đề đ.a casio HD 2009

UBND TỈNH HẢI DƯƠNGSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Ngày 27 tháng 2 năm 2009 Thời gian làm bài 150 phút

Trang 1

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

NĂM HỌC 2008-2009

MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Ngày 27 tháng 2 năm 2009

(Thời gian làm bài 150 phút)

Đề bài (gồm có 2 trang)

Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.)

Bài 1(5 điểm)

Giải phương trình sau: 2

Ax - 2Bx+C=0 trong đó

1 3 2

5 4

7 6

9 8 10

A= + + + +

;

1 1 2

1 7

1 2 29

B= + + +

;

1 1 20

1 30

1 40 50

C=

+

Cho dãy các số thực thoả mãn 1 2

1; 2

u + u + u





Tìm u S20 ; 20 = + + +u1 u2 u P20 ; 8 =u u u1 2 8

Giải hệ phương trình: 1 9 4,1

 + + − =



 + + − =



Trong các hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=3,14 cm hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ số) thoả mãn:

3 2

8x −y − 2xy= 0

Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn:

1n+ + + + 2n 3n 10n > 11n

Cho P(x) = x +ax +bx +cx+d;P(1)=1995; P(2)=1998;P(3)=2007;P(4)=2008 Hãy tính 4 3 2

1

2009

P ; (27, 22009)P

Trang 2

Giả sử (1 2 + x+ 3x2+ 4x3+ 5x4+ 84 )x5 10 = +a0 a x a x1 + 2 2+ + a x50 50.

Tính S a= + + + + 0 a1 a2 a50

Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số tiền gửi ban đầu là 1,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An

đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 4,5 triệu đồng Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn)

Bài 10(5 điểm)

Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:

1

0, 24995 ( 1)( 2)

n

k= k k k >

∑

HẾT

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên và chữ ký giám thị 1:

Trang 3

NĂM HỌC 2008-2009

MÔN TOÁN LỚP 12 THPT Ngày 27 tháng 2 năm 2009

Tìm cực trị của hàm số y= x2− −x 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y= 2008x+ + π 2008 2 π −x

Giải phương trình: cosx− 5cos 3x+ sinx= 0

Trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r = 3,14 cm, hãy tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó.

Giải bất phương trình: 3x+ 4x > 9x

1

0,0555555 ( 1)( 2)( 3)

n

k= k k k k >

∑

Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 1n + + + + 2n 3n 50n > 51n

Cho dãy số ( )U thoả mãn n 1 2 3

U = 0,1; U = 0,2; U = 0,3

U + U + U + U





Tính

20

20 20 k 10 1 2 10

k=1

U ; S =∑U ; P =U U U

Cho 2

( ); ( 1; 4)

y x P M= − − Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) đi qua M và tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi (P) và các tiếp tuyến đó.

Bài 10(5 điểm)

Cho tứ diện ABCD: AB = CD = 4 cm; AC = BD = 5 cm; AD = BC = 6 cm Tính thể tích tứ diện.

HẾT

Trang 4

NĂM HỌC 2008-2009

MÔN TOÁN LỚP 12 Bổ túc THPT Ngày 27 tháng 2 năm 2009

Tìm cực trị của hàm số: 2

1

y x

x

= +

−

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 4 2

16sin 12sin 3

Giải phương trình : 3 cosx - sinx = 1

3

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R= 5 cm Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài tam giác nhưng nằm trong đường tròn đã cho.

Giải phương trình 3x+ = 5x 7x

1

0, 2499995 ( 1)( 2)

n

k= k k k >

∑

Trong các hình chữ nhật “nội tiếp nửa đường tròn”bán kính 5 dm hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất(hình chữ nhật “nội tiếp nửa đường tròn” là hình chữ nhật có 2 đỉnh ở trên đường kính, 2 đỉnh còn lại ở trên nửa đường tròn)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2

x= y ; x - 2 2 y = - 2; y = 0

Cho tứ diện ABCD có: AB = CD = 4cm; AC = BD =5cm; AD = BC = 6cm Qua B,C và D lần lượt

kẻ các đường thẳng tương ứng song song với CD, BD và BC; các đường này cắt nhau ở M, N và

P Tính diện tích tứ diện AMNP

Bài 10(5 điểm)

Tính giới hạn:

2

x 2

x 0

e - cos x lim

sin x

π

→

HẾT

Trang 5

Họ

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(2/2009)

( Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)

Bài 1(5 đ)

Rút gọn được A=2861

7534;B=

442

Dùng máy tính giải phương trình bậc hai Ax - 2Bx+C=0 2 ta có nghiệm là:

Bài 2(5 đ)

Xây dựng quy trình bấm máy Casio FX 570 ES:

1→A;2→B;3→C;2→D

X? 2 ;C? 3; D? 2 và ấn dấu bằng liên tiếp ta có U 20 = 581130734; U8=1094; 2đ

P7=U1U2…U7=255602200 Từ đó suy ra ;S= 871696110 ;P 8 =279628806800 1đ

Bài 3 (5 đ)

Đk: ,x y∈ −[ 1;9]

Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì -y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra

4,1= x+ +1 9− >y y+ +1 9− =x 4,1(Vô lý)

Khi x=y hệ đã cho tương đương với

y x





(*)⇔10 2 (+ x+1)(9−x) 4,1= 2 ⇔ (x+1)(9−x) 3,405=

x x

1 7,661417075; 2 0,3385829246

Vậy nghiệm của hệ

1

7,661417075

x

y

=



 =

2 2

0,3385829246 0,3385829246

x y

=



 =

Bài 4 (5 đ)

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), ta chứng minh 1

2

ABCD

S ≤ AC BD

Trang 6

2

ABCD

S ≤ R R= R 1,5đ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

AC BD

AC BD R

⊥





Vậy diện tích lớn nhất cần tìm bằng 2R2=2.(3,14)2=19,7192 (cm2

) khi ABCD là

Bài 5(5đ)

Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x

Khi đó y= − ±x x2 +8x3 Vì x>0,y>0 nên y = − +x x2+8x3 2đ Dùng máy tính với công thức:

Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số) 2đ

Ta được nghiệm cần tìm: 105

2940

x y

=



 =

Bài 6:(5đ)

Với mọi n nguyên dương ta có

11

n n

X giảm khi n tăng (1≤ ≤X 10 )

Nên BĐT đã cho⇔ 10

1

1 11

A A X

X

=

−

Dùng máy:

10 1

11

A A X

X

X X

=

= + ∑ − với X ? 0 = liên tiếp ta có (*) đúng với mọi

Bài 7(5đ)

Theo bài ra có hệ:

1994

a b c d

+ + + =







1đ Giải hệ ta có

Trang 7

37 245

P 1 2035,959362; (27, 22009) 338581, 7018

Bài 8(5đ)

f x = + x+ x + x + x + x = +a a x a x+ + +a x

99 =(99 ) =9509900499 =95099 102 10 +2.95099.499.105 +4992 2đ

Bài 9(5đ)

Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc và lãi ) là

Yêu cầu bài toán ⇔ 1,5.(1,0225)n ≥4,5(*)(Tìm n nguyên dương) 1đ Dùng máy dễ thấy n≤49thì(*) không đúng n=50 thì (*) đúng , lại có (1,0225)n tăng khi n tăng vì 1,0225>1

Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới có

So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng=12 năm là đạt

Bài 10(5đ)

( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)

1

n

∑

(n 1)(n 2) 10000

Trang 8

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT(2/2009)

(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)

Bài 1(5đ)

Tập xác định:R

Viết lại

2

x x

Từ đó suy ra

1,2

1,618033989

0,6180339887 2

CT

0,5; 1, 25

CD CD

Bài 2(5đ)

Tập xác định:[− π π ; 2 ]

Tính

2007 2007

2008 2008

1

2008

y =  x+ π − − π −x − ÷

Từ đó lập bảng xét dấu y’hoặc phương pháp điểm tới hạn, suy ra 1đ

( ) 2 2,001544615

Min y = y( − = π ) y(2 ) π = 2008 3 π = 1,001117827 2đ Bài 3(5đ)

Dễ thấy cosx=0 không thoả mãn pt

+ tanx -5=0

Bài 4(5đ)

Có S = pr ; ta chứng minh S≤ 3 3p(dùng công thức Hê-Rông) 1đ nên S2 = p r2 2 ≥ 3 3 S r2hay S ≥ 3 3r2 = 3 3(3,14) 2 = 51, 23198443(cm2 ) 2đ

Từ đó kết luận diện tích tam giác ngoại tiếp (O;r) nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác

Bài 5(5đ)

Trang 9

Bpt đã cho 1 4 1 0(*)

x x

   

⇔ ÷  ÷+ − >

   

Dùng máy tính: với lệnh SHIFT SOLVE X? 0,5 ta có nghiệm của vế trái

Bài 6(5đ)

Ta có VT=

1

3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

n

k= k k k k k k

∑ = 1 13 6 (n 1 () n12)(n 3)

−

6 (n 1)(n 2)(n 3)

(n 1)(n 2)(n 3) 6000 000,024

Suy ra ĐK cần: (n+3)3> 6000 000,024 hay n>178,71, n nguyên nên n≥ 179 1đ

ĐK đủ: thử lại :có 180.181.182<6.106 loại; 181.182.183>6000 000,024 thoả mãn Lại có khi n tăng thì (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)tăng.

Bài 7(5đ)

Yêu cầu của bài toán tương đương với 50

1

1 0(*) 51

n

k

=

  − >

 ÷

 

Với n=0 thì (*) đúng

51

k

< < nên khi n tăng thì

51

n

k

 

 ÷

  giảm; suy ra VT(*) là hàm giảm theo n 1đ

X=1

51

A

X

A A= +   −

 ÷

 

∑ với A ? 0 và = liên tiếp

Bài 8(5đ)

Tính U20 ;

20

1

k k

U

=

∑

X=X+1:D=C-9B+4A:Y=Y+D:

X=X+1:A=D-9C+4B:Y=Y+A:

X=X+1:B=A-9D+4C:Y=Y+B:

X=X+1:C=B-9A+4D:Y=Y+C

calc X ? 3 ; Y ? 0,6 và ấn = liên tiếp ta có U20 = 27590581;S20 = 38599763,5; 2đ

Bài 9(5đ)

Trang 10

Viết được hai tiếp tuyến có phương trình:y= − ± ( 2 2 5)(x+ − 1) 4 1đ Các tiếp điểm có hoành độ 1,2

2

k

Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là

S =

2

1

x

−

=

2

1

x

x x dx x x dx

−

1

x x

−

=2.5 5 7, 453559925

Bài 10(5đ)

Dựng qua B,C và D các đường thẳng song song với CD, BD và BC chúng cắt nhau tại các diểm B’ , C’ và D’ Ta chứng minh A B’C’D’ là tứ diện vuông đỉnh A (

' '; ' '; ' '

Ký hiệu AB’=x; AC’=y, AD’=z

Dùng định lý Pi-Ta-Go ta có

2 2 2

4

 + =

 + =



 + =



Từ đó suy ra





1đ

ABCD

V = xyz= a + −b c b + −c a a + −c b

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

12

ABCD

V = a + −b c b + −c a a + −c b = 1 2.5.45.27 9,185586535

2đ

Trang 11

HƯỚNG DẪN CHẤM BT THPT(2/2009)

(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)

Bài 1:

2

( 1)

x

Lập bảng xét dấu y’ suy ra cực trị :

(1 2) 1 2 2 1,828427125

CD

(1 2) 3,828427125

CT

Bài 2

Đặt sinx = t; t∈[ ]-1;1 hàm số đã cho có dạng y=16t4 −12t2 +3 1đ Lập bảng xét dấu y’ trên đoạn [-1;1] hoặc dùng điểm tới hạn

Suy ra giá trị lớn nhất trên [-1;1] bằng 7 khi t = 1±

nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 3

4 khi t =

3 8

(t= ±1 khi 2

2

x = +π kπ ; t= 3

x= +k π

Bài 3

Viết pt đã cho trở thành tan cosx - sinx = π 1

1

π

3

k x

k

π

+



⇔ − =  + ⇔  = −x x=0,879749472 21,926947023 2−− k kππ 3đ

Bài 4

Diện tích hình tròn S = πR2

Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó là S’ =

4

a

a R= 2đ

Trang 12

R

    (*) Dễ thấy VT là hàm số nghịch biến trên

Mặt khác dùng máy tính :

Bài 6

Ta có k k( +1)(1k+2)= 12k k( 1+1) (− k+1)(1k+2)÷

1

n

∑

(n 1)(n 2) 1000000

Bài 7

Đặt AB=x 0 x R< < dễ tínhđược

AD=2 R2 −x2 1đ

Diện tích hcn là

S=2x R2 −x2 ⇒S2 =4 (x R2 2 −x2) 1đ

Suy ra

2

x R x

S ≤  + −  =R

Hay S R≤ 2=25 (dm2) 1đ

Dấu bằng có khi và chỉ khi

2

R

x =R −x ⇔ =x = dm 1đ

Kết luận:Max S =25(dm2) khi cạnh AB

vuông góc với đường kính dài là

x=3,535533906 dm 1đ

Bài 8

Tìm tương giao: cho y2 =2 2y− ⇔2 y2 −2 2y+ =2 0 ⇔ =y 2 1đ Khi đó tính tích phân theo biến y ta có diện tích hình cần tính là

Trang 13

2

0

2

0

y

y dy −

Bài 9

Dùng tính chất đường trung bình tam giác ta có các mặt MAN, NAP, PAM là các

6

AMNP

V = AM AN AP Đặt x=AM, y=AN ,z=AP Dùng Pitago ta có

x y

y z

z x





2

154

10

x y z





2đ

Do đó

10.90.54 15 6

AMNP

Bài 10

Viết lại giới hạn đã cho I=

2

2 0

lim

sin

x x

x

π

→

Có

2

x

−

và chứng minh

2 2

0

1-cos x lim

x

→ = 1,5đ

Từ đó I =

2 2

5,934802201 2

π

Tiêu đề	Đề Đ.a Casio HD 2009
Trường học	Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hải Dương
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Đề thi chính thức
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Hải Dương

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	482 KB