Heeeệäää pppphhhhưưưươơơơnnnngggg rrrrììììnnnnhhhh Tuuuuyyyyeeeếááánnnn íííínnnnhhhh Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp qua 3 bước 1, 02 0, 05 0,1 0, 795 1/... G
Trang 1Ti ể u u ậ n
PHƯƠNG PHÁÙÙÙP TÍNH
- -
Chương 1.S Sai ai ai S S Sốốốố
Bài 1:
Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với những giá trị của các đối số đã cho
2 sin( )
1) ( ) , 0, 983, 1, 032, 2,114
2) xy , 0,133, 4, 732, 3, 015
2 2
3) cos( ) , 1,132; 2,18; 0,145
4) ln( ) , 0,123; 1, 734; 2, 015
2 ln( )
5) sin( ) , 1,113; 0,102; 2,131
6) xy , 0,162; 4,531; 1, 91
2
2
sin( )
7) 2 , 0, 085; 0, 055; 2,152
8) (1 ) , 0,192; 1, 034; 5,174
9) (1 ) , 2, 918; 1, 032; 2,114
+
y x xy
Bài 2:Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được
d = 1,112m và sai số của phép đo là 1 mm
Bài 3:Hãy xác định sai số tương đối giới hạn và sai số tuyệt đối giới hạn và chữ số đáng
tin của cạnh hình vuơng a Biết rằng diện tích hình vuơng là 2
16, 45 , S 0, 01
S = cm ∆ =
Chương 2.
Giiiiaaaảûûûiiii pppphhhhưưưươơơơnnnngggg rrrrììììnnnnhhhh Đaaaạïïïiiii Soooốááá vvvvaaaàøøø pppphhhhưưưươơơơnnnngggg rrrrììììnnnnhhhh Siiiieeeêâââuuuu Viiiieeeệääätttt
Bài 1:
Dùng phương pháp chia đơi giải các phương trình sau, và tính số lần lặp với 3
10
ε = −
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 2
0 3
0 2
1) sin 1 ; 1, 2 2) cos 0 ; 0,1 3) ; 4, 4.5 4) ( 1) ; 0,1 5) 2 0 ; 3, 4 6)
x
[ ]
0 0
4 sin ; 1, 3 7) 1.3 cos 3 0 ; 0,1
∈
[ ]
2
0 0
8) 4 sin 5 0 ; 2;3 9) ln 3 sin 2 0 ; 0.25;1
0
10) lnx−3 sinx x+ =2 0 ; x ∈ 0.1;0.7
[ ]
0
11) ln(x x− −1) xsin 3x+1 = 0 ; x ∈ 1,1; 2
[ ]
x
12) ln(x x+ −1) 3 cosx e −2 = 0; x ∈ 1; 2
Trang 213) x3−7x2+14x− =6 0 trong (0;1), (1; 3.2) và (3.2, 4) , ε =10−2 14) x4−2x3−4x2+4x+ =4 0 trong ( 2; 1)− − , (0;2), (2,3) và ( 1;0)− , ε =10−2
15) 2+cos(ex− − =2) ex 0 trong (0,5;1,5), ε =10−3 16) x−2−x =0 trong (0;1), ε =10−3
17) ex−x2+3x− =2 0 trong (0;1), ε =10−3 18) 2x cos(2x)− +(x 1)2=0 trong ( 3; 2)− − ) và ( 1;0)− , ε =10−3
x cos x−2x +3x 1− =0 trong (0,2;0,3) và (1,2;1,3), 3
10−
ε = 20) x3+ − =x 4 0 trong (1;4), ε =10−2
21) x−sin x=1 trong (1;2), ε =10−3 22) tg(x 1)+ =x2trong (0;1), ε =10−3
Bài 2:
x+ −x < − , đánh giá sai số: [ ]
[ ] [ ]
3
0
0
0
1) 1 0 ; 1; 2 2) 3 3 0 ; 1; 2 3) 2 4 0 ; 2;3
[ ] [ ]
0
0
4) 0 ; 0.2;1
5) +0, 5sin ; 0; 2
2
x
x
0
0 0 0
6) x 2 0 ; x [0.3;1]
7) 3x e 0 ; x [0;1]
8) x cos x 0 ; x [0;1]
9) x+ ln x 5 0 ; x [3;5]
−
[ ]
3
0
10) x− + =x 1 0 ; x ∈ 1; 2
[ ] [ ]
0
0
11) 3 0 ; 1;2
2
−
x
x
x
[ ] [ ]
2
0 0
13) 3cos 4 0 ; 1; 2 14) 2 cos 3 0 ; 2;3
0
15) x−1 −3ln x−2 = 0 ; x ∈ 2;3
0
16) ln(x x +1)−2 cos x + −2 2.92 = 0 ; x ∈ 0.8;1.3
0
17) arcsinx+4x −3 = 0 ; x ∈ 0;1
[ ]
2
0
18) arccosx−3x +1 = 0 ; x ∈ 0;1
[ ]
2
0
19) 1 arccos+ x+x −2 = 0 ; x ∈ 0;1
[ ]
4
0
20) 1 arcsin 4 = 0 ; 1; 2
3
Bài 3:
Dùng phương pháp Newton (tiếp tuyến) giải các phương trình sau với 5
x+ −x < − ,
đánh giá sai số
1) x −2x − =5 0 ; x ∈ 1 ; 4 2) x +3x − =1 0 ; x ∈ − −3; 2
Trang 30 0
3) cos 0 ; 0; 4) 0,8 0, 2 sin 0 ; 0;
5) e x+2−x +2 cosx− =6 0 ; x ∈ 1; 2 6) 2 cos(2 )x x − −(x 2) =0 ; x ∈ 2;3 ; 3; 4
2
0 2
7) 2 2 s inx 0 ; 1; 2 8) 3 0 ; 0;1 ; 3;5
9) 2 0 ; 0;1 10) sin 0 ; 0;1 ; 3; 4 ; 6;7
1 11) ln 0 ; 1;
x
x
2
0
2 12) ( 2) ln 0 ; 1; 2 ; ; 4
13) 2 ln 1 0 ; 0.2;1 14) cos( 2 ) ( 2 ) 0 ; 2; 1
[ ]
2
0 2
1 15) 2 ln 1 0 ; 0,1 ;1 16) ln 0 ; 1; 2
2 17) xln5x 6 0 ; 2;3 18) 5sin(ln( 2)) 1,1 0 ; 1;0
x
x
x
x
0
20) cosx−3ln(x− −2) 1,12=0 ; x ∈ 2,15;3
21) Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình :
x 2
e −2x=0 22) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình :
x 2
e −2x=0 23) Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình : x4+2x3−7x2+ =3 0
24) Tìm nghiệm âm nhỏ nhất của phương trình : x4+2x3−7x2+ =3 0
25) Tìm nghiệm dương của phương trình : 2
1,8x −sin(10x)=0 26) Tìm nghiệm của phương trình : x2−sin xπ =0
27) Tìm nghiệm của phương trình : 2
x −cos xπ =0 28) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : 2x−4x=0
29) Tìm nghiệm của phương trình : 4x−5ln x=5
30) Tìm nghiệm của phương trình : x2−10 ln x=3
Chương 3
Heeeệäää pppphhhhưưưươơơơnnnngggg rrrrììììnnnnhhhh Tuuuuyyyyeeeếááánnnn íííínnnnhhhh
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp qua 3 bước
1, 02 0, 05 0,1 0, 795 1/ 0,11 1, 03 0, 05 0,849 0,11 0,12 1, 04 1, 398
0
với
Bài 2:
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Seidel qua 3 bước:
với
Trang 40
với
Bài 3:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với sai số 10 -5
1/
1, 02x 0, 05y 0,1z 0, 795
0,11x 1, 03y 0, 05z 0,849
0,11x 0,12y 1, 04z 1, 398
6,1x 2, 2y 1, 2z 16, 55
2, 2x 5,5y 1, 5z 10, 55
1, 2x 1,5y 7, 2z 16,80
3/
1, 02x 0, 25y 0, 30z 0,515
0, 41x 1,13y 0,15z 1,555
0, 25x 0,14y 1, 21z 2, 780
4x y z 8
5/
4x y 2z 9
6/
3x y z 1
7/
10x y 9
x 10y 2z 7
2y 10z 6
8/
4x 3y 24 3x 4y z 30
y 4z 24
9/
0, 42x 5, 05y 0,11z 0, 215
12, 5x 1, 02y 0, 05z 0, 743
0,11x 0,12y 2, 09z 1, 395
2,1x 2, 2y 7, 5z 14, 65
5, 2x 0,5y 1,5z 20,15
1, 6x 4, 5y 1, 2z 6,18
Bài 4:
1/ Giải lại các hệ phương trình ở bài 1 bằng phương pháp Seidel với sai số 10 -5 2/ Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel sai số 10 -5
a/
1, 42x 0,5x 0,1x 0, 2x 2, 525
0, 5x 5, 02x 1,15x 0, 3x 0, 741 0,17x 2,12x 13,5x 0, 4x 5,190 0,18x 0,12x 1, 05x 20, 7x 1,824
b/
0, 42x 5, 05x 0,11x 0,1x 0, 215
12, 5x 1, 02x 0, 05x 0,5x 0, 743 0,11x 0,12x 2, 09x 0, 4x 1, 395 0,11x 0,12x 1, 05x 5, 2x 2, 092
c/
8x x 2x x 2x 24
Trang 5
d/
25x x 3x 2x x 75
x 17x x 3x 4x 170
Chương 4
Noooộäääiiii Suuuuyyyy Laaaaggggrrrraaaannnnggggeeee Neeeewwwwttttoooonnnn Bài 1:
Cho các mốc nội suy sau :
x 1,5 1,54 1,56 1,60 1,63 f(x) 3,873 3,924 3,950 4 4,037
a/ Viết đa thức Lagrange với các mốc nội suy trên
b/ Tính giá trị của đa thức tại : x=1,52 ; x=1,58 ; x=1, 615
Bài 2:
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange, tính gần đúng giá trị và tính sai số
1/
x 8,1 8,3 8,6 8,7 f(x) 16,94410 17,56492 18,50515 18,82091 f(0,84) = ?
2/
x -0,75 -0,5 -0,25 0 f(x) -0,071812 -0,024750 0,334938 1,101000
3/
x 0,1 0,2 0,3 0,4 f(x) 0,62049 -0,28398 0,00660 0,24842
4/
x 0,6 0,7 0,8 1,0 f(x) - 0,176944 0,013752 0,223633 0,650892
Bài 3:
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho các hàm sau và tính sai số tuyệt đối trong [x ; x ] 0 n
1/ f (x)=e cos3x2x , x0=0 ; x1=0, 3 ; x2 =0, 6 ; n=2 2/ f (x)=sin(lnx) , x0=2, 0 ; x1=2, 4 ; x2=2, 6 ; n=2 3/ f (x)=ln x , x0=1 ; x1=1,1 ; x2 =1, 3 ; x3=1, 4 ; n=3
4 f (x)=cosx+s inx, x0=0 ; x1=0, 25 ; x2 =0,5 ; x3=1, 0 ; n=3 Bài 4:
Cho các mốc nội suy sau :
x 0 3 4 5 7 f(x) -1 3 2 1 4 1/ Viết đa thức Newton tiến, tính giá trị tại x=2, 5 ; x=3,15
2/ Viết đa thức Newton lùi, tính giá trị tại x=5, 5 ; x=6,82
Bài 5:
Trang 6x 1 2 3 4 5 f(x) 2 -1 1 0 3
1/ Viết đa thức Newton tiến bằng Pp các mốc nội suy cách đều và tính (1,5)f =? 2/ Viết đa thức Newton lùi bằng Pp các mốc nội suy cách đều và tính (4,5)f =? Bài 6:
Xây dựng đa thức nội suy Newton
1/
x 8,1 8,3 8,5 8,7 f(x) 16,94410 17,56492 18,18572 18,82091 a/ tiến, tính gần đúng f(0,82) ?
b/ lùi , tính gần đúng f(0,865) ?
2/
x -0,75 -0,5 -0,25 0 f(x) -0,071812 -0,024750 0,334938 1,101000
a/ tiến, tính gần đúng f(-0,7) ?
b/ lùi, tính gần đúng f(-0,1) ?
3/
x 0,1 0,2 0,3 0,4 f(x) 0,62049 -0,28398 0,00660 0,24842 a/ tiến, tính gần đúng f(0,15) ?
b/ lùi, tính gần đúng f(0,38) ?
4/
x 0,6 0,7 0,8 1,0 f(x) -0,176944 0,013752 0,223633 0,650892 a/ tiến, tính gần đúng f(0,62) ?
b/ lùi, tính gần đúng f(0,96) ?
5/
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 f(x) 1,00000 1,22140 1,49182 1,82212 2,22554 a/ tiến, tính gần đúng f(0,05) ?
b/ lùi, tính gần đúng f(0,75) ?
6/ Cho bảng nội suy
x 0,0 0,1 0,3 0,6 1,0 f(x) -6,00000 -5,89483 -5,65014 -5,17788 -4,28172 a/ Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến cấp 4
b/ Thêm giá trị f(1,1) = - 3,99583, xây dựng đa thức nội suy Newton tiến cấp 5 7/ Cho bảng dữ liệu sau, đổi biến số rồi dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất tìm các hàm số
2
1 / y a bx ; y a bx cx ; y a b cos x csin x;
y ae ; y ax (a 0)
2
2
2
a/
Trang 7x 1 1,5 2 2,4 3
y 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89 b/
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y 0,1960 0,7830 1,7665 3,1405 4,9075 c/
x 1,0 1,1 1,3 1,5 1,9 2,1
y 1,84 1,96 2,21 2,45 2,94 3,18
d
x 0 0,15 0,31 0,5 0,6 0,75
y 1,000 1,004 1,031 1,117 1,223 1,442
Chương 5
Tíííícccchhhh pppphhhhaaaâââânnnn Soooốááá Bài 1:
Tính các tích phân sau bằng cơng thức hình thang với n = 10
1
1
4
0,5
x dx
0,5
0
2 dx
x−4
1,5 2 1
x ln xdx
1
0
x e dx−
∫
5
1,6
2
1
2x
dx
x −4
0,35 2 0
2 dx
x −4
4 3x 0
e sin 2xdx
π
0,1
0
1 xdx+
∫
9
2
2 0
sin xdx
π
1,5 x 1
e dx
10
1
1 dx x
3 0
x dx
∫
13
0
1 dx
x cos x
π
+
1
0
xdx
ln 2+x
0
x dx sin 1 x+
1 1
1 x 0
tgxdx
e +
∫
17
0
sin x dx
ln 2+x
0
e dx sin 1 x+
1.2 x 0
x arcsin xdx
2 +1
0
e dx
1 cos 3x+
∫
Bài 2: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng cơng thức Simpson 1/3 với n = 10
Bài 3: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng cơng thức Simpson 3/8 với n = 9
Bài 4: Sử dụng cơng thức cầu phương cấp 2 và cấp 3 tính các tích phân sau :
1
1,5
2
1
x ln xdx
1
0
x e dx−
0,35 2 0
2 dx
x −4
4 2 0
x sin xdx
π
∫
5
4
3x
0
e sin 2xdx
π
1,6 2 1
2x dx
x −4
4 2 0
cos xdx
π
4 3 0
cos 2xdx
π
∫
Bài 5:
1 Cho tích phân
1
0
sin x
x
=∫
a) Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy (n = ?) đoạn bằng nhau để khi tính I bằng cơng thức hình thang đảm bảo được sai số tuyệt đối nhỏ hơn 3.10-4
b) Với n ấy khi tính theo cơng thức Simpson 1/3 thì sai số là bao nhiêu?
c) Hãy tính I với n đã chọn bằng cơng thức hình thang và cơng thức Simpson 1/3 đến 6 chữ số thập phân
Trang 82 ðể tính gần đúng
2,1
x
x 1
=
−
∫ bằng cơng thức simpson 1/3, cần chia đoạn [2,1;3,1] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt được sai số nhỏ hơn 10-4
3 ðể tính gần đúng
0
+
= +
∫ bằng cơng thức simpson 1/3, cần chia đoạn [0;1] thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để đạt được sai số nhỏ hơn 0,75.10-4
Chương 6
Phhhhưưưươơơơnnnngggg rrrrììììnnnnhhhh vvvviiii pppphhhhaaaâââânnnn
Bài 1:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến Cho ε = 10−4
a y = x −y y = trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25
b y) / = −xy2 ; (0)y =2 trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25
2
y
c y =x − y = trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25
d y = − xy y = trên đoạn [0;1], với bước h = 0,125
2
1
xy
−
+ trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,125
2
f y = + −x x y y = trên đoạn [0;1], với bước h = 0,125
Bài 2:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-kutta
a y) /= x2−y ; (0)y =1 trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25
b y) / = −xy2 ; (0)y =2 trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25
/
2
1
y
x
+ trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25
d y = + xy y = trên đoạn [0;1], với bước h = 0,25
2 /
1 2
x y
xy
−
+ trên đoạn [0;0,5], với bước h = 0,25
- -