[VNMATH.COM]-Binh luan cau 6 de thi dai hoc khoi A 2013 _1_

Đây là một bài toán khó, dành cho học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tốt và độ tư duy nhạy bén, sắc sảo.. Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai v

www.VNMATH.com BÌNH LUẬN CÂU 6

ĐỀ THI TUYỂN SINH MÔN TOÁN KHỐI A VÀ KHỐI A1 NĂM 2013

Tác giả: Đỗ Thị Thúy Ngọc

Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

4

ac bc  c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

c



Lời giải

Vì a, b, c là các số thực dương nên ta có    2

a c b c c

Lại có

P

   

Do đó đặt x a;y b ( ,x y 0)

   , bài toán đã cho trở thành “Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x1y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4

Ta giải tiếp như sau

Ta có x1y14xy x y 3

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

;

y     x    

2

x x y y

2

2

2

x y x y xy

x y xy

xy x y

www.VNMATH.com

Ta luôn có

xy  xy t  t  t  t     t  

Kết hợp với điều kiện 0  ta có t 3 t 2;3

Khi đó

 

2 2

2

2

2

2

2

6





 

f t  t  t  t với t 2;3

Dễ thấy phương trình f t  không có nghiệm '( ) 0 t 2;3

Ta có

 2;3 

(2) 3 2; (3) 3 min ( ) (2) 3 2

f   f   f t  f  

Vậy P  2 3 2 P 1 2 Dấu bằng xảy ra khi x y 1 a  b c

Vậy minP  1 2 khi a  b c

Bình luận

Đây là một bài toán khó, dành cho học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tốt và

độ tư duy nhạy bén, sắc sảo

Trước tiên nhận thấy vai trò của a và b trong biểu thức điều kiện cũng như trong biểu thức P là như nhau nên ta tìm cách “khử” bớt biến c Kĩ thuật này trong toán chứng

minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật giảm biến” Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai vế trong biểu thức điều kiện là bằng nhau và bậc của

tử và mẫu trong các phân thức của biểu thức P cũng bằng nhau Do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế hoặc chia cả tử và mẫu cho một lũy thừa của c mà bậc của c hoặc bằng với bậc của hai vế hoặc bằng bậc của tử và mẫu Khi đã giảm được biến c, bài toán trở thành bài toán của hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P đều là những biểu thức đối xứng đối với x và y

www.VNMATH.com

Đến đây, ta thấy biểu thức P thu được khá cồng kềnh và có bậc cao Dự đoán dấu bằng

xảy ra khi x y Khi đó 1

2

y  x  Vì vậy áp dụng bất đẳng thức

Cauchy cho ba số dương

3 3

, ,

2 2 3

x

y  , ta thu được một biểu thức cần đánh giá gọn

hơn và quan trọng là dấu bằng xảy ra khi x y Kĩ thuật này trong toán chứng minh 1 bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật chọn điểm rơi”

Một vấn đề khác Nhiều học sinh thấy có căn thức trong biểu thức P nên đã nghĩ đến

việc “khử” căn thức này bằng cách đánh giá như sau Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có  2 2  2 2 2

2

x y

x  y  x y  x  y   (do x và y là hai số dương)

2

2

x y x y xy x y P

xy x y



   Đây là một sai lầm, vì học sinh quên mất rằng trước x2 y2 là dấu trừ, và do đó bất đẳng thức (*) phải đổi chiều! Tất nhiên nếu học sinh có kĩ năng tốt thì ít khi mắc phải lỗi này, nhưng nếu không rèn cho mình một khả năng tập trung cao và chuẩn bị cho mình một tinh thần tỉnh táo thì khi ngồi trong phòng thi với một áp lực rất lớn, các em cũng rất dễ mắc phải sai lầm sơ đẳng này

Lúc này bằng cách khai thác điều kiện xyx y  ta chuyển được bài toán hai ẩn x, y 3

về bài toán một ẩn t Vấn đề mấu chốt bây giờ là hạn chế miền xác định của ẩn t Ta sử

dụng bất đẳng thức quen thuộc x y24xy cộng với chú ý rằng x, y là hai số thực dương nên có tổng và tích là những số dương ta suy ra miền xác định của ẩn t là

2;3

t 

Bài toán giờ đây trở thành một bài toán quen thuộc, đó là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số một biến trên một nửa khoảng Đến đây đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tính toán tốt, bởi nếu sai ở bước này thì toàn bộ công sức “xoay xở” ở trên cũng trở thành vô nghĩa! Vì vậy, ta khẳng định lại một lần nữa, đây là một câu hỏi hay và thực sự đòi hỏi

www.VNMATH.com sinh phải luyện tập nhiều để có một kĩ năng và tốc độ tính toán tốt thì mới có thể chinh phục trọn vẹn bài toán này

Một câu hỏi mà chắc chắn các thầy cô giáo và thậm chí là các em học sinh giỏi cũng sẽ

đặt ra là “có thể tạo ra các bài toán tương tự được không?” Câu trả lời đã rất rõ ràng

qua quá trình chúng ta giải bài Thật ra, xuất phát từ một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

của một biểu thức đối xứng của hai biến x, y thỏa mãn một biểu thức điều kiện cũng đối

xứng, bằng cách đặt x a;y b

  , ta thu được một bài toán của ba biến a, b, c và không

còn đối xứng nữa! Bằng phương pháp này, ta có thể tạo ra một loạt bài toán mới từ những bài toán quen thuộc đã biết Chẳng hạn ta xét bài toán sau

(HSG 12 Hà Nội 2013) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x yxy  3

y  x    

Ta thấy biểu thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh đều đối xứng đối với x và

y Đặt x a;y b

  , ta được

c c c c

2 2

4



Vậy ta có bài toán mới “Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

4

ac bc  c Chứng minh rằng

2 2

4



Ta cũng có thể áp dụng cách thức trên cho các bài toán gốc 1 biến để tạo ra các bài toán mới có 2 biến hoặc sử dụng bài toán gốc 3 biến để tạo ra bài toán mới có 4 biến … Như vậy, qua việc nghiên cứu và giảng dạy một bài toán, ta có thể giúp học sinh hệ thống lại các phương pháp giải bài, chỉ ra những sai lầm mà học sinh hay mắc phải và

www.VNMATH.com thuộc Nếu thường xuyên làm được việc này, giờ học sẽ trở nên thật sự hấp dẫn và trình

độ tay nghề của giáo viên cũng như năng lực giải toán của học sinh sẽ được cải thiện rất đáng kể, tạo ra một môi trường giảng dạy và học tập năng động, phát huy được tinh thần

tự học và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh./