Chuyên đề: Bất đẳng thức

CHUYERN DE BAT DANG THUC Ví dụ 1... CHUYERN DE BAT DANG THUC 3.. Phương pháp sử dụng bất đăng thúc phụ Ví dụ 1... CHUYERN DE BAT DANG THUC Vidu 2.

CHUYERN DE BAT DANG THUC

L Phương pháp sử dụng định nghĩa

Đề chứng minh A > B ta chứng minh: A— B > 0

Vi du | Chứng minh bất đăng thức: a?+ b? +c? >ab+be+ca

Gial:

Xét hiệu: a” + b + cˆ— ab — be — ca

= „(8 + 2b“ + 2c” — 2ab — 2ac — 2bc)

= si(a~b) +(b—e)°+(c-a) | >0

A 2 2 2 A 6g 85 _ 2»

Vay:a +b +c >ab+bert+ca Dau “=” xayraca=b=c

CHUYERN DE BAT DANG THUC

a

Ví dụ 2 Chứng minh bất đăng thức:

a +bˆ+c+d +l>a+b+c+d

Gial:

Xét hiệu: aˆ+ bˆ+cˆ+dˆ+l-a-b-c-d=

= ah -a+t|+{b?—b+t}+(o-e+t |o{a? as)

= (a=) +[s=2] *[s-;] +[a-2] >0

' Vay:at+b +e +d +l>at+bt+ctd

Dau '=” xảy ra © a=b=c=d=—

CHUYERN DE BAT DANG THUC

Ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức: a?+bÊ>a+b ¬5

Gial:

Ta có: 2+ bˆ>a+b —5 at bi-a-b+— 20

So a2—2 La+ 2 + b`~2.1b++ >0

2 4 2 4

=la-;] +|b-;] >0

Dấu “=” xảy ra © a=b =;

CHUYERN DE BAT DANG THUC

3 Phương pháp sử dụng bất đăng thúc phụ

Ví dụ 1 Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh răng:

(a +b)(b +c)(c + a) > §abc

Giải: Vx, ytacé: (x + y) > 4xy

That vay: (x + y) > 4xy © x + y —2xy>0 (xt y) > 4xy

Áp dụng bất đăng thức: (x + y)ˆ > 4xy ta được:

(a +b)’ > 4ab (1)

(b+c) >4be (2)

(c+ a) >4ac (3)

* Nhân (1), (2) và (3) về với vế: (a + b)“(b + e)“(c + a)” > (8abc)”

<= (a + b)(b + c)(c + a)> Sabc ( Vì a, b, c là các số không âm)

CHUYERN DE BAT DANG THUC

Vidu 2 Cho a, b, c la do dai cua ba canh tam giac Chung minh:

a’ + b* + c* < 2(ab + be + ac)

Gial:

Via, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nền ta có:

a<b+c a’ <ab+ac b<a+c «€© <b’ <ab+be

c<a+b ec?’ <ac+be

9

=> a+b +e <2(ab+ac+bc) : Vậy: Nếu a, b, c là ba cạnh tam giác, thì:

a’ +b’ + c* < 2(ab + be + ac)

CHUYERN DE BAT DANG THUC

a

Bai tap ve mlhas

Bai / Chung minh: a+ b> Jab (1) Va, b>0O Bai 2 Chung minh: (ac + bd)? < (aˆ + bˆ\(cˆ + d°)

Bai 3 Chung minh: a+b +c’ >ab+bet+ca Bai 4 Chimg minh: (ax + by + cz) <(a +b +e )(x ty +Z)

Bài 5 Chứng minh: a” + b> > a+b -=

a> t+a+]1

Ỹ Bai 6 Ching minh: —-

a +1

3

—

2