC b) Xác định vị trí M để diện tích tam giác DEF nhỏ Vòng Bài 1: a) Khơng dùng máy tính, so sánh: b) Giải phương trình: x = 4+ − 4− y = 2+ − 2− 1− x − x + = Bài 2: Cho phương trình x2 − ( m + ) x + m2 − = a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Hãy lập hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m c) Với giá trị m, biểu thức A = x1 x2 − x12 − x2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài 3: Chứng minh với số nguyên n, ta có giá trị cùa biểu thức E = n3 + 5n bội Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A( AB < AC) Đường trịn tâm O, đường kính AB đường trịn tâm O’ đường kính AC cắt A D a) Chứng minh điểm B, C, D thẳng hàng b) Gọi M’ điểm cung nhỏ CD AM cắt BC E cắt đường tròn tâm O N Chứng minh tam giác ABE cân c) Gọi K trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh Ok vng góc với O’K d) Đặt BC = a, AB = b, AC = b Điểm P di động nửa đường tròn đường kính BC khơng chứa A ( P khác B C) Gọi Q, R, S hình chiếu P đường thẳng BC, CA, AB Đặt PQ = x, PR = y, PS = z Xác định vị trí P cho biểu thức Bài 5: a b c  + + ÷ đạt giá trị nhỏ x y z Cho a, b, số dương thoả mãn: 1 + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức K = a + b a b2 Năm học: 2006 – 2007 Vòng Bài 1: x − 3x − x − + = a) Giải phương trình: b) Giả sử phương trình: Chứng minh rằng: ax + bx + c = cy + dy + a = ( a c khác 0) có nghiệm tương ứng x1, x2 y1, y2 2 x12 + x2 + y12 + y2 ≥ Bài 2: a) k ≥ , chứng minh rằng: 1 = − k + k k +1 k k +1 Với số tự nhiên ( k + 1) Áp dụng tính giá trị biểu thức sau: 1 + + + +1 + 100 99 + 99 100 b) Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm  1− x + y = m    1− y + x = m  Bài 3: Giải hệ phương trình: ( x + y ) ( x + z ) =  ( y + x ) ( y + z ) = 16  ( z + x ) ( z + y ) = 32 Bài 4: Gọi AD đường phân giác góc A tam giác ABC ( D thuộc cạnh BC) Trên AD lấy hai điểm M, N cho: · · ABN = CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN điểm thứ hai F a) Chứng minh BECF tứ giác nội tiếp b) Áp dụng câu a) chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng c) Chứng minh · BCF = · ACM Từ suy ra: · · ACN = BCM Vòng Bài 1: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: x + 2006 x − 2006 = x + 2006 − m x − 2006 + m Bài 2: Giải hệ phương trình: 2 x3 = y + y   2 y = x + x  Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: xy + x + 2006 y + 12033 = Bài 4: Chứng minh ln tồn số tữ nhiên N có khơng 2007 chữ số cho chữ số N N chia hết 10030 Bài 5: b) Trên đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (ABCD) A, ta lấy điểm M cho AM = 2cm Tính diện tích tam giác OBM Bài 5: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số tổng lập phương hai chữ số 189 Đề toán chung cho khối A B Bài 1: Cho phương trình x + x − − m + 6m − 11 = a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bài 2: Cho hệ phương trình: ( )  x + y + m x + x y + xy + y = − m    x y = −6  a) Giải hệ m = b) Giải hệ phương trình m = Bài 3: Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD hình chữ nhật ABCD Biết đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật có đường kính 8+2 tồn điểm I thuộc MN cho · DAI = 45o · IDA = 30o a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD b) Gọi K, H trọng tâm tam giác AID BIC Tính diện tích tam giác NKH Bài 4: Tam giác ABC có góc ABC 30o góc ACB 150 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N, P, I trung điểm BC, CA, AB, OC a) Tính góc PON Chứng minh A, M, I thẳng hàng b) Chứng minh P trực tâm tam giác OMN Bài 5: x + a = bx + ∀x ∈ ¡ a) Tìm tất số thực a, b, cho b) Cho a, b, c , d, e, f số thực thoả điểu kiện: ax + b = cx + d = ex + f với số thực x Biết a, c, e khác không Chứng minh ad = bc Đề thi vào chuyên toán Bài 1: Cho phương trình: x − x +1 = m (1) m tham số a) Giải phương trình m = b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài 2: Cho x, y, z số nguyên thoả mãn: x2 + y = z a) Chứng minh hai số x, y có số chia hết cho b) Chứng minh tích xy chia hết cho 12 Bài 3: Cho đường trịn (C ) đường kính BC = 2R điểm A thay đổi (C ) ( A không trùng B C) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường trịn ( C) điểm K ( khác A) Hạ AH vng góc với BC a) Đặt AH = x Tính diện tích S tam giác AHK theo R x Tìm x cho S đạt giá trị lớn b) Chứng minh A thay đổi, tổng c) Tính góc B tam giác ABC biết Bài 4: AH + HK a luôn đại lượng không đổi AN = HK Cho số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a+ 1 =b+ =c+ b c a a) Cho a = 1, tìm b, c b) Chứng minh a, b, c đơi khác c) Chứng minh a, b, c dương a = b = c a 2b 2c = Bài 5: Trong giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt ( hai đội gặp lần) Sau trận đấu, đội thắng điểm, đội thua không điểm nào, trận đấu kết thúc với tỉ số hoà đội điểm Các đội xếp hạng dựa tổng số điểm Trong trường hợp số đội có tổng điểm đội xếp hạng theo số phụ Kết thúc giải, người ta nhận thấy khơng có trận kết thúc với tỉ số hoà; đội xếp nhì ba có tổng điểm 15, 12, 12 tất đội xếp có tổng điểm đội khác N ≥7 a) Chứng minh b) Tìm N tổng điểm đội tham gia giải Năm học: 2003 – 2004 Đề toán chung cho khối C D Bài 1: a) Vẽ Parabol b) Cho y = x Tìm giá trị cùa x để x − x + > − x + 17 f ( x ) = ( m − ) x − ( 4m − 9m − 13) x + ( −3m + ) − m f (1) = Tìm m < để Lúc tìm g(x) để f ( x) = ( x − 1) g ( x ) tìm nghiệm cịn lại, có phương trình f ( x) = Bài 2: a) Giải phương trình: b) x + = x + 3x − Rút gọn biểu thức: 2+ + 2+ + 2− − 2− Bài 3: a) Giải hệ phương trình: b) Tìm k để phương trình  x − y = −9  với 3  x + y =1  x, y số nguyên kx − ( 12 − 5k ) x − ( + k ) = có tổng bình phương nghiệm 13 Bài 4: Cho dây cung BC đường tròn tâm O, điểm A chuyển động cung lớn BC Hai đường cao AE, BF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh CE.CB = CF CA b) AE kéo dài cắt đường tròn H’ Chứng minh H H’ đối xứng qua BC, xác định quĩ tích H Bài 5: Có đội xây dựng làm chung công việc Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, đội lại làm thên 12 ngày hồn thành cơng việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội trung bình cộng suất đội I suất đội II; đội làm một phần cơng việc phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm ngày xong cơng việc Đề tốn chung cho khối A B Bài 1: Cho phương trình: mx + 2mx + m + 3m − = a) Định m để phương trình vơ nghiệm b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả ( 1) Bài 2: x1 − x2 = a) b) x ( x + ) + x ( x − ) = x ( x + 3) Giải phương trình Giải hệ phương trình: ( x + y ) ( x − y ) = 144    x2 + y − x2 − y = y  Bài 3: Cho tam giác ABC có MN BC · BAC = 45o Gọi M N chần đường cao kẻ từ B C tam giác ABC a) Tính tỉ số b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA ⊥ MN Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều; mặt bên SCD tam giác vuông cân S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính diện tích tamg giác SIJ theo a b) Họi H chân đường cao kẻ từ S tam giác SIJ Chứng minh SH vng góc với AC Bài 5: Lớp 9A có 28 học sinh đăng kí dự thi vào lớp chuyên Tốn, Lý, Hố trường Phổ Thơng Năng Khiếu Trong đó: khơng có học sinh chọn thi vào lớp Lý chọn thi vào lớp Hố; Có học sinh chọn thi vào ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán Lý số học sinh thi vào lớp Tốn; Có học sinh chọn thi vào lớp Toán Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý lớp Hoá gấp lần số học sinh chọn thi vào lớp Toán, Lý, Hoá Hỏi số học sinh thi vào lớp Đề thi vào chuyên toán Bài 1: a) b) Chứng minh phương trình: (a − b ) x − ( a − b3 ) x + a − b = Giải hệ phương trình có nghiệm với a, b  x + y + xy =   3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35   Bài 2: a) Với số nguyên dương n, đặt: an = 2 n +1 − 2n+1 + 1; bn = 22 n+1 + 2n+1 + Chứng minh với n có b) anbn chia hết cho an + bn khơng chia hết cho Tìm tất ba số nguyên dương đôi khác cho tích chúng tổng chúng Bài 3: Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AA1 Hạ A1H vng góc AB, A1K vng góc AC Đặt A1B = x, A1C = y a) Gọi r r’ bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, tam giác AHK tương ứng Hãy tính tỉ số r′ r theo x y Suy giá trị lớn tỉ số b) Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn theo x y Bài 4: a) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O b) Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 5: a) Cho mảnh vuông x Trên ô hình vuông này, ban đầu người ta ghi số số cách tuỳ ý( ô số) Với phép biến đổi bảng, cho phép chọn hàng cột hàng cột chọn đổi đồng thời số thành 1, số thành Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi vậy, ta đưa bảng ban đầu toàn số b) Ở vương quốc “ Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ gặp màu tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba ( ví dụ hiệp sĩ tóc xanh gặp hiệp sĩ tóc vàng màu tóc họ thành màu đỏ) Hỏi sau hữu hạn lần gặp “Sắc màu kì ảo” tất hiệp sĩ có màu tóc khơng? Năm học: 2004 – 2005 Đề tốn chung cho khối C D Bài 1: a) Tìm m để Parabol (P): b) Giả sử phương trình y = x + 2mx − m + tiếp xúc với đường thẳng (d): mx + ( 2m + 1) x + m − = y = x + m có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Hãy tính tổng S tích P nghiệm Tìm hệ thức S P độc lập m Bài 2:  x + y = −1  3  x + y = −21 a) Giải hệ phương trình: b) Giải phương trình: 20 − − x = x − Tìm k để đa thức f ( x ) = x − 22 x + 51x + 2k Bài 3: a) f ( x ) = g ( x ) h ( x ) b) Rút gọn biểu thức: ) Giải phương trình chia hết cho đa thức f ( x) = g ( x ) = x − 3x + ( Nghĩa có đa thức h(x) cho với k vừa tìm 3a − 2ab − b 3a − 4ab + b R= : 2a + ab − b 3a + 2ab − b Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A góc ABC 75o Đường trung trực BC cắt đường thẳng BC, AC, AB M, N, P AN NC a) Tính b) Gọi I giao điểm đường thẳng BN PC So sánh MA MI c) Lấy điểm Q đường thằng vng góc với mặt phẳng (ABC) B cho BQ = BI, hạn QJ vng góc xuống PC, J nằm nằm PC Tính QJ AB Bài 5: Hai thành phố A B cách 48km, gió thổi từ A đến B với vận tốc không đổi 6km/h Lúc giờ, người mô tô từ A đến B, nghỉ ngơi 30 phút trở A, anh đến A lúc 10 50 phút Vận tốc mô tô cộng thêm trừ vận tốc gió, t theo mơ tơ chạy xi hay ngược gió Hãy tính vận tốc riêng mô tô ( tốc độ mô tô vận tốt gió 0) Đề tốn chung cho khối A B Bài 1: x − 4x − = a) Giải phương trình: b) Định m để phương trình x − ( m + 1) x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn điều kiện: a) b) a + b2 + c2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 2 ab + ac + bc = Chứng minh c ≥ a, c ≥ b c ≥ a + b tính a + b + c biết Bài Cùng thời điểm , ô tô XA xuất phát từ thành phố A thành phố B chiết xe khác XB xuất phát từ thành phố B thành phố A Chúng chuyển động với vận tốt riêng không đổi gặp lần thứ điểm cách A 20 km Cả hai xe, sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XB từ C đến B 10 phút thời gian hai lần gặp Tìm vận tốt ô tô Bài 4: Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp (C) tam giác nhọn ABC Tia AI cắt đường tròn (C ) K ( K khác A) J điểm đối xứng I O qua BC a) Chứng minh tam giác IBJ vuông b) Tính góc BAC Q thuộc ( C) c) Chứng minh Q thuộc (C ) P thuộc (C ) Bài 5: Chứng minh từ số nguyên dương tuỳ ý không lớn 20, chọn số x, y, z độ dài cạnh tam giác Đề thi vào chuyên toán Bài 1: x + y + =   y + x + =1  a) Giải hệ phương trình: b) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện c) Tìm tất số nguyên m≥0 x < 1, y < Chứng minh rằng: x + y ≥ cho phương trình: x − ( m − 1) x + m = x+ y + xy có nghiệm nguyên Bài 2: a) Tìm tất số nguyên dương n cho đa thức: b) Tìm số dư phép chia x 3n+1 + x n + chia hết cho đa thức x + x + A = 38 + 36 + 32004 cho 91 Bài 3: Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Hạ PA1, PB1, PC1 vng góc với BC, CA, AB tương ứng Tìm tập hợp điểm P cho tam giác A1B1C1 tam giác cân Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (C ) M điểm thay đổi cung nhỏ BC N điểm đối xứng M qua trung điểm I AB a) Chứng minh trực tâm K tam giác NAB thuộc đường tròn cố định b) Giả sử NK cắt AB D, hạ NE vng góc với BC Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh DE qua trung điểm J HK Bài 5: a) Trong giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn lượt ( đội đấu với trận) Đội bóng thắng điểm, hồ điểm, thua khơng có điểm Kết thúc giải, người ta nhận thấy số trận thắng – thua gấp đôi số trận hoà tổng số điểm đội 176 Hãy tìm k b) Tìm tất số nguyên dương A có hai chữ số cho số A thỗ mãn hai tính chất sau: i) A bội số ii) A bội số 21 iii) A + số phương iv) A – 20 số phương Năm học 2005 – 2006 Đề toán chung cho khối C D Bài 1: a) Gọi (d) đường thẳng qua hai điểm A(0; -1) M(1; -m -1) Tìm m để Parabol (P): b) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình: 2 mx + 2mx − = Tính A = x1 + x2 Bài 2: a) Với điều kiện xy < 0, giải hệ phương trình: b) Rút gọn biểu thức: Bài 3: R= y = mx + mx − 3 x − y = 0,11   2 x − y = 0, 22   3+ + 3+ + 3− − 3− theo m tiếp xúc với đường thẳng (d) x2 − 4x + + x2 + 6x + = 15 x a) Giải phương trình b) Tìm số nguyên liên tiếp cho tổng bình phương bốn số đầu tổng bình phương ba số sau Bài 4: Cho tam giác ABC có · · ACB = 45o , · ACB + BAC = · ABC Đường trung trực AB cắt BC M · MAC a) Tính b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC Chứng minh tức giác ABCI tứ giác nội tiếp Bài 5: Một đua thuyền tổ chức tuyến đường hình tam giác ABC ( chạy từ A đến B, từ B đến C từ C A) Chiếc thuyền “Bảy sứ trắng” tham dự đua ghi nhận thông tin sau: thuyển chạy từ nhanh vượt đoạn CA 25 phút; thuyền chạy từ A đến đoạn đường AB đích 15 phút; thuyền vượt đoạn BC đoạn CA hết 2h 40 phút Giả sử di chuyển cạnh tốc độ thuyền không đổi thuyền thẳng; ra, thời gia để thuyến đổi hướng khơng đáng kể Tính thời gian thuyền vượt tồn qng đường Đề tốn chung cho khối A B Bài 1: Cho phương trình x ( x + 1)  mx + ( m + ) x + m + 3 =   a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình khơng thể có nghiệm phân biệt Bài 2: a) Giải hệ phương trình b) Giải hệ phương trình x − y =    2x + − y − =   xy = z   yz = x  zx = y  Bài 3: x + + x − − x +1 − x − = a) Giải phương trình b) Cho số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: ab + 2bc + 3ca ≤ Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) I ( I khác A) Gọi H điểm đối xứng I qua BC a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC b) Gọi N giao điểm BH AC P điểm thuộc cạnh AB cho: c) Giả sử BH = 2HN AH = HI Chứng minh tam giác ABC · · PMB = NMC Chứng minh C, H, P thẳng hàng Bài 5: Trong kì thi học sinh giỏi trường , xếp phịng thi 22 học sinh cịn chứa em, cịn giảm phịng thi số học sinh chia cho phịng Hỏi có học sinh tham dự kì thi, biết mổi phịng khơng thể chứa q 40 học sinh Đề thi vào chuyên toán Bài 1: a) Cho a, b > 0, c ≠ Chứng minh rằng: 1 + + =0⇔ a+b + a+c + b+c a b c b) Giải hệ phương trình : 1 + =1 x y   x − + y − = xy +  Bài 2: p≥5 a) Cho số nguyên tố cho 2p + số nguyên tố Chứng minh p + chia hết cho 2p2 + số nguyên tố b) Tìm tổng số nguyên dương từ đến 1000 mà cách viết thập phân chúng không chứa chữ số chữ số c) Cho tam thức bậc hai P( x) = P( − x) P ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) thoả mãn điều kiện: P ( x − ) = P ( x ) − Chứng minh với x Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC Điểm D di động cạnh BC Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACD a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác AO1O2 ln qua điểm cố định khác A b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO 1O2 Hãy xác định vị trí điểm D BC cho IO nhỏ Bài 4: a) Cho hình vng ABCD có cạnh M điểm nằm hình vng Chứng minh MA2 + MB + MC + MD ≥ b) Cho x, y, z, t số thực thuộc đoạn [ 0; 1] Chứng minh rằng: x( 1− y) + y (1− z) + z (1− t ) + t ( 1− x) ≤ Bài 5: Xét 81 chữ số, có chữ số 1, chữ số 2, …, chữ số Hỏi xếp hay không tất chữ số thành dãy, cho với k = 1, 2, …, khoảng hai chữ số k liên tiếp có k chữ số Năm học: 2006 – 2007 Đề toán chung cho khối C D Bài 1: a) Với điều kiện x > 0, y > 0, giải hệ phương trình: 4 x − y = −2   2 2 x y + 3x = 2, 25  b) Giải phương trình cách đặt ẩn phụ: x + ( x + x + ) − 14 = Bài 2: Xét biểu thức: P= x −1 x +3 x+5 − − x +1 x −2 x− x −2 Rút gọn P Tìm giá trị x để P > -1 Tìm giá trị nguyên x cho P số nguyên Bài 3: Cho phân số Nếu thêm vào tử mẫu phân số tăng Nếu giảm tử mẫu phân số giảm Tìm phân số 42 21 Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, đường thẳng BH CH cắt AC AB M N, a) b) Tính MN · AMN = · ABC Tính BC Chứng minh Bài 5: AH BC · NHM = 120o , Trong đua mô tô có xe khởi hành lúc Xe thứ nhì chạy chậm xe thứ 10km nhanh xe thứ ba 5km, đến đích trễ xe thứ 10 phút, sớm xe thứ ba phút Tính vận tốc xe chiều dài quãng đường Đề toán chung cho khối A B Bài Cho phương trình: x − 10 x + 4m − = ( 1) a) Xác định m để phương trình có nghiệm tìm nghiệm cịn lại phương trình b) Tìm tấc giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Bài a) b) Giải phương trình x + − 2x − = Giải hệ phương trình :  x2 + y =   2 xy − y =  Bài a) Cho a, b, c thoả Tính b) P= abc ≠ ab + bc + ca = ( a + b) ( b + c) ( c + a) abc Cho a, b, c thoả ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≠ a2 b2 c2 a2 b2 c2 Chứng minh a = + + = + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b b= c Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trình tâm O, có AC ⊥ BD AC cắt BD I Biết IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm a) Chứng minh tam giác ABC cân b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính độ dài đoạn MN c) Gọi P giao điểm IO MN Tính độ dài đoạn MN Bài Để tặng thưởng cho học sinh đạt thành tích cao kì thi Olympic tốn dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức trao 30 phần thưởng cho học sinh với tổng giải thưởng 2.700.000 đồng bao gồm: học sinh đạt giải 150.000 đồng; học sinh đạt giải nhì 130.000 đồng; học sinh đạt giải ba thưởng 100.000 đồng; học sinh đạt giải khuyến khích thưởng 10.00 đồng Biết có 10 giải ba giải nhì trao Hỏi ban tổ chức trao giải nhất, giải nhì khuyến khích Đề thi vào chun tốn Bài 1: 2 x + xy =   2 y + xy =  a) Giải hệ phương trình: b) Giải bất phương trình: c) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện Bài 2: Cho phương trình 3x − x ≤ x − x + y = Chứng minh xy ( x + y ) ≤ ( m + 3) x − ( m + 3m ) x + m3 + 12 = ( 1) với m tham số a) Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Ký hiệu x1, x2 hai nghiệm (1) Tìm số nguyên m lớn cho x12 + x2 số nguyên Bài 3: Cho tam giác ABC P điểm nằm tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ P đến BC, AC AB a) Biết x =1, y = 2, z = Hãy tính diện tích tam giác ABC b) Tìm quĩ tích điểm P tam giác cho x + y = z Từ suy tập hợp điểm P tam giác cho x, y, z lập thành cạnh tam giác Bài 4: Cho đường tròn (C )tâm O, AB dây cung ( C) Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn (C 1) tâm O bán kính OI P Q Chứng minh tích AP.Q khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln qua điểm cố định khác B Bài 5: a) Trong giải bóng đá, có đội thi đấu vịng tròn lượt( trận, đội thắng điểm, đội thua điểm, đội hoà điểm) Khi kết thúc giải, người ta thấy có đội đạt tổng số điểm điểm, điểm điểm Hãy cho biết đội cịn lại đượt điểm giải thích sao? b) Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện tổng số chúng nhỏ tổng số lại Chứng minh tất số dương Năm học: 2007 – 2008 Đề toán chung cho khối A B Bài 1: Cho phương trình x2 − 2x m + m x −1 ( a) =0 Tìm m để x = -1 nghiệm phương trình b) ) m +1 − Tìm m để phương trình vơ nghiệm Bài 2: a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình ( x + 3) ( x − 1) − x − < x2 −  x y + y x = 3x x −    y x + 2x y = 3y y −1  Bài 3: a) Cho a, b, hai số thoả mãn điều kiện a − 3ab + 2b + a = a − 2ab + b − 5a + 7b = Chứng tỏ ab − 12a + 15b = b) Cho ( A= )( x2 + − x + x + ( )( x2 + + ) ) x − x +1 x x x −1 Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H · BAC = 600 Gọi M, N, P chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC I trung điểm BC a) Chứng minh tam giác INP b) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I, M, E, K thuộc đường tròn c) Giả sử IA phân giác góc · · NIP Hãy tính số đo góc BCP Bài 5: Một cơng ti may giao cho tổ máy A may 16.800 sản phẩm, tổ B may 16.500 sản phẩm bắt đầu thực công việc lúc Nếu sau ngày, tổ A hỗ trợ thêm 10 cơng nhân may họ hồn thành công việc lúc với tổ B Nếu tổ A hỗ trợ thêm 10 công nhân từ đầu hồn thành cơng việc sớm tổ B ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu tổ, công nhân may ngày 20 sản phẩm Đề thi vào chuyên toán Bài 1: a) Giải hệ phương trình: b) Cho  x2 + y = 6x   y + = xy   a = 11 + , b = 11 − Chứng minh a, b, hai nghiệm phương trình bậc với hệ số nguyên c) Cho c = + 10, d = − 10 Chứng tỏ c , d 2 hai nghiệm phương trình bậc với hệ số nguyên Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P điểm cung BC không chứa điểm A Hạ AM, AN vng góc với PB, PC a) Chứng minh MN qua điểm cố định P thay đổi b) Xác định vị trí P cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn Bài 3: a) Cho a, b, c, d số thực dương thoả mãn: ab = cd =1 Chứng minh bất đẳng thức: b) Cho a, b, c, d số dương thoả mãn điều kiện ( a + b) ( c + d ) + ≥ 2( a + b + c + d ) abcd = Chứng minh bất đẳng thức: ( ac + bd ) ( ad + bc ) ≥ ( a + b ) ( c + d ) Bài 4: Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Đường trịn đường kính CD qua trung điểm cạnh bên AD, BC tiếp xúc với AB Hãy tìm số đo góc hình thang Bài 5: a) Cho a, b, c số thực dương phân biệt có tổng x − 2ax + b = 0, x − 2bx + c = 0, x − 2cx + a = Chứng minh phương trình có phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình vơ nghiệm b) Cho S tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý S số phương( ví dụ S = {5, 20, 44}) Chứng minh tập S có khơng q số lẻ Tuyển sinh vào lớp 10 – TP.HCM Năm học 2005 – 2006 Đề thi chung vào trường chuyên Bài 1: Cho phương trình: b) c) Bài 2: x + ( − 2m ) x + m − 3m + = Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số m Tìm m để tích nghiệm phương trình đạt giá trị nhỏ Giải phương trình hệ phương trình sau: c)  x2 + y = ( x + y )   x + y =  d) x + 25 x ( x + 5) = 11 Bài 3: a) Cho a > c, b > c, c > Chứng minh b) Cho a, b > Chứng minh c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ab ≤ a+ b ab Bài 4: Bài N a) b) Tìm số phương có chữ số biết tăng thêm số đơn vị số tạo thành số phương Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R), góc C 45 o Đường trịn đường kính AB cắt cạnh AC BC M Chứng minh MN vng góc với OC Chứng minh MN = AB Bài 6: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC( H thuộc AB, K thuộc AC) a) Chứng minh hai tam giác MBC MHK đồng dạng b) Tìm vị trí M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: a) Định m để hai phương trình d) x2 + x + m = x + mx + = có nghiệm chung Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình b2 x2 + ( b2 + c − a ) x + c = vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình  x − y3 = 3( x − y )  a)  x + y =  2x 13 x b) + =6 3x − x + 3x + x + Bài 3: a) b) Chứng minh Chứng minh ( a + b ) ≥ ab3 + a 3b + 2a 2b a − b + 2ab − b > a với a, b với a > b > Bài 4: Tìm số nguyên dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB < AD Tia phân giác góc · BAD cắt BC M cắt DC N Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN a) Chứng minh DN = BC CK ⊥ MN b) Chứng minh BKCD tứ giác nội tiếp Bài 6: Cho tam giác ABC có µ = B Chứng minh BC = AC + AB AC µ A Năm học: 2006 – 2007 Đề thi chung vào trường chuyên Bài 1: a) b) c) Giải phương trình hệ phương trình sau: 3 x + y =  5 x + y = −4 x + 3x − = x4 + 8x2 − = Bài 2: Thu gọn biểu thức sau: 15 − 12 − −2 2−  a −2 a +2   − b)  ÷  a − ÷ a −2  a  a +2 a) Bài 3: A= với a > 0, a ≠ Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2 Nếu tăng chiều rộng 2m giảm chiều dài 6m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chu vi mảnh đất ban đầu Bài 4: a) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + cắt trục tung tai điểm có tung độ b) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + x2 y=− hệ trục toạ độ Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị phép tính Bài 5: a) b) Cho tam giác ABC có góc nhọn AB < AC Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cát cạnh AB, AC theo thứ tự E D Chứng minh AD AC = AE.AB Gọi H giao điểm BD CE, gọi K giao điểm AH BC Chứng minh AH vng góc với BC c) Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N tiếp điểm Chứng minh d) Chứng minh điểm M, H, N thẳng hàng · ANM = · AKN Đề thi chung vào trường chuyên Bài 1: Thu gọn biểu thức sau: ( 10 − ) a) A = + − b)  a −1 a +1   B= + ÷  − ÷ a +1 a −1   a +1  Bài 2: Với giá trị m đường thẳng (d): Bài 3: a) b) c) y = − x + 2m cắt Parabol (P): y = − x2 hai điểm phân biệt Giải phương trình hệ phương trìn: − x2 = x − 3 x − y =   4 − = x y  − x + x − + −2 x + x − = + Bài 4: a) b) Cho hai số dương x, y thoả x + y = xy Tính Tìm số nguyên dương thoả x y 1 + = x y Bài 5: a) b) c) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH Gọi D E trung điểm cùa AB AC Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH ECH Gọi F giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH CEH Chừng minh HF qua trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm F Đề thi vào lớp chun tốn Bài 1: Tìm giá trị m để phương trình : x − 2mx + m − m − = có nghiệm phân biệt x1, x2 cho x12 + x2 = Bài 2: Giải phương trình sau: a) b) + = −2 x2 + x − x + x − 5− x   − x  x ÷ x + ÷= x +1   x +  Bài 3: Cho hai số dương x, y thoả Chứng minh x3 + y = x − y x2 + y < Bài 4: Tìm số tự nhiên N nhỏ thoả hai tính chất sau: a) Chữ số cuối b) Nếu bỏ chữ số cuối thêm chữ số vào trước chữ số cịn lại số nhận gấp lần số ban đầu Bài 5: Cho đường trịn (O) dây AB khơng qua tâm O Điểm C thuộc cung lớn AB Vẽ đường tròn (O1) qua C tiếp xúc với đường thẳng AB A Vẽ đường tròn (O2) qua C tiếp xúc với AB B Hai đường tròn cắt điểm thức hai E Gọi F giao điểm CE đường tròn (O)( khác điểm C) a) Tứ giác AEBF hình gì? b) Khi C lưu động cung lớn AB E di chuyển đường cố định nào? Bài 6: Cho tam giác ABC góc tù, có hai đường cao AH BK Cho biết AH ≥ BC BK ≥ AC Hãy tính góc tam giác ABC Năm học 2007 – 2008 Bắt đầu từ năm học 2007 – 2008 thành phố tổ chức kì thi tuyển sinh vào lớp 10 bao gồm vào trường chun Đề thi mơn tốn gồm hai đề: đề thi chung cho toàn thành phố, đề thi vào lớp chun tốn Đề thi chung tồn thành phố Bài 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x2 − 5x + = x − 29 x + 100 = 5 x + y = 17 c)  9 x − y = b) Bài 2: Thu gọn biểu thức sau: 4−2 6− a) A= b) B= 2+ ( ) 6−3 Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675 m2 có chu vi 120m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn Bài 4: Cho phương trình: x − 2mx + m − m + = với m tham số, x ẩn a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 c) Với điều kiện câu b, tìm m để biểu thức A = x1 x2 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE AB = AF AC c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC OK BC tứ giác BHOC nội tiếp Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Đẳng thức xảy nào? b) Chứng minh với số thực dương a, b khác khơng ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b + ≥  + ÷ b a b a Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x − xy = x − y − Bài 3: Cho hệ phương trình:  x + y + x + y = 11    xy ( x + ) ( y + ) = m  a) Giải hệ phương trình m = 24 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 4: Cho ( x+ Tính )( y+ ) S = x+ y x + 2007 y + 2007 = 2007 Câu 5: Cho a, b số nguyên cho a +1 b +1 + a b số nguyên Gọi d ước số chung a b Chứng minh d ≤ a+b Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) ( AB < AC) Các tiếp tuyến với (O) B C cắt N Vẽ dây AM song song với BC Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) M P 1 + = , tính độ dài đoạn BC 2 OB NC 16 BP CP − AC AB a) Cho biết b) Chứng c) Chứng minh BC, ON AP đồng qui ... học sinh chọn thi vào lớp Toán Lý số học sinh thi vào lớp Toán; Có học sinh chọn thi vào lớp Tốn Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý lớp Hoá gấp lần số học sinh chọn thi vào lớp Toán, Lý, Hoá Hỏi... 2008 thành phố tổ chức kì thi tuyển sinh vào lớp 10 bao gồm vào trường chun Đề thi mơn tốn gồm hai đề: đề thi chung cho toàn thành phố, đề thi vào lớp chuyên toán Đề thi chung tồn thành phố Bài... thi vào lớp chun Tốn, Lý, Hố trường Phổ Thơng Năng Khiếu Trong đó: khơng có học sinh chọn thi vào lớp Lý chọn thi vào lớp Hố; Có học sinh chọn thi vào ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi