Cac PP giai toan dai so 9

Phương trình bậc nhất 1 ẩn Cách giải Bước 1: Quy đồng nếu các hạng tử là phân số, phân thức.. Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận nghiệm của phương

TÀI LIỆU LUYỆN THI CẤP TỐC TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP

TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 9

NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ:

CHỦ ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC PHƯƠNG PHÁP

Dạng khai triển của một số biểu thức:

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: P1:xxx21xxx11 xx11 với 0x1

1x1xx

1x1

1x(

1x1

xx

1x)

1xx)(

1x

(

2x:

11xx

1x)

1xx)(

1x

(

2x:

1x(

1xx)

1xx)(

1x(

)1x)(

1x()1xx)(

1x

(

2x:

1

P

)1xx)(

1x

(

)1xx()1x(2

1

x

(

xx

1

x

(

)1x.(

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP

1 Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Cách giải

Bước 1: Quy đồng (nếu các hạng tử là phân số, phân thức)

Bước 2: Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái, chuyển hạng tử là số (hằng số) qua vế phải Bước 3: Thu gọn hai vế và đưa về dạng ax = b

Bước 4: Lấy nghiệm x = -b

Nếu b ≠ 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu b = 0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm

Vậy phương trình có một nghiệm x = 2

Bài tập 2: Giải phương trình: 9 + 3x = 0

Vậy phương trình có một nghiệm x = -3

Bài tập 3: Giải phương trình: 7 - 21x = 0

Bước 2: Thu gọn các đơn thức đồng dạng

Bước 3: Giải phương trình dạng: ax + b = 0

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Giải phương trình sau: - 5x + 3 = 2x - 4

Giải

- 5x + 3 = 2x - 4  -5x - 2x = -4 - 3  - 7x = -7  x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1

Bài tập 2: Giải phương trình: 8x - 3 = 5x + 12

Giải

8x - 3 = 5x + 12  8x - 5x = 12 + 3  3x = 15  x = 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 5

Bài tập 3: Giải phương trình: x - 3 5 - 2x- = x+ 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 24

Bài tập 4: Giải phương trình: x - 305+ x - 307 + x - 309+ x - 401= 4

Giải

(Ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa)

Phương trình trên tương đương:

Nghiệm của phương trình là hợp tất cả các nghiệm của các phương trình: A(x), B(x), C(x),

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 3; -4

-Vậy tập nghiệm của phương trình là   

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-5; 3}

Bài tập 4: Giải phương trình: 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0

Giải

2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0  (x - 3)(2x + 5) = 0  x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0  x = 3 hoặc x = -5

2

Vậy phương trình tập nghiệm S = 3; -5

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu: Tìm mẫu thức chung

Bước 3: Giải phương trình

Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận nghiệm của phương trình

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 4

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}

Bài tập 3: Giải phương trình sau: 2 1 2x2 5

 x = -2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2}

4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a|, được định nghĩa như sau:

- Xét x ≥ 0: Phương trình đã cho trở thành: 3x = x + 4  2x = 4  x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

- Xét x < 0: Phương trình đã cho trở thành: -3x = x + 4  -4x = 4  x = -1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-1; 2}

Bài tập 2: Giải phương trình: |x - 3| = 9 - 2x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {4}

Bài tập 3: Giải phương trình sau: x +1 + x + 2 + x +3 = 3

Giải

Ta có bảng xét dấu:

x -3 -2 - 1

x+1 -  -  - 0 +

x+2 -  - 0 +  +

x+3 - 0 +  +  + Xét x 3: Phương trình trở thành: -(x + 1) - (x + 2) - (x + 3) = 3 -3x - 6 = 3 x = -3(thỏa) Xét -3  x 2: Phương trình trở thành: -(x+1)–(x+2)+(x+3) = 3 -x = 3 x = -3(không thỏa) Xét -2  x 1: Phương trình trở thành: -(x + 1) + x + 2x + 3 = 3   x 4 3   x 1 (thỏa) Xét x > -1: Phương trình trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 3 3x 3  x 1(không thỏa) Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; -3}

5 Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 trong đó a, b, c là các hệ số, x là ẩn số

Cách giải:

Bước 1: Tính biệt thức:  = b 2 - 4ac (hoặc tính ' = b' 2 - ac, với b = 2b')

Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo :

Nếu  < 0: Phương trình vô nghiệm

Nếu  = 0: Phương trình có nghiệm kép x = - b , x = - b'

Nếu  > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

-b ± Δ

x =

2a , 1,2

-b' ± Δ'

a

Lưu ý:

Điều kiện để phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm, nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:

i) a.c < 0

ii)  ≥ 0

Trường hợp đặc biệt:

- Nếu phương trình thỏa mãn: a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x = 1; x =1 2 c

a

- Nếu phương trình thỏa mãn: a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x = -1; x = -1 2 c

a

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 3x2 - 10x + 8 = 0 b) 4x2 - 8x = 0

Giải

a)  = (-10)2 - 4.3.8 = 4 > 0   42

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =  

2 3

2

2

10  





và x2 =  

3

4 3

2

2

10  





b) 4x2 - 8x = 0  4x(x - 2) =0  























2 x

0 x 0 2 x

0 x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0; x = 2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 2x2 - 18 = 0 b) 3x2 + 7x + 4 = 0

03x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 3; x = -3

x2

Bước 3: Xét nghiệm của phương trình

Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì phương trình (1) cũng vô nghiệm

Nếu phương trình (2) có nghiệm kép dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau Nếu phương trình (2) có nghiệm kép âm thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm đều âm thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương thì phương trình (1) có hai cặp nghiệm đối nhau từng đôi một

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 3 và x = -3

Bài tập 2: Giải phương trình: x4 - 20x2 + 64 = 0

Giải

(2) Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số

(3) Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số

(4) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình

Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x + mx + m + 3 = 0 2 (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12x22  3

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m

Giải

a) Ta có:  = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

Dạng 2: Tìm hai số khi biết và tích của chúng

Bước 1: Gọi hai số cần tìm là x và y

Tính: S = x + y = a; P = x.y = b

Bước 2: Khi đó x và y là hai nghiệm của phương trình:

X 2 - SX + P = 0 Bước 3: Giải phương trình trên, tìm x; y

Bài tập 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4

Giải

Đặt: S = a + b = 3 và P = ab = 4

Khi đó: a và b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x - 4 = 0

Giải phương trình trên ta được: x1 = 1 và x2 = -4

Phương trình trên có hai nghiệm là x = 4; x = 5

Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của phương trình với một số sao cho hệ số của 1 ẩn ở hai phương trình là đối nhau

Bước 2: Cộng hai phương trình với nhau, quy hệ phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn, rồi giải tìm ra một ẩn

Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình để tìm nghiệm còn lại

Bài tập

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:  

 2

1 3yx

1y2x

Từ phương trình (1), suy ra: x = 1 - 2y

Thay vào phương trình (2), ta được: 2(1 - 2y) + 3y = 3  2 - 4y + 3y = 3  y = -1

Với y = 1  x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3, -1)

Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 3x + 2y = 2

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: x - y = -1  x = y - 1

Thay vào phương trình (2) ta có: y =1  x = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (0, 1)

Bài tập 3: Giải hệ phương trình:

2yx

2yx2

2yx

2yx2

 

 21

Lấy phương trình (1) + (2)  x = 22001

Thay vào (1) ta được: y = 22002

 hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (22001, 22002)

CHỦ ĐỀ 6: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ - SỰ TƯƠNG GIAO Một số điều kiện tương giao giữa hai đường thẳng:

Cho hai hàm số (đường thẳng) (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2

Dạng đồ thị của hàm số bậc nhất (y = ax + b) là đường thẳng:

y= ax + bx

y = b là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

x = a là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của (C):y = f(x) và (d):y = m

Nếu biết đồ thị (C): y = f(x) ta có thể suy ra đồ thị (C1): y = f(|x|) như sau:

- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung

- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung

Bước 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến

Bước 2: Lập bảng giá trị (chọn 5 giá trị của x)

Bước 3: Biểu diễn các điểm lên trục tọa độ và vẽ đối xứng qua trục Oy

y = 2x - 1y

x-1

11O

-1-2

y = 3|x| - 2y

x

11O

Giải

Gọi Mx ; -8 0   (P) Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số

Thay vào hàm số, ta được:

2 0

x2

 = -8  2

0

x = 16  x0 =  4

Vậy có hai điểm M1(-4; -8) và M2(4; -8) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M  (P): y =

2

x2 sao cho điểm M có hoành độ bằng tung độ

Giải

Gọi Mx ; x0 0  (P): y =

2

x2 Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số

Thay vào hàm số, ta được:

2 0

Vậy có hai điểm M1(0; 0) và M2(2; 2) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 4: Tìm tọa độ điểm M  (P): y =

-2

x2 sao cho điểm M có tung độ bằng 2 lần hoành độ

Giải

Gọi Mx ;2x0 0  (P)

Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số

Thay vào hàm số, ta được:

Vậy có hai điểm M1(0; 0) và M2(-4; -8) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 5: Cho điểm M(-1; -3) và hàm số: y = -3x (P) Điểm M có thuộc (P) hay không? 2

Giải

Giả sử M  (P)

Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thay vào hàm số, ta được: -3 = -3(-1)2 -3 = -3 (đúng)

8

Vậy điểm M thuộc đồ thị (P)

3 Điểm và đường thẳng y = ax + b

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Bước 1: Thay tọa độ hai điểm vào phương trình đường thẳng

y = ax + b, ta có hai phương trình

Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Tìm a và b

Bước 3: Với a, b tìm được ta viết phương trình đường thẳng

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; -1)

Giải

Gọi đường thẳng cần tìm có phương trình: y = ax + b

Vì hai điểm A và B thuộc đường thẳng nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng Thay tọa độ hai điểm A và B vào phương trình, ta có:

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = -3x + 5

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua một điểm A cho trước và song song với một đường thẳng y = mx + n

Bước 1: Tìm hệ số a = m

Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng để tìm b

Bước 3: Với a, b tìm được, ta có phương trình đường thẳng y = ax + b

Chú ý: Đường thẳng y = ax + b vuông góc với y = mx + n thì a = - 1

Vậy phương trình đường thẳng (D): y = 2x + 8

Bài tập 2: Cho đường thẳng (d): y = 5x - 1 Viết phương trình đường thẳng (D)(d) và đi qua điểm A(3; 5)

2

Dạng 4: Tìm điểm A hoặc B thuộc đường thẳng y = ax + b, biết trước hoành độ hoặc tung độ

Bước 1: Thay giá trị hoành độ hoặc tung độ vào phương trình đường thẳng y = ax + b để tìm tung độ hoặc hoành độ tương ứng

Bước 2: Với các giá trị tung độ, hoành độ tìm được ta có điểm cần tìm

Bài tập: Cho đường thẳng (d): y = -3x + 3

4 Tìm điểm A trên (d) có hoành độ bằng 4 và điểm B trên (d) có tung độ bằng 6

Giải

Vì A(d) nên thay x = 4 vào (d) ta được: y = - 4 + 3 = 03

4

Suy ra: A(4; 0)

Vì B(d) nên thay y = 6 vào (d) ta được:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Bước 2: Chứng minh điểm C  (AB)

Bài tập: Cho ba điểm A(2; -1), B(1; 1), C(-3; 9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng

Giải

Gọi phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b

Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình ta có hệ phương trình:

Suy ra: (AB): y = -2x + 3

Giả sử điểm C(-3; 9) thuộc đường thẳng (AB), ta được:

9 = -2.(-3) + 3  9 = 9 (đúng)

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng

4 Sự tương giao của đường thẳng: y = bx + c (D) và đồ thị hàm số y = ax 2 (P)

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng (D) và đồ thị hàm số (P)

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: ax 2 = bx + c hay ax 2 - bx + c = 0 Bước 2: Giải phương trình trên, ta có hoành độ

Bước 3: Từ giá trị hoành độ, suy ra giá trị tung độ

Bài tập 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P): x2

4

1

y và đường thẳng (d): y = x + 1

Giải

Gọi M(x; y) là giao điểm của (d) và (P)

Khi đó hoành độ của M là nghiệm của phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là M(-2; -1)

Bài tập 2: Cho hàm số y = mx2 (P), (m  0) và đường thẳng (d): y = 2mx - m - 4 Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt (P) tại một điểm

Giải hệ trên, ta được: m = -4

Trường hợp 2: Đường thẳng: y = 2mx - m- 4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2

Khi đó ta có phương trình: mx2 - 2mx + m + 4 = 0 có nghiệm kép

' = m2 - (m + 4)m = 0  m = 0 (không thoả mãn điều kiện m ≠ 0 của bài toán)

Vậy giá trị cần tìm là m = - 4

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d') song song với một đường thẳng (d): y = bx + c cho trước và cắt đồ thị (P): y = ax 2 tại một điểm

Trường hợp 1: (d') cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng m

Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, vì (d')//(d)

Bước 2: Gọi M(m; y M ) = (d') X (P)

Khi đó, ta có: y M = a.m 2 Thay vào phương trình đường thẳng (d'): y M = b.m + d

Suy ra: d = y M - b.m

Trường hợp 2: (d') cắt (P) tại điểm có tung độ bằng n

Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, vì (d)//(d')

Bước 2: Gọi N(x N ; n) = (d') X (P)

Khi đó, ta có: n = a x N 2 Thay vào phương trình đường thẳng (d'): n = b.x N + d

Gọi đường thẳng (d'): y = x + b vì (d')//(d) nên hệ số của hai đường thẳng bằng nhau

Gọi M(-2; y) là giao điểm của (d') và (P)

Gọi đường thẳng (d'): y = x + b vì (d')//(d) nên hệ số của hai đường thẳng bằng nhau

Gọi N(x; - 4) là giao điểm của (d') và (P)

Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - 3

Xét N2(1; -4)  (d) nên ta có: -4 = 1 + b  b = -5

Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - 5

Dạng 3: Chứng minh đường thẳng (d): y = bx + d tiếp xúc với đồ thị (P): y = ax 2

Vì M là nghiệm của phương trình: mx2 - nx - p = 0

Phương trình này có nghiệm

Dạng 5: Diện tích tam giác tạo bởi hai giao điểm của đường thẳng (D), đồ thị (P) và gốc O

Bước 1: Gọi giao điểm của (D) và (P) lần lượt là A(x A ; y A ) và B(x B , y B )

Bước 2: Kẻ AC, BD vuông góc với Ox

Bước 3: Tính diện tích hình thang ABDC

Bước 4: SAOB = S ACDB - SACO - SBOD

Bài tâp: Cho hàm số y = x2 (P) và y = -2x + 3 (d)

a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (d) và (P)

b) Tính diện tích tam giác AOB

Với x = -3  y = 9 Suy ra: A(-3; 9)

Với x = 1  y = 1 Suy ra: B(1; 1)

1AC.OC

1BD.OD

Bước 1: Phân tích: f(x) = m - (cx + d)2, với M là hai số thực

Bước 2: GTLN của f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 x d

c

- Giá trị nhỏ nhất của f(x):

Bước 1: Phân tích: f(x) = M + (ex + f)2, với M là hai số thực

Bước 2: GTNN của f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 x f