Câu V (1,0 điểm) Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Trước hết ta chứng minh: 1 1 2 (*),
1 a + 1 b ≥ 1 ab
+ + + với a và b dương, ab ≥ 1
Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b)
⇔ (a + b) ab + 2 ab ≥ a + b + 2ab
⇔ ( ab – 1)( a – b )2≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1
Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, ta có:
x P
3
+
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: z
y = x
z hoặc 1
x
y = (1) Đặt x
y = t, t ∈ [1; 2] Khi đó: P ≥ 22 2
2 3 1
t
Xét hàm f(t) = 22 2 ,
2 3 1
t
+ + t ∈ [1; 2];
3
2 (4 3) 3 (2 1) 9) '( )
(2 3) (1 )
f t
− ⎣ − + − + ⎦
=
+ + < 0
⇒ f(t) ≥ f(2) = 34 ;
33 dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: t = 2 ⇔ x
y = 4 ⇔ x = 4, y =
⇒ P ≥ 34
33 Từ (1) và (2) suy ra dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: x = 4, y = 1 và z = 2
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 34 ; khi x = 4, y = 1, z = 2
Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = 0 2 2
( ) ( )
( )(
( ) ( )
)
x y z xy
y z z x
+ Nếu x = y thì P = 6
5 + Ta xét x > y thì P P( xy) = 2
2 3
y x
x y y x
Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = xy
33
www.laisac.page.tl
( Sưu tầm, tổng hợp các bài giải của nhiều tác giả trên Internet)
Cách 1
Cách 2
ĐỀ Khối A .2011
N
N H H I I Ề Ề U C C Á Á C C H G G I I Ả Ả I K K H H Á Á C N N H H A A U
C
C Â Â U 5 Đ Đ Ề T T H H I Đ Đ Ạ Ạ I H H Ọ Ọ C K K H H Ố Ố I A A , , , B N N Ă Ă M 2 2 0 0 1 1 1 1
Trang 2Đặt t = x
y P thành f(t) = 22 2
2 3 1
t
(t (1; 2])
f’(t) = 2[4 (3 21) 3(22 2 2 3)]
(2 3) ( 1)
t t t t
t t
< 0 Vậy P f(t) f(2) = 34
33 Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 Vậy min P = 34
33 .
Đặt a y, b z, c x, t bc
4 £ £a abc= và 1£ £ t 2. Biểu thức P được viết lại thành
P
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
1
bc
t
+
Từ đó suy ra
2 2 2
t
Khảo sát hàm f t trên đoạn ( ) [1, 2], ta thấy
23 2 1 2
(2 t 3) ( 1)
f t
vì
3 ( 1) (2 3) 2 ( 1) (2 3) 2 ( 1) (2 3)
(4 1)( 1) 0
2
t
Do đó f t là hàm nghịch biến trên ( ) [1, 2], suy ra
34 ( ) (2) 33
Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi x =4, y= và 1 z = 2
Vậy ta đi đến kết luận min 34.
33
P =
Xét hàm số
(z+x) 2
Ta sẽ chứng minh
Cách 3
Cách 4
Trang 3⇒ f (x) nghịch biến trên khoảng [1;4]
(3y+8) 2
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
⇒ f (y) đồng biến trên khoảng [1;4]
Xét
x
=2 +x 3 + +y + +z
Sẽ có
x
2 3
f x
y
x z
y
x
x
x
æ ö÷
ç
- - £ ççè - ÷÷ø -
-=
+
-+
=
-
2
2 2 2
2 2
2
3 27 16
9 4
16
4
36 27
36 48
4
y
y
Từ đó P³f ( )4 =8 3+4 y+y+y z+4+z z =g y ( ) để rồi lại thấy
+
2 12 2 64 9 2 12 212
g
y y
'( )
Xét tử số chính là:
z - - z ³ z z =12(z-1)(4-z)+4z
+ 2 12 2 12 2 64 + 2-12 2-12 2 + - 2>0
Vì ( z-1 4)( -z );48-3y2=3(4-y )(4+y )³0 vậy nên:
( )
³ 1 = +114 +11+z+z 4 =
Lại có nốt
z
= + 2 + 2
2 3 6
z
h z
'( )
Thế cho nên h z '( ) đổi dấu từ âm qua dương khi z chạy qua 2 vì vậy giá trị nhỏ
nhất của h(x) là =
3
2 34 3
h( )
Tóm lại giá trị bé nhất cần tìm là 34
33 nó đạt được khi x=4; y=1; z=2
Cách 5
Trang 4Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
= ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎞ ⎟ ⋅
Với a, b dương, ta có: 2(a2+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2)
⇔ 2(a2+ b2) + ab = a2b + ab2+ 2(a + b) ⇔ 2 a b
b a
⎛ +
⎜ ⎞ ⎟ + 1 = (a + b) + 2 ⎛ ⎜ 1 1 a b + ⎞ ⎟ .
(a + b) + 2 1 1
a b
⎛ + ⎞
⎝ ⎠ ≥ 2 2(a b) 1 1
a b
+ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ = 2 2 a b 2
b a
⎛ + +
⎜
⎞
⎟, suy ra:
2 a b
b a
⎛ +
⎜
⎞
⎟ + 1 ≥ 2 2⎛⎜a b b a+ +2⎞⎟
⎝ ⎠ ⇒
a b
b a + ≥ 5
2 Đặt t = a b
b a + , t ≥ 5
2 , suy ra: P = 4(t3 – 3 t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9 t2 – 12 t + 18
Xét hàm f(t) = 4t3 – 9 t2 – 12 t + 18, với t ≥ 5
2
Ta có: '( ) f t = 6(2t2 – 3 t – 2) > 0, suy ra: 5
; 2
min ( ) f t
⎡ +∞⎟ ⎞
⎢⎣ ⎠
= 5 2
f ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = – 23
4
Vậy, minP = – 23 ;
4 khi và chỉ khi:
5 2
a b
b a + = và a b 2 1 1
a b
+ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
⇔ (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2)
Theo giả thiết ta có ( 2 2 ) ( )( )
2 a +b +ab= a+b ab + 2 Từ đây suy ra :
1 1
2 a b 1 ab 2
2 2
2 a b 1 a b
æ ö + + = + + +
ç ÷
è ø
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : a 2 b 2 2 2 a b
+ + + ³ ç + ÷
Đặt t = a b
b+ , ta suy ra : 2t + 1 ³ a 2 2 t + 2 Þ 4t
2
– 4t – 15 ³ 0 Þ t ³ 5
2
Mặt khác: P =
3 3 2 2
3 3 2 2
4 a b 9 a b
= 4(t 3 – 3t) – 9(t 2 – 2) = 4t 3 – 9t 2 – 12t + 18 = f(t)
f’(t) = 12t 2 – 18t – 12, f’(t) = 0 Þ t = 1
2
- hay t = 2
Þ Min f(t) = 23
4
- khi t = 5
2 Vậy min P = 23
4
- khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ab + 2 ≥ 2p2ab.
Cách 1
Cách 2
Cách 3
Trang 5Từ đó suy ra £2(a2
+ b2) + ab¤2≥ 8ab(a + b)2 Bất đẳng thức này có thể viết lại thành
· 2
µ
a
b+b
a
¶ + 1
¸2
≥ 8
µ
a
b+b
a+ 2
¶
Đặtt = a
b+b
a thì ta có(2t + 1)2≥ 8(t + 2).
Giải bất phương trình này với chú ý rằngt ≥ 2,ta tìm được t ≥5
2. Bây giờ, biến đổi biểu thứcP theo t,ta có
P = 4(t3− 3t) − 9(t2− 2) = 4t3− 9t2− 12t + 18 = f (t).
Xét hàm f (t)trên·5
2, + ∞
¶ ,ta có
f′(t) = 12t2− 18t − 12 = 6(2t2− 3t − 2) > 0,
vì 2t2− 3t − 2 = t(2t − 5) + 2(t − 1) > 0.
Vậy f (t)đồng biến trên·5
2, + ∞
¶ , suy ra
P = f (t) ≥ f
µ5 2
¶
= −234 Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khia = 2và b = 1.
Do vậy, ta đi đến kết luận minP = −234