đề d.a casio 0708

… Hãy viết B dới dạng phân số tối giản.. … Hãy viết B dới dạng phân số tối giản... 1đ Xác định hệ số của x2 trong đa thức thơng của phép chia trên... 1.1đ Tính gần đúng chính xác đến 3 c

Phòng GD Thọ Xuân Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs

giải toán bằng máy tính CASio năm học 2007-2008

Đáp án chi tiết đề lẻ

(Thời gian làm bài 150 phút )

(Thí sinh làm bài và ghi đáp số vào ngay sau phần đề bài theo chỉ dẫn, thí sinh chỉ

đ-ợc sử dụng các loại máy tính Casio loại fx-570ES trở xuống )

Bài 1: (2 điểm)

1.(1đ) Tìm số d trong phép chia 85479867458668 cho 8547

2.(1đ) Tính chính xác giá trị A=2212073

Giải:

2.Ta có đặt a=221; b=207 => A=(a.103+b)3=a3.109+3.106.a2.b+3.103.a.b2+b3

Lập bảng dùng máy tính tính ta có:

a3.109= 1 0 7 9 3 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.106.a2.b= 3 0 3 3 0 2 6 1 0 0 0 0 0 0

3.103.a.b2= 2 8 4 0 8 8 8 7 0 0 0

A= 1 0 8 2 4 2 1 9 6 7 8 7 5 6 7 4 3

Vậy A= 10 824 219 678 756 743’ ’ ’ ’ ’

Bài 2: (2 điểm)

1.(1đ) Thực hiện phép chia 3 cho 17 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn Hãy

xác định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy

2.(1đ) Cho B= 6,2435435435 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (435) …

Hãy viết B dới dạng phân số tối giản

Giải:

1.(1đ) Thực hiện phép chia 3 cho 17 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn Hãy

xác định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy

Ta có 3:17=0,176470588 Bấm 3-17 0,176470588 =4.10… -9

Lấy 4:17= 0,235294117 =>3:17=0, 176470588235294117 … …

Bấm tiếp 4-17.0, 235294117 =11.10-9 Lấy 11:17=0,647058823…

=>3:17=0, 176470588235294117647058823 …

Do đó 3:17=0,( 1764705882352941) (có chu kỳ là 16 CS)

Vì 2007 mod 16 =7 nên CS cần tìm là CS thứ 7 trong chu kỳ là CS 5

( Thử lại trên máy vi tinh chọn Calculator/View/Scientific cho kết quả

3:17=0,1764705882352941 1764705882352941 )…

2 Cho B= 6,2435435435 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (435) …

Hãy viết B dới dạng phân số tối giản

1

6997

A=10 824 219 678 756 743’ ’ ’ ’ ’

5

3330 20791

Ta có 6,2(435)=6,2+0,(435):10

Đặt A=0,(435) ta có 1000A=0,(435).1000 do đó 1000A=435,(435)

Suy ra 1000A=435+0,(435) hay 1000A=435+A

=> 999A=435 =>A= 435:999 do đó B=6,2(435)=6,2+(435:999):10=62 435

3330

Bài 3: (2,5 điểm) Tính các giá trị sau ( tính chính xác đến 6 chữ số phần thập phân)

1.(1,5đ)

C = 1

1

+ + 3+1 4 + + 1

2.(1đ) D =

2 0 2 0 4

3 0 3 0

sin 35 tg 50 -cos 40 3

sin 35 :0,15cotg 55 4

Giải :

C = 1

1

+ + + 1

1

= ( 2 1)

−

) 2 3 (

− +

−

+ + ( 2007 2006)

−

−

= 2 − 1 + 3 − 2 + + 2007 − 2006 + 2008 − 2007

= 2008 − 1 ≈43,810713

2 D =

2 0 2 0 4

3 0 3 0

sin 35 tg 50 -cos 40

3

sin 35 :0,15cotg 55

4

≈0,379408548≈0,379409

Bài 4: (2,5 điểm)

Cho đa thức P(x)=x5+6,734x4+4,325x3-8,623x2+7,462x+2,785

1.(1,5đ) Tìm số d của đa thức trên khi chia cho (x-5,12)

2. (1đ) Xác định hệ số của x2 trong đa thức thơng của phép chia trên

Giải:

1 Số d của P(x) khi chia cho (x-5,12) chính là P(5,12)

- Dùng máy tính thay vào tính ta có P(5.12)=8541,442115

Vậy số d là 8541,442115

2 Phân tích đa thức f(x) ra thừa số theo sơ đồ Horner :

Chia đa thức f(x)= a0x5 +a1x4+a2 x3+a3 x2 +a4 x + a5 cho nhị thức (x-c) đợc thơng là một đa thức bậc 4

f(x)=a0x5 +a1x4+a2 x3+a3 x2 +a4 x + a5 =(x-c)( b0x4+b1 x3+b2 x2 +b3x + b4)+r

Do đó hệ số của x2 trong đa thức thơng của phép chia trên là b2

Ta có b0 = a0; b1=b0c+a1 ; b2=b1c+a2 ; trong đó b… 0 = a0=1; a1=6,734 ; a2=4,325… Thay số vào ta có : b1=1 5,12 +6,734 =11,854

b2=11,854.5,12 +4,325=65,01748

Vậy hệ số của x2 trong đa thức thơng là 65,01748

2

D ≈0,379409

C ≈43,810713

≈8541,442115

65,01748

Bài 5: (2 điểm)

1.(1đ) Biết

4

hãy tìm x viết dới dạng phân số

2.(1đ) Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 81063; 68764 và 59728 cho a ta

đ-ợc cùng một số d

Giải:

1.Ta có

1 4

1 3

1 2 2

+

+ + =

73

17 ;

1 1

1 2

1 3 4

+ + + =

43

30 do đó ta có 4 73 43

30 17

x − x =

=> x=

30 17

−

=4 : (30 17)

1459 Vậy x=12556

1459

2 Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 81063; 68764 và 59728 cho a ta đợc cùng một số d

Giải:

Vì các số 81063, 68764 và 59728 khi chia cho a ta đợc cùng một số d nên ta có các hiệu 81063 – 68764 ; 68764–59728 đều chia hết cho a do đó các số 12299 và

9036 đều chia hết cho a, mà a là số tự nhiên lớn nhất nên a chính là ƯCLN(12299 , 9036)=251

Vậy a=251

Bài 6 : (2 điểm)

Cho đa thức P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d

Biết P(1)=0; P(2)=3; P(3)=8; P(4)=15

Hãy tính P(100); P(1001)

Giải:

Đặt Q(x)=P(x)-(x2-1) nh vậy Q(x) là đa thức bặc 4

Ta có Q(1)=P(1)-(12-1)=0-0=0 ; Q(2)=P(2)-(22-1)=3-3=0

Q(3)=P(3)-(32-1)=8-8=0 ; Q(4)=P(4)-(42-1)=15-15=0

Do đó Q(x) có 4 nghiệm là 1, 2, 3, 4 => Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Mà Q(x)=P(x)-(x2-1) => P(x)-(x2-1) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

=> P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +(x2-1)

Thay số vào ta có P(100)=99.98.97.96+1002-1=90 355 023’ ’ (1đ)

P(1001)=1000.999.998.997+10012-1=994’010’994’000+1’002’001-1

=994 011 996 000’ ’ ’ (1đ)

Bài 7: (2 điểm)

Cho 4 điểm A, B, C, I sao cho I thuộc miền trong tam giác ABC và IA=3cm; IB=2cm; IC=5cm; AB=4cm; AC=6cm

1.(1đ) Tính gần đúng (chính xác đến 3 chữ số phần thập phân) khoảng cách IH từ I đến

AB

3

1459

a=251

P(100)= 90 355 023’ ’ P(1001)= 994 011 996 000’ ’ ’

IH≈1,452 cm

2.(1đ) Tính chính xác nhất (làm tròn theo độ, phút, giây) số đo góc BAC.

Giải:

1 Ta có: SΔABI=IH.AB:2 => IH=SΔABI:AB.2

≈ 1,452 (cm ) Đáp số: 1,452 cm

2.Từ I hạ IK vuông góc với AC Tơng tự ta tính đợc IK=SΔAIC:AC.2 = 7.1.2.4:AC.2

≈7,483314774:6.2≈2,494438258 (cm)

Mà ãBAC=ãHAI+ãIAK Ta dễ ràng tính đợc các góc HAI và IAK nhờ vào hàm ngợc của hàm sin trên máy Casio, hàm sin các góc này sẽ tính đợc khi biết IH và IK.

- Ta có sinA1=IH:IA≈1,452368755:3≈0.484122918 =>ãHAI ≈28057’18,09’’

- Ta có sinA2=IK:IA≈2,494438258:3≈0.831479419 => ãIAK ≈56015’3,64’’

=>ãBAC≈28057’18,09’’+56015’3,64’’≈85 0 12 21.73’ ’’≈85 0 12 22’ ’’

Đáp số: 85 0 12 22’ ’’

Chú ý: Khi tính toán, để đợc kết quả chính xác nhất có thể thì đến cuối cùng mới nên làm tròn theo yêu cầu.

Bài 8: (2 điểm) (Kết quả đợc làm tròn số đến đơn vị đồng)

1.(1đ) Một ngời gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với lãi xuất 0,65% một tháng Hỏi sau

10 năm ngời đó có nhận đợc số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng Biết rằng ngời đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trớc đó

2.(1đ) Một ngời khác, hàng tháng đều đặn gửi vào ngân hàng số tiền là 1 triệu đồng với

lãi xuất là 0,63% một tháng Hỏi sau đúng 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) ngời đó đi rút tiền cả gốc lẫn lãi về thì sẽ có số tiền là bao nhiêu? Biết rằng hàng tháng ngời đó không rút lãi ra

Giải:

1 Gọi số tiền ban đầu ngời đó gửi vào là a, lãi xuất hàng tháng là m% ta có:

Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a+a.m%=a(1+m%)

Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là: a(1+m%)+a(1+m%).m%=a(1+m%)2

………

Tuơng tự ta có : Sau n tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a(1+m%)n

Thay a=60000000; m=0,65 và n=10.12=120

4

ãBAC ≈85 0 12 22’ ’’

≈130 558 381đ’ ’

≈73 097 883’ ’ đ

Sau 10 năm ngời đó có số tiền ở ngân hàng là: 60000000.(1+0,0065)120 ≈130558381,4đ

≈130558381đ

Đáp số: 130 558 381đ’ ’

2 Gọi số tiền hàng thángngời đó gửi vào là a, lãi xuất là m%/tháng ta có:

Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :

(a+a.m%)+a=a[(1+m%)+1]=(1+m a%) 1− [(1+m%)2-1]=

%

a

m [(1+m%)2-1]=

Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :

%

a

m [(1+m%)2-1](1+m%)+a=

%

a

m [(1+m%)3-1(1+m%)+m%]=

%

a

m [(1+m%)3-1]

Tuơng nh vậy tự ta có :

Sau k tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :

%

a

m [(1+m%)k-1](1+m%)+a=

%

a

m [(1+m%)k+1-1(1+m%)+m%]=

%

a

m [(1+m%)k+1-1] Sau n tháng ngời đó đi rút tiền về, ngời đó sẽ không gửi định kỳ nữa thì số tiền ngời đó rút về đợc là

%

a

m [(1+m%)n+1-1]-a

Thay a=1000000 đ; m=0,63 ; n=5.12= 60

Ta có số tiền ngời đó rút đợc về là:

1000000

Bài 9: (3 điểm)

Cho Un=(3 5) (3 5)

2 5

+ − − với n=0, 1, 2, 3, 4

…

1.(1đ) Tính các giá trị U0 , U1 , U2 , U3 , U4

2.(1đ) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un

3.(1đ) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un

Giải:

1 Thay n=0, 1, 2, 3, 4 ta đợc U0=0, U1=1 , U2=6 , U3=32 , U4=168

2 Cách 1: Dùng phơng pháp biến đổi:

Ta có: đặt a=3 + 5; b=3 − 5 , suy ra Un+1=

1 1

2 5

a + −b +

; Un=

2 5

a −b

và a+b=6; a.b=4

Ta có Un+2= 2 2

2 5

a + −b + = 1 2 2

2 5

a + −b + = 1

2 5[(a+b)(an+1-bn+1)-an+1.b+a.bn+1]

= 1

2 5[(a+b)(an+1-bn+1)-a.b (an-bn)]=(a+b)

1 1

2 5

a + −b +

-a.b

2 5

a −b

=6 Un+1- 4n Vậy công thức truy hồi là Un+2=6 Un+1- 4Un

5

Un+2=6Un+1-4Un

Cách 2:Dùng phơng pháp quy nạp:

Giả sử ta có công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un là Un+2 =aUn+1 +bUn+c Thay n=0, 1, 2, 3, 4 vào và áp dụng câu 1 ta có hệ PT sau:







<=>



 = + +





giải hệ ( bấm máy tính) ta đợc

6 4 0

a b c

=



 = −



 =



Vậy công thức truy hồi là Un+2=6 Un+1- 4Un

3 Quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un

áp dụng câu 2 Ta có Un+2=6 Un+1-4Un

Trên máy fx-500MS hoặc fx-570MS:

1 SHIFT STO A X 6 - 0 SHIFT STO B

( đợc U2=6) Sau đó lặp lại dãy phím:

( đợc U3=32)

( đợc U4=168)

( đợc U5=880)

………

Hoặc một quy trình khác:

(Khởi tạo giá trị U0=0, U1=1) Sau đó lặp lại dãy phím:

( đợc U2=6)

( đợc U3=32)

( đợc U4=168)

………

Chú ý: Các quy trình bấm khác đúng vẫn cho điểm tối đa

6