Gọi C là trung điểm của bỏn kớnh OB và S là đường trũn đường kớnh AC.. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường trũn S.. a Chứng minh rằng đường thẳng MN song song v
Trang 1Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
Bài 1: (3 điểm)
a) Khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy chứng minh đẳng thức :
Bài 2: (1,5 điểm)
1 2 3 4
x < x < x < x và x4− x1=3( x3− x2).
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường trũn (O), đường kớnh AB Gọi C là trung điểm của bỏn kớnh OB và (S)
là đường trũn đường kớnh AC Trờn đường trũn (O) lấy hai điểm tựy ý phõn biệt M, N khỏc A và B Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường trũn (S) a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ
NF = AN
Bài 4: (1,5 điểm)
Tỡm số tự nhiờn cú bốn chữ số (viết trong hệ thập phõn) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa món:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước
(ii) Tổng p + q lấy giỏ trị nhỏ nhất, trong đú p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ
số hàng đơn vị cũn q là tỉ số của chữ số hàng nghỡn và chữ số hàng trăm
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bỡa dạng tam giỏc vuụng cú độ dài ba cạnh là cỏc số nguyờn Chứng minh rằng cú thể cắt tấm bỡa thành sỏu phần cú diện tớch bằng nhau và diện tớch mỗi phần là số nguyờn
Hết
SBD thớ sinh: Chữ ký GT1:
Trang 2Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điểm
1.a
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
0.25
0.25 0,25 0.25
(x2+2x+1) y=36⇔ +x 1 y =6 0,25 Đặt u= +x 1, v= y (u≥0, v≥0), ta cú hệ 5
6
u v uv
+ =
=
0,50
Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2 0,25 Trường hợp u = 2 , v = 3 cú : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x = −3 ; y = 9) 0,25 Trường hợp u = 3 , v = 2 cú : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x = −4 ; y = 4) 0,25
Hệ đó cho cú 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) 0,25
4 2 2 2 1 0
x − mx + m− = (1)
Đặt :t=x2, ta cú : t2−2mt+2m− =1 0 (2) (t≥0) 0,25
( )2 2
' m 2m 1 m 1 0
Vậy để (1) cú bốn nghiệm phõn biệt thỡ (2) luụn cú hai nghiệm dương phõn biệt t t 1, 2
Tương đương với: ' 0, 2 1 0, 2 0 1, 1
2
∆ > = − > = > ⇔ > ≠ (3)
0,25
Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương 0 t< <1 t2 và phương trỡnh (1)
cú 4 nghiệm phõn biệt: x1 = − t2 < x2 = − t1 < =x3 t1 <x4 = t2
Theo giả thiết: x4− =x1 3(x3−x2) ⇔2 t2 =6 t1 ⇔ t2 =3 t1 ⇔ =t2 9t1 (4)
0,25
Trang 3Theo định lí Vi-ét, ta có: t1+ =t2 2m và t t1 2 =2m−1 (5)
Từ (4) và (5) ta có: 10t1 =2m và 2
1
9t =2m−1
2
5
9
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:
5
9
0,50
2
Trang 4B.3 3,0
Do đó : AP AC
AM =AB (1) + Tương tự: CQ BN và // AQ AC (2)
AN =AB
Từ (1) và (2): AP AQ
AM =AN ,
Do đó PQ MN//
0,25
0,25 0,25
0,25
3.b + Hai tam giác MEP và MAE có : ·EMP=·AME và ·PEM =EAM·
Do đó chúng đồng dạng
+ Suy ra: ME MP 2
0,50 0,50
3.c + Tương tự ta cũng có: NF2 =NA NQ×
+ Do đó:
2 2
×
=
×
+ Nhưng MP MA (Do PQ MN// )
+ Từ đó:
0,25 0,25 0,25 0,25
Xét số tùy ý có 4 chữ số abcd mà 1≤ < < < ≤a b c d 9 (a, b, c, d là các số nguyên)
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của p q c a
Do b, c là số tự nhiên nên: c b> ⇒ ≥ +c b 1 Vì vậy : 1 1
9
b
p q
b
+ + ≥ +
2
p q
7 9
p q+ = trong trường hợp 1, 9, 1, 1
9
b
b
Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
0,25 0,25
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền
Ta có a2+b2 =c2; a, b, c ∈N , diện tích tam giác ABC là *
2
ab
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12
0.25
+ Chứng minh abM 3
Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì a2+b2chia 3 dư 2
Suy ra số chính phương c chia 3 dư 2, vô lý.2
0,25 3
Trang 5+ Chứng minh abM 4
- Nếu a, b chẵn thì abM 4
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ
Lúc đó c lẻ Vì nếu c chẵn thì 2
4
a +b không thể chia hết cho 4
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h ∈N Ta có :
( ) (2 )2 2
Suy ra 4bM
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng
12
ab
là một số nguyên
0.25
Ghi chó:
4