CHUYÊN đề LƯỢNG GIÁC(CS+ĐA) NVR version 2016

Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi Đặc biệt, áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích ta cĩ 10... Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi - Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT M

1

LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI …VERSION 2016…

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Công thức lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm M x y 0; 0 sao cho

3 Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt

2 Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

32

1

2

22

12

sin  cos   1 3sin cos 

a Hai góc đối nhau

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

Đặc biệt, áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích ta cĩ

10 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

21

21

3cos 3 4cos  3cos

3 2

9 Cơng thức biến đổi tổng thành tích

1

t t

 



2 2

1cos

1

t t

 



21cot

2

t t

b Phương trình cos xm

- Nếu m  thì phương trình vô nghiệm 1

- Nếu m  thì chọn góc 1  sao cho cos m

II Phương trình lượng giác

1 Phương trình lượng giác cơ bản

3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

 Phương trình có dạng sin a xbcosx c

 Điều kiện để phương trình có nghiệm:

a b c

 Phương pháp giải

a Phương trình sin xm

- Nếu m  thì phương trình vô nghiệm 1

- Nếu m  thì chọn góc 1  sao cho sin m

Chọn góc  sao cho tan m

Khi đó, tanxtan  x k k  

Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

*Tổng quát tan tan   k

d Phương trình cot xm

Chọn góc  sao cho cot m Khi đó, cotxcot  x k k  Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

*Tổng quát cot cot   k

a

 để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:

Phương pháp 2* Chia 2 vế cho a2b2

để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:

- Dạng acos2 xbcosx  , đặt c 0 t cos , 1x   t 1

- Dạng atan2x b tanx  , đặt c 0 t tanx

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4

- Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b

- Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X

- Bấm ALPHA S  D = để xem giá trị của Y

- Khi đĩ, a sinxbcosx Xsinx Y 

* Đưa về dạng Xcosx Y  thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y

Khi đĩ, a sinxbcosx Xcosx Y 

Chú ý:

 Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và gĩc cùng dấu

 Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và gĩc trái dấu

 Ví dụ 1: Giải phương trình 3 sin 2xcos 2x 3

 Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: Pol( 3, 1 ta được X 2 và

 Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin x2cosx 2

 Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: Pol ( 2, 2 ta được X 2 2 và 3

hoặc sin 3 3 cos3 1 2 cos 3 1 cos 3 1 cos

 Ngược lại, ta cũng có thể đưa biểu thức Xsinx Y  hoặc Xcosx Y  về dạng a sinxbcosx

* Đưa biểu thức Xsinx Y  về dạng a sinxbcosx

- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4

- Nhập vào màn hình: Rec(X,Y bằng cách bấm SHIFT -, nhập X, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập Y

- Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của a

- Bấm ALPHA S  D = để xem giá trị của b

- Khi đó, Xsinx Y a sinx b cosx

* Đưa biểu thức Xcosx Y  về dạng cosb xa sinx

- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4

- Nhập vào màn hình: Rec(X,Y bằng cách bấm SHIFT -, nhập X, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập Y

- Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của b

- Bấm ALPHA S  D = để xem giá trị của a

- Khi đó, Xcosx Y bcosxasinx

 Ví dụ 4: Đưa biểu thức 2sin 2

4 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

 Phương trình có dạng asinxcosxbsin cosx x  c 0

 Phương pháp giải

5 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x

- Đẳng cấp bậc 2 có dạng asin2 x b cos2xcsin cosx xd

i Nếu cosx 0 không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 2

cos x ta được phương trình bậc hai đối

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học Để tìm một nhân

tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhĩm thừa số chung theo nhân tử đĩ 

- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm

 nếu thỏa mãn phương trình thì

x x  để đưa phương trình đã cho về dạng đã biết

i Nếu cosx 0 khơng thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 3

cos x ta được phương trình bậc ba đối

ii Phương trình dạng

sin 2 , cos 2 , tan , tan 2 , cot 2  0

 Phương pháp giải Đặt t tanx, rồi

áp dụng cơng thức tang gĩc chia đơi biểu diễn sin 2 ,cos 2 , tan 2 ,cot 2x x x x

theo t

phương trình có nghiệm x sao cho tanx  3 hay phương trình có một nhân tử là

- Bước 3: Nhóm thừa số chung theo nhân tử đã biết

- Bước 4: Giải phương trình tích

 Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 (KD – 2010)

Nhập vào MTBT sin 2xcos 2x3sinxcosx Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được 1một nghiệm

26

 Chú ý: Trong bài trên cos 2x có 3 công thức, ở đây phương trình có nhân tử là 2sin x  nên ta áp 1

cos 2x 1 2sin x 

 Ví dụ 2: Giải phương trình 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx1 (KB – 2012)

Nhập vào MTBT2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta 1

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

21sin

 thỏa phương trình Vậy phương trình cĩ nghiệm x sao cho

tanx   3 hay phương trình cĩ một nhân tử là sinx 3 cosx 

Khi đĩ để nhĩm được nhân tử sinx 3 cosx, ta thay hệ số tự do 1sin2xcos2 x

 thỏa phương trình Vậy phương trình cĩ nghiệm x sao cho

tanx   3 hay phương trình cĩ một nhân tử là sinx 3 cosx 

Khi đĩ để nhĩm được nhân tử sinx 3 cosx, ta thay hệ số tự do 2 2

1sin xcos x

II Biến đổi phương trình về dạng sina xbcosxc

 Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3 sin kx hoặc 3 cos kx thì phương

trình đó có thể đưa được về dạng sina xbcosx  c

21

6sin

26

2

k x

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

III Biến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác

 Ví dụ 1: Giải phương trình sin 3xcos 2xsinx0 (KD – 2013)

2

x x

4 2

k x

C TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

 Phương pháp: Áp dụng các công thức lượng giác ở mục I

 Chú ý: - Nếu điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và IV thì cos 0

- Nếu điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và II thì sin  0

 Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P1 3cos 2 2 3cos 2 , biết sin 2

253

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

9

 

Tính giá trị của biểu thức C  cos2 4cos 4 sin2 4sin  4

(CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – 2015)

Giải:

Ta cĩ

cos 22 sin 22 cos 2 sin 2

D LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI

i Tính giá trị của biểu thức P1 3cos 2 2 3cos 2 , biết sin 2

cos

x x

sin

2

x x

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

15 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx1 (KB – 2012)

16 sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos x (KB – 2011)

17 sin 2xcos 2xcosx2cos 2xsinx0 (KB – 2010)

21 cot sin 1 tan tan 4

25 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 6 2 x (KB – 2002)

26 sin 3xcos 2xsinx0 (KD – 2013)

27 sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2 x (KD – 2012)

28 sin 2 2cos sin 1

29 sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 (KD – 2010)

30 3 cos 5 x2sin 3 cos 2x xsinx0 (KD – 2009)

31 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2 cos x (KD – 2008)

35 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsin x (KD – 2004)

36 sin2 tan2 cos2 0

39 1 2sin x2cosx 1 sinxcos x (CĐ – KA,B,D – 2009)

40 sin 3x 3 cos 3x2sin 2 x (CĐ – KA,B,D – 2008)

41 3 sin x2 cosxcos 2x   1 0 (DBI – KA,A1 – 2012)

45 2sin 22 xsin 6x2cos2x (DBI – KD – 2010)

46 2 3 cos 2 sin 4 cos 1 cos 2 os2

51 3sin cos 2 sin 2 4sin cos2

55 1 tan x1 sin 2 x 1 tan x (DBII – KD – 2007)

61 4sin3x4sin2 x3sin 2x6cosx0 (DBII – KD – 2006)

62 sin3xcos3x2sin2x1 (DBI – KD – 2006)

63 cos 2x1 2 cos xsinxcosx0 (DBII – KB – 2006)

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

16

sin cos 2x xcos x tan x1 2sin x0 (DBI – KD – 2005)

69 Tìm nghiệm trên 0; của phương trình 4sin2 3 cos 2 1 2 cos2 3

73 sinxsin 2x 3 cos xcos 2x (DBII – KD – 2004)

74 2sin cos 2x xsin 2 cosx xsin 4 cos x x (DBI – KD – 2004)

75 sin 4 sin 7x xcos 3 cos 6 x x (DBII – KB – 2004)

79 cot tan 2 cos 4

82 3cos 4x8cos6x2cos2 x 3 0 (DBI – KB – 2003)

83 3 tan xtanx2sinx6cosx0 (DBII – KA – 2003)

84 cos 2xcosx2 tanx12 (DBI – KA – 2003)

a  b Tìm a để phương trình cĩ nghiệm

2cos 2xsin xcosxsin cosx x2 sinxcosx (ĐHSP – ĐHL TPHCM)

95 sinxsin 2xsin 3x 0 (HVNH – ĐHKT TPHCM)

96 1 cos xcos 2xcos 3x 0 (ĐHNL TPHCM)

102 2sin 2xcos 2x7 sinx2cosx 4 (ĐHQG HN)

E ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014

103 sin 3x2cos 2x 3 4sinxcosx1 sin x (Đại học Vinh)

106 1 cos xcotxcos 2xsinxsin 2x (THPT Lương Ngọc Quyến)

107 2sin2xsin 2x3sinxcosx   2 0 (THPT Hồng Quang)

112 sin 2 sin 4 cos 2

113 2sin3xcos 2xcosx  0 (THPT Lương Thế Vinh)

114 1 sin x1 sin xsin 2xcos 2x (THPT Lương Thế Vinh)

115 sin3xcos3x3sin2x4sinxcosx2 0 (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)

116 cosxtanx 1 tan sinx x (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)

117 2 cos 6x2 cos 4x 3 cos 2xsin 2x 3 (THPT Hùng Vương)

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

120 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

124 sin 2xcos 2x 2 sinx  0 (THPT Chu Văn An)

126 sin 3x2cos 2x 3 4sinxcosx1 sin x (Đại học Vinh)

127 2 cos 22 x2 cos 2x4sin 6xcos 4x 1 4 3 sin 3 cosx x (THPT Triệu Sơn 4)

131 sin 2 cos 2 4 2 sin 4 cos 1 0

4

132 4 3sin xsin3x3cos2xcos6x (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)

133 cos 32 x3cos 22 xcos2xcos 2x  2 (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)

134 2cos2x3cosx2cos 3x4sin sin 2x x (THPT Lạng Giang số 1)

137 cotxcos 2xsinxsin 2xcos cotx x (THPT Thuận Thành số 3)

140 3 sin 2 xsinxcos 2xcosx  2 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

141 1 2sin 2sin 2 2 cos cos 2 3 1 cos 

143 2cos 5 cos 3x xsinxcos8x (THPT Ngơ Gia Tự)

144 cos 2x 5 2 2 cos  xsinxcosx (THPT Ngơ Gia Tự)

147 2sin cos2 sin cos 2 cos 2 2 cos

158 cos 2 cosx xcosxsin 2 sinx x (THPT Quế Võ 1)

159 2sinxcos 3xsin 2x 1 sin 4x (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)

160 sin sin 5 2 cos2 2 cos2 2

3 2 cos xcosx2 sinx 3 2cos x  0 (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)

166 1 cos cos 2 cos 3 23 3 sin 

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

171 sinxcos 2x2cosxcos 2 cosx x  1 (Đại học Vinh)

172 cosxcos3x2 3 sinx4 3 sinx2 3sin 3x (VNMATH.COM)

F ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

177 sin 2x 1 6sinxcos 2x (THPT Thanh Chương III – Nghệ An)

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

218 Biết rằng số thực  thỏa mãn tan 2 Tính giá trị của biểu thức

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

END -ThS Nguyễn Văn Rin Lượng giác qua các kỳ thi

28

Chú ý: Cĩ thể giải phương trình lượng giác bằng trang web http://www.wolframalpha.com/

Cứ mỗi giáo viên tha hĩa biến chất thì đâu đĩ vẫn cĩ những con người

tận tâm, tận lực và hết lịng vì học sinh

ThS NGUYEN VAN RIN – SĐT: 0122.551.4638

CS1 TT 30 Trần Thúc Nhẫn (học tại Trường CĐ Y Tế 01 – Nguyễn Trường Tộ)

– CS2 TT 240/33 Lý Nam Đế (Trường Cung) - CS3 240/57 Lý Nam Đế

Facebook: Nguyễn Văn Rin

