UBND TỈNH HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Ngày 27 tháng 2 năm 2009 Thời gian làm bài 150 phút Đề bài Sử dụng m
Trang 1UBND TỈNH HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Ngày 27 tháng 2 năm 2009
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược cách giải;
Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.)
Bài 1(5 điểm)Giải phương trình sau: Ax - 2Bx+C=0 2 trong đó
1 3 2
5 4
7 6
9 8 10
A= + + + +
;
1
1
2
1 7
1 2
29
B=
+
+
+
;
1 1 20
1 30
1 40 50
C=
+ + +
Bài 2(5 điểm)Cho dãy các số thực thoả mãn 1 2
2 1
1; 2
u + u + u
= =
Tìm u S20 ; 20 = + + +u1 u2 u P20 ; 8 =u u u1 2 8
Bài 3(5 điểm)Giải hệ phương trình: 1 9 4,1
+ + − =
+ + − =
Bài 4(5 điểm)Trong các hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=3,14 cm
hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất
Bài 5(5 điểm)Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ số) thoả
mãn:
3 2
8x −y − 2xy= 0
Bài 6(5 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn:1n+ + + + 2n 3n 10n > 11n
Bài 7(5 điểm)
P(x) = x +ax +bx +cx+d;P(1)=1995; P(2)=1998;P(3)=2007;P(4)=2008 Hãy tính
1
2009
P ;P(27, 22009)
Bài 8(5 điểm)
0 1 2 50
(1 2 + x+ 3x + 4x + 5x + 84 )x = +a a x a x+ + + a x .Tính
0 1 2 50
S a= + + + +a a a
Bài 9(5 điểm)Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số
tiền gửi ban đầu là 1,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 4,5 triệu đồng Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn)
Bài 10(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
1
1
0, 24995 ( 1)( 2)
n
+ +
∑
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(2/2009)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)
Bài 1(5 đ)Rút gọn được A=2861
7534;B=
442
943; C=0,04991687445 2đ
Dùng máy tính giải phương trình bậc hai Ax - 2Bx+C=0 2 ta có nghiệm là:
Bài 2(5 đ)
Xây dựng quy trình bấm máy Casio FX 570 ES:
1→A;2→B;3→C;2→D
X=X+1:A=4B-3A:C=C+A:D=DA:X=X+1:B=4A-3B:C=C+B:D=DB 2đ
X? 2 ;C? 3; D? 2 và ấn dấu bằng liên tiếp ta có U 20 = 581130734; U8=1094; 2đ
P7=U1U2…U7=255602200 Từ đó suy ra ;S= 871696110 ;P 8 =279628806800 1đ
Bài 3 (5 đ)
Đk: ,x y∈ −[ 1;9]
Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì
-y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra
4,1= x+ +1 9− >y y+ +1 9− =x 4,1(Vô lý)
Khi x=y hệ đã cho tương đương với
y x
=
(*)⇔10 2 (+ x+1)(9−x) 4,1= 2 ⇔ (x+1)(9−x) 3,405=
2 8 2,594025 0
1 7,661417075; 2 0,3385829246
Vậy nghiệm của hệ 1
1
7,661417075 7,661417075
x y
=
=
2 2
0,3385829246 0,3385829246
x y
=
=
1đ Bài 4 (5 đ)Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R),
ta chứng minh 1
2
ABCD
S ≤ AC BD
1,5đ Mặt khác ta có AC BD; ≤2R Từ đó 1 2
2 2 2 2
ABCD
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
AC BD
⊥
Trang 3Vậy diện tích lớn nhất cần tìm bằng 2R2=2.(3,14)2=19,7192 (cm2
) khi ABCD là hình vuông nội tiếp(O;R) cạnh là R 2=4,440630586 cm 1đ
Bài 5(5đ)
Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x
Khi đó y = − ±x x2 +8x3 Vì x>0,y>0 nên y= − +x x2 +8x3 2đ
Dùng máy tính với công thức:
Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số) 2đ
Ta được nghiệm cần tìm: 105
2940
x y
=
=
Bài 6:(5đ)Với mọi n nguyên dương ta có
11
n n
X giảm khi n tăng (1≤ ≤X 10 )
Nên BĐT đã cho⇔ 10
1
1 11
A A X
X
=
−
∑ >0(*) ở đó vế trái giảm khi A tăng 2đ Dùng máy:
10 1
11
A A X
X
X X
=
= + ∑ − với X ? 0 = liên tiếp ta có (*) đúng với mọi
Bài 7(5đ)Theo bài ra có hệ:
1994
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
1đ
Giải hệ ta có 37; 52; 245; 2036
a= − b= c= − d =
2đ
P 1 2035,959362; (27, 22009) 338581,7018
2đ
f x = + x+ x + x + x + x = +a a x a x+ + +a x
Khi đó S a= + + + + 0 a1 a2 a50= f(1)=9910 1đ
99 =(99 ) =9509900499 =95099 102 10 +2.95099.499.105+4992 2đ
Viết kết quả từng phép toán thành dòng và cộng lại ta có 1đ
Bài 9(5đ)Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc và lãi ) là
S = 1,5.(1+3.0,75:100)n =1,5.(1,0225)n (triệu đồng) 1đ
Yêu cầu bài toán ⇔ 1,5.(1,0225)n ≥4,5(*)(Tìm n nguyên dương) 1đ
Dùng máy dễ thấy n≤49thì(*) không đúng n=50 thì (*) đúng , lại có (1,0225)n tăng khi n tăng vì 1,0225>1
Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới có đủ
So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng=12 năm là đạt nguyện vọng) 1đ
Trang 4Bài 10(5đ)Ta có 1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)
1đ
1
n
∑ ⇔ + (n 1)(n+ > 2) 10000
2đ
