MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
(a+ b) (a+c ) ≥2√abc (a+ b+c )
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:
x
2 x + y+
y
2 y + z+
z
2 z + x ≤ 1
Bài 3: Cho các số ương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:đương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
a
b3+
b
c3+
c
a3≥ 1
Bài 4: Chứng minh rằng vớ mọi số thực dương a, b, c ta có:
ab
a+b+ 2c+
bc b+c +2 a+
ca
c + a+2 b ≤
a+b+c
4 Bài 5: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
E=x+ y+z +1
x+
1
y+
1
z
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z ta có:
x
x+√( x + y )( z + x)+
y
y +√( y + z )( y + x)+
z
z +√( z + x )( z+ y) ≤ 1
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a không âm ta có:
√a+√3a+√6 a≤ a+ 2
Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng:
√xy +z+√yz +x +√zx+ y ≥ 1+√xy+√yz +√zx
Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh rằng
a) x2y2(x2+y2)≤ 2
b) x3y3(x3+y3)≤ 2
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a b+2 c+
b
c +2 a+
c a+2 b ≥ 1
Bài 11: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a√31+b−c +b√31+c−a+ c√31+a−b ≤1
Bài 12: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a√b+b√c +c√a ≤ 1
√3 Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a3
bc+
b3
ca+
c3
ab ≥ a+b+c
Bài 14: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có:
a
2 a+b+c+
b
2 b+c+ a+
c
2 c +a+ b ≤
3 4 Bài 15: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn: xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
E= x3
1+ y+
y3
1+ x
Bài 16: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a2+b2+c2=1 Chứng minh rằng:
a
b2+1+
b
c2+1+
c
a2
+1≥
3
4(a√a+b√b+c√c)
2
Trang 2Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có:
1
xy ≥
x
x4+y2+
y
y4+x2
Bài 18: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
1
a3
(b+c)+
1
b3
(c +a)+
1
c3
(a+b) ≥
3 2 Bài 19: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
a2
+b2
+c2
+2√3 abc ≤ 1
Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a b+√bc +c+
b
c +√ca+a+
c a+√ab +b ≥ 1
Bài 21: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
a3 (1+ b)(1+c )+
b3 (1+c )(1+a)+
c3 (1+a )(1+b) ≥3
4 Bài 22: Cho x, y, z > 1 thỏa mãn + + = 2 Chứng minh rằng:
√x+ y+ z ≥√x−1+√y −1+√z−1
Bài 23: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
x2+y2+
1
xy+4 xy
Bài 24: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
√a2+8 bc +√b2+8 ca+√c2+8 ab ≤ 3(a+b+ c)
Bài 25: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: a) √1+a2
+√1+b2
+√1+c2≤ 2(a+ b+c )
b¿ a
√1+a2+
b
√1+ b2+
c
√1+c2≥
3 2 Bài 26: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a
a+2 b+3 c+
b
b +2 c+3 a+
c
c +2 a+3 b ≥
1 2 Bài 27 : Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c dương ta có:
a4
b(b +c)2+
b4 c(c+a)2+
c4 a(a+b)2≥
a+b+c
4 Bài 28: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + y = 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
E=x√1+ y + y√1+ x
F= x
y+1+
y
x+1
Bài 29: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có:
ab
a+b+
bc
c +c+
ca
c +a ≤2
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a
(b+c)2+ b
(c +a)2+ c
(a+b)2≥ 9
4(a+b+c)
Bài 31: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a3
b+2 c+
b3
c +2 a+
c3
a+2 b ≥
(a+b+c)2
9 Bài 32: Chứng mih rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
Trang 3(a+b)2+ 1
(a+c)2≥ 1
a2
+bc
Bài 33: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
√a+bc +√b+ ca+√c+ ab ≤ 2
Bài 34: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
1
a+3 b+
1
b+3 c+
1
c +3 a ≥
1
a+2 b+ c+
1
b+2 c +a+
1
c+ 2a+ b
Bài 35: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a2
b +
b2
c +
c2
a ≥
3(a2+b2+c2)
a+b+c
Bài 36: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
1
a+
1
b+
1
c ≥ 3(a+2 b1 +
1
b+2 c+
1
c +2 a)
Bài 37: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
(1+a3)(1+b3) (1+c3)≥(1+ a b2) (1+ b c2)(1+ca2)
Bài 38: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
M=1
a+
4
b+
9
c ≥
36
a+b+ c
Bài 40: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
M=√a+ 2√b2+3√c3≤ 6√a+ b+c6
Bài 41: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: (1+a )(1+b )(1+c ) ≥1+√3abc
Bài 42: Cho a, b, c > 1 Chứng minh rằng:
1
1+a+
1
1+b+
1
1+c ≥
3 1+√3abc
Bài 43: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a3+b3+c3≥ a b2+b c2+c a2
Bài 44: a, b, c > 0 ; a + b + c ≤ 3 Chứng minh rằng:
3
√a(b+2 c)+√3b (c +2 a)+√3 c (a+2b)≤ 3√33
Bài 45: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
M= a3 b(c+2a)+
b3
c(a+2 b)+
c3
a(b+2 c) ≥
a+b+c
3 Bài 46: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
ab
c (a+b)+
bc
a(b+c)+
ca b(c +a) ≥
3 2 Bài 47: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
√c (a+2b)+
b
√a (b+2 c )+
c
√b(c +2 a) ≥√3
Bài 48: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
3 a
b+c+
4 b
c+ a+
5 c a+ b ≥
1
2(√3+√4 +√5)
2
−12 Bài 49: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
√1+a2+√1+b2+√1+c2≥√9+(a+b+c)2=√S
Bài 50: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
√a2+2 b2+ab+√b2+2 c2+bc +√c2+2 a2+ca ≥ 2(a+b+ c)