Nëi suy Niutìn a Vi»c x¥y düng nëi suy Niutìn b ¡nh gi¡ sai sè trong nëi suy.. Ph÷ìng ph¡p chuéi Taylor 2.
Trang 1C U HÄI V BI TP MÆN PH×ÌNG PHP
TNH
NGUYN THANH TÒNG Th¡ng 5 n«m 2009
1 Lþ thuy¸t
1.1 Sai sè
1 Sai sè t÷ìng èi v sai sè tuy»t èi
2 Chú sè ¡ng tin v chú sè câ ngh¾a
3 C¡c quy tc t½nh sai sè
1.2 T½nh g¦n óng nghi»m thüc cõa mët ph÷ìng tr¼nh
1 C¡c kh¡i ni»m v ành lþ v· kho£ng ph¥n ly nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0
2 C¡c ph÷ìng ph¡p x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa f(x) = 0 : Mæ t£ ph÷ìng ph¡p, sü tçn t¤i nghi»m theo tøng ph÷ìng ph¡p, ¡nh gi¡ sai sè t÷ìng ùng theo tøng ph÷ìng ph¡p
(a) Ph÷ìng ph¡p chia æi
(b) Ph÷ìng ph¡p l°p ìn
(c) Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n
1.3 T½nh g¦n óng nghi»m cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè
1 Mæ t£ ph÷ìng ph¡p l°p ìn
2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p ìn
3 ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p l°p ìn
Trang 21.4 Nëi suy v ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng b² nh§t
1 Nëi suy Niutìn
(a) Vi»c x¥y düng nëi suy Niutìn
(b) ¡nh gi¡ sai sè trong nëi suy
2 Ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng b² nh§t
1.5 T½nh g¦n óng cõa ¤o h m v t½ch ph¥n x¡c ành
1 T½nh g¦n óng cõa ¤o h m: p döng a thùc nëi suy; p döng khai triºn Taylor
2 T½nh g¦n óng cõa t½ch ph¥n x¡c ành: Cæng thùc h¼nh thang; Cæng thùc Simpson
1.6 T½nh g¦n óng nghi»m cõa b i to¡n cosi èi vîi ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n th÷íng
1 Ph÷ìng ph¡p chuéi Taylor
2 Ph÷ìng ph¡p Ìle
2 B i tªp
2.1 Cho h m sè y = ln(x1 + 2x2+ 3x3) X¡c ành ∆y, δy bi¸t x1 = 1, 012; x2 =
1, 2345; x3 = 1, 56789 v c¡c chú sè biºu di¹n n¶n x1, x2, x3 vøa ¡ng tin v vøa câ ngh¾a
2.2 Sû döng ph÷ìng ph¡p chia æi, t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh:
1 x3+ 3x2− 3 = 0 vîi ë ch½nh x¡c 10−3
2 x2log1(x + 1) = 1 vîi ë ch½nh x¡c l 10−2
2.3 B¬ng ph÷ìng ph¡p l°p, x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh
1 x − sin x = 1
4 vîi k¸t qu£ câ hai chú sè l´ thªp ph¥n ¡ng tin
2 x3− x − 1000 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
3 x4− 4x − 1 = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
4 lg x − 3x + 5 = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
Trang 35 x − cos x = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
6 x3− 9x2 + 18x − 1 = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
7 x3+ 3x2− 3 = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
8 √x + 1 − 1
x = 0 vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
2.4 B¬ng ph÷ìng ph¡p Niutìn, x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−5
1 18
10x
2− sin 10x = 0
2 x2− sin πx = 0
3 x2− cos πx = 0
4 2 lg x − x
2 + 1 = 0
5 lg x − 1
x2 = 0
6 x lg x − 12
10 = 0
7 x3+ 3x + 5 = 0
8 x4− 3x + 1 = 0
9 2x− 4x = 0
2.5 B¬ng ph÷ìng ph¡p d¥y cung, x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi sai sè khæng v÷ñt qu¡ 10−4
1 x3+ 3x + 5 = 0
2 x4− 3x + 1 = 0
3 x − cos2πx = 0
2.6 Dòng ph÷ìng ph¡p l°p ìn x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa h» ph÷ìng tr¼nh
¤i sè sau:
1
2, 75x1+ 1, 78x2+ 1, 11x3 = 13, 62
3, 28x1+ 0, 7x2+ 1, 15x3 = 17, 98
1, 15x1+ 2, 72+ 3, 58x3 = 39, 72
tîi ba chú sè l´ thªp ph¥n
2
3, 2x1− 1, 5x2 + 0, 5x3 = 0, 9
1, 6x1+ 2, 5x2− x3 = 1, 55
x + 4, 1x − 1, 5x = 2, 08
cho tîi khi kx(m)− x(m−1)kk ≤ 10−3
Trang 4
1, 5x1− 0, 2x2+ 0, 1x3 = 0, 4
−0, 1x1+ 1, 5x2− 0, 1x3 = 0, 8
−0, 3x1+ 0, 2x2− 0, 5x0 = 0, 2
tîi n«m chú sè l´ thªp ph¥n
4
1, 02x1− 0, 05x2− 0, 1x3 = 0, 795
−0, 11x1+ 1, 03x2− 0, 05x3 = 0, 849
−0, 11x1− 0, 12x2+ 1, 04x3 = 1, 398
vîi sè l¦n l°p l 5
5
24, 21x1+ 2, 42x2+ 3, 85x3 = 30, 24
2, 31x1+ 31, 49x2+ 1, 52x3 = 40, 95
3, 49x1+ 4, 85x2+ 28, 72x3 = 42, 81
cho tîi khi kx(m)− x(m−1)kk ≤ 10−5
6
−8 1 1
1 −5 1
1 1 −4
x1
x2
x3
=
1 15 7
cho tîi khi kx(m)− x(m−1)kk≤ 10−4
7
10 1 1
2 10 1
2 2 10
x1
x2
x3
=
12 13 14
cho tîi khi kx(m)− x(m−1)kk ≤ 10−4 So s¡nh k¸t qu£ vîi nghi»m óng x1 = x2 = x3 = 1?
8
4 0, 24 −0, 08
0, 09 3 −0, 15
0, 04 −0, 08 4
x1
x2
x3
=
8 9 20
cho tîi khi kx(m)− x(m−1)kk ≤ 10−4
2.7 1 X¥y düng a thùc nëi suy Lagrange cho h m sè
(a) y = f(x) bi¸t f(0) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, f(5) = 5 Tø â x¡c ành gi¡ trà g¦n óng cõa h m sè t¤i x = 3, 24
(b) y = f(x) bi¸t f(321) = 2, 50651, f(322, 8) = 2, 50893, f(324, 2) = 2, 51081,
f (325) = 2, 51188.Tø â t½nh gi¡ trà g¦n óng cõa h m sè t¤i x = 323, 5
2 H¢y ¡nh gi¡ sai sè nhªn ÷ñc khi x§p x¿ h m sè y = sin x b¬ng a thùc nëi suy Lagrange bªc 5: L5(x),bi¸t r¬ng a thùc n y tròng vîi h m sè ¢ cho t¤i c¡c gi¡ trà cõa x b¬ng: 00, 50, 100, 150, 200, 250 X¡c ành gi¡ trà cõa sai sè khi
x = 120300
2.8 1 Cho h m sè y = f(x) = 2x bi¸t f(3, 5) = 33, 115, f(3, 55) = 34, 813,
f (3, 6) = 36, 598, f (3, 65) = 38, 475, f (3, 7) = 40, 477 H¢y lªp a thùc nëi suy Niutìn ti¸n xu§t ph¡t tø 3, 50 v a thùc nëi suy Niutìn lòi xu§t ph¡t tø 3, 7
Tø â cho bi¸t gi¡ trà g¦n óng cõa h m sè t¤i x = 3, 52 v x = 3, 682 H¢y cho bi¸t sai sè t÷ìng ùng?
2 Cho h m sè y = f(x) bi¸t f(−1) = 3, f(0) = −6, f(3) = 39, f(6) = 822, f(7) =
1611.H¢y x¥y düng a thùc nëi suy Niutìn ti¸n xu§t ph¡t tø −1 cõa h m sè
Tø â t½nh gi¡ trà g¦n óng cõa h m sè t¤i x = −0, 25
Trang 53 Cho h m sè y = f(x) = sin x câ b£ng gi¡ trà g¦n óng f(0, 1) = 0, 09983,
f (0, 2) = 0, 19867, f (0, 3) = 0, 29552, f (0, 4) = 0, 38942
(a) Dòng a thùc nëi suy ti¸n xu§t ph¡t tø 0,1 t½nh gi¡ trà g¦n óng cõa
h m sè t¤i x = 0, 14 Cho bi¸t sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn ÷ñc?
(b) Dòng a thùc nëi suy lòi xu§t ph¡t tø 0, 4 º t½nh gi¡ trà g¦n óng cõa
h m sè t¤i x=0,46 ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn ÷ñc?
4 Cho b£ng gi¡ trà cõa h m sè y = f(x) = sin x l f(150) = 0, 258819; f (200) =
0, 392202; f (250) = 0, 422618; f (300) = 0, 5
(a) Dòng a thùc nëi suy Niutìn ti¸n xu§t ph¡t tø 150 º t½nh gi¡ trà g¦n
óng cóa h m sè t¤i x = 160 ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn
֖c?
(b) Dòng a thùc nëi suy Niutìn lòi xu§t ph¡t tø 300 º t½nh gi¡ trà g¦n
óng cõa h m sè t¤i x = 310 ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn
֖c?
(c)
2.9 B¬ng ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng b² nh§t x¡c ành h m sè
1 y = ax + b bi¸t f(2) = 7, 32; f(4) = 8, 24; f(6) = 9, 2; f(8) = 10, 19; f(10) =
11, 01; f (12) = 12, 05
2 y = ax2+ bx + cbi¸t f(0, 78) = 2, 5; f(1, 56) = 1, 2; f(2, 34) = 1, 12; f(3, 12) =
2, 25; f (3, 81) = 4, 28
3 y = axb bi¸t f(10) = 1, 06; f(20) = 1, 33; f(30) = 1, 52; f(40) = 1, 68; f(50) =
1, 81; f (60) = 1, 91; f (70) = 2, 01; f (80) = 2, 11
4 y = ax2+ b bi¸t f(1) = 0, 1; f(2) = 3, f(3) = 8, 1; f(4) = 14, 9; f(5) = 23, 9
5 y = ax2+bx+cbi¸t f(0, 56) = −0, 8; f(0, 84) = −0, 97; f(1, 14) = −0, 98; f(2, 44) =
1, 07; f (3, 16) = 3, 66
2.10 1 Cho h m sè y = f(x) = lg x vîi c¡c gi¡ trà f(50) = 1, 699; f(55) =
1, 7404; f (60) = 1, 7782; f (65) = 1, 8129 T½nh gi¡ trà g¦n óng cõa ¤o h m
cõa h m sè t¤i x = 50 v so s¡nh vîi k¸t qu£ t½nh trüc ti¸p?
2 Cho h m sè y = f(x) bi¸t c¡c gi¡ trà f(0, 98) = 0, 7739332; f(1) = 0, 7651977; f(1, 02) =
0, 7563321 T½nh gi¡ trà g¦n óng cõa f0(1)?
2.11 1 T½nh gi¡ trà g¦n óng R1
0
dx
1 + x bði cæng thùc h¼nh thang v chia [0; 1]
th nh 10 ph¦n b¬ng nhau ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn ÷ñc?
2 Cho R2 sin x
x
Trang 6(a) T½nh gi¡ trà g¦n óng cõa t½ch ph¥n b¬ng cæng thùc h¼nh thang v chia [1; 2] th nh 10 ph¦n b¬ng nhau ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng nhªn ÷ñc?
(b) Häi ph£i chia [1; 2] th nh bao nhi¶u ph¦n b¬ng nhau º khi t½nh t½ch ph¥n b¬ng cæng thùc h¼nh thang b£o £m ÷ñc sai sè khæng v÷ñt qu¡ 3.10−4
3 Dòng cæng thùc h¼nh thang v cæng thùc Simpson t½nhR1
0
dx
1 + x2 khi chia [0; 1]
th nh 10 ph¦n b¬ng nhau Cho bi¸t sai sè t¼m ÷ñc b¬ng vi»c t½nh t½ch ph¥n nhí cæng thùc Niutìn-Lepnit
4 Dòng cæng thùc h¼nh thang t½nh 1,1R
0,1
dx (1 + 4x)2 khi chia [0, 1; 1, 1] th nh 10 ph¦n b¬ng nhau ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng vøa t¼m ÷ñc?
5 Dòng cæng thùc Simpson, t½nh3,5R
2
1 + x
1 − xdxkhi chia [2; 3, 5] th nh 12 ph¦n b¬ng nhau ¡nh gi¡ sai sè cõa gi¡ trà g¦n óng vøa t¼m ÷ñc?
6 º t½nh g¦n óng cõa 3,1R
2,1
x3
x − 1dx b¬ng cæng thùc Simpson, c¦n chia [2, 1; 3, 1]
th nh bao nhi¶u ph¦n b¬ng nhau º ¤t ÷ñc sai sè | R |< 10−4
2.12 Dòng ph÷ìng ph¡p chuéi Taylor gi£i b i to¡n
1 y0 = x2+ y2, y(0) = 0
2 y0 = xy
2 , y(0) = 1v 0 ≤ x ≤ 1