TÀI LIỆU PHƯƠNG PHÁP TÍNH

56 6 Tính gần đúng nghiệm của bài toán Cosi đối với phương trình vi phân thường 59 6.1 Phát biểu bài toán Cosi... Chương 1Sai số 1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 1.1.1 Sai số tuy

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ CHÍNH QUY

SƠN LA, NĂM 2009

Mục lục

Mục lục 3

1 Sai số 6 1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 6

1.1.1 Sai số tuyệt đối 6

1.1.2 Sai số tương đối 7

1.2 Cách viết số xấp xỉ 7

1.2.1 Chữ số có nghĩa 7

1.2.2 Chữ số đáng tin 7

1.2.3 Cách viết số xấp xỉ 8

1.3 Sai số quy tròn 8

1.3.1 Hiện tượng quy tròn số và sai số quy tròn 8

1.3.2 Sai số của số đã quy tròn 9

1.3.3 Ảnh hưởng của sai số qui tròn 9

1.4 Các quy tắc tính sai số 9

1.4.1 Sai số của u = x + y 10

1.4.2 Sai số của u = xy 10

1.4.3 Sai số của một thương u = x y, y 6= 0 10

1.4.4 Công thức tổng quát 11

1.5 Sai số tính toán và sai số phương pháp 12

1.6 Bài tập 13

2 Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình 16 2.1 Nghiệm và khoảng phân li nghiệm 16

2.1.1 Nghiệm thực của phương trình một ẩn 16

2.1.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm của phương trình 16

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)=0 17

2.1.4 Khoảng phân li nghiệm 17

2.2 Các phương pháp xác định nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 17 2.2.1 Phương pháp chia đôi 17

4 MỤC LỤC

2.2.2 Phương pháp lặp 19

2.2.3 Phương pháp Niutơn 22

2.2.4 Phương pháp dây cung 25

2.3 Bài tập 26

3 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính 28 3.1 Mở đầu 28

3.1.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính 28

3.1.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ (3.1) 28

3.2 Các phương pháp 29

3.2.1 Phương pháp Gauss 29

3.2.2 Phương pháp Gauss-Gioocdang 29

3.2.3 Phương pháp lặp đơn 30

3.2.4 Phương pháp lặp Dâyđen 35

3.3 Bài tập 37

4 Nội suy và phương pháp bình phương bé nhất 39 4.1 Nội suy, đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Niutơn 39

4.1.1 Nội suy 39

4.1.2 Đa thức nội suy Lagrange và Niutơn 40

4.2 Phương pháp bình phương bé nhất 47

4.2.1 Mở đầu 47

4.2.2 Các trường hợp cụ thể 48

4.3 Bài tập 50

5 Tính gần đúng của đạo hàm và tích phân xác định 52 5.1 Tính gần đúng của đạo hàm 52

5.1.1 Áp dụng đa thức nội suy 52

5.1.2 Áp dụng công thức Taylor 52

5.2 Tính gần đúng của tích phân xác định 53

5.2.1 Sử dụng công thức hình thang để xác định giá trị gần đúng của Rb a f(x)dx 53

5.2.2 Công thức Simson xác định giá trị gần đúng của Rb a f(x)dx 55

5.3 Bài tập 56

6 Tính gần đúng nghiệm của bài toán Cosi đối với phương trình vi phân thường 59 6.1 Phát biểu bài toán Cosi 59

6.1.1 Đặt vấn đề 59

6.1.2 Phát biểu bài toán Cosi đối với phương trình vi phân cấp 1 59

6.1.3 Vấn đề tính gần đúng nghiệm 60

6.2 Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cosi 60

6.2.1 Phương pháp chuỗi Taylor 60

6.2.2 Phương pháp Ơle 61

6.2.3 Phương pháp Ơle cải tiến 65

6.3 Bài tập 65

Chương 1

Sai số

1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

1.1.1 Sai số tuyệt đối

Trong quá trình tính toán, việc sử dụng giá trị gần đúng của một đại lượng làcần thiết

Giả sử ta có đại lượng đúng A và giá trị gần đúng của nó là a Ta nói a là xấp

xỉ của A, viết a ≈ A

Định nghĩa 1.1 Khi đó | a − A | được gọi là sai số tuyệt đối của a

Trong thực tế, đôi khi ta không thể xác định được A mà chỉ biết được xấp xỉ

a của nó Do đó ta không thể xác định được sai số tuyệt đối của a Chẳng hạn, takhông thể biết được giá trị đúng A =√2, trong khi đó a = 1, 4142 là xấp xỉ của A.Vậy sai số tuyệt đối của a là | 1, 4142 −√2 | là không thể xác định

Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương ∆a nào đó mà

Ta gọi ∆a là sai số tuyệt đối giới hạn của a Rõ ràng sai số tuyệt đối giới hạn

∆a là không duy nhất Với lí do này, ta chọn ∆a là số dương nhỏ nhất có thể đượcthỏa mãn (1.1)

Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là ∆a, thì ta viết

Từ (1.1) và (1.2), ta có

Ví dụ 1.1 √2 = 1, 414 ± 0, 00015

1.1.2 Sai số tương đối

Ngược lại, nếu ∆a > 1

2 · 10k thì ak được gọi là chữ số đáng nghi

Vậy các chữ số đáng tin của a với ∆a = 0.0043 là 6, 5, 8, 2 và từ đây thì các chữ

1.3.1 Hiện tượng quy tròn số và sai số quy tròn

1 (a) Trong khi tính toán, ta gặp số α có quá nhiều chữ số đáng nghi, ta bỏ

đi một vài chữ số ở cuối được số α′ Hiện tượng này gọi là quy tròn số αthành α′

(b) Mỗi khi quy tròn một số người ta đã tạo ra một sai số mới Sai số nàyđược gọi là sai số quy tròn, nó được xác định bằng hiệu giữa số đã quytròn và số chưa quy tròn:

Ví dụ 1.7 8.7354 ≃ 8.74; 8.7354 ≃ 8.7

1.3.2 Sai số của số đã quy tròn

Định nghĩa 1.6 Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn

là ∆a Giả sử a′ là số quy tròn của a Khi đó | a′

− a | được gọi là sai số quy tròntuyệt đối Giá trị θa ′ thỏa mãn: | a′

− a |≤ θa ′ được gọi là sai số quy tròn tuyệt đốigiới hạn

Sự khác biệt giữa các giá trị tính ra của hai vế chứng tỏ sai số quy tròn có thể

có tác dụng không tốt trong quá trìn tính toán

Nói quá trình tính A ở vế trái là quá trình tính ổn định; quá trình tính A ở vếphải là quá trình tính toán không ổn định

1.4 Các quy tắc tính sai số

Xét hàm số u = f(x, y) với biến là x, y, cho biết sai số của x, y Xác định sai sốcủa u

Kí hiệu

• ∆x, ∆y, ∆u là các số gia của x, y, u

• dx, dy, du là các vi phân của x, y, u

• ∆x,∆y,∆u là các sai số tuyệt đối của x, y, u

Theo (1.1) ta có: | ∆x |≤ ∆x,| ∆y |≤ ∆y Ta xác định ∆u sao cho | ∆u |≤ ∆u

∂x∆xi

u

∂

∂xi

ln f (x1, x2,· · · , xn)

∂ln u

∂xi

1

33 − 0, 037

+

1

43 − 0, 016

+