Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ***** ĐÀO THỊ HỒNG VÂN ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRONG TOÁN SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****

ĐÀO THỊ HỒNG VÂN

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

TRONG TOÁN SƠ CẤP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học GVC.Th.s Phùng Đức Thắng

HÀ NỘI - 2012

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép tính tích phân là một công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác

Nhờ phép tính tích phân mà có thể giải quyết được nhiều bài toán thực

tế mà toán sơ cấp không thực hiện được Hiện nay, phép tính tích phân được đưa vào chương trình môn toán THPT trong sách giáo khoa giải tích lớp 12

Các tác giả đưa ra những con đường đi đến khái niệm tích phân đơn giản hơn con đường đi đến khái niệm tích phân tổng quát Nội dung và cách trình bày vấn đề này trong các sách giáo khoa giải tích 12 cũng khác nhau Thực tế đó nảy sinh câu hỏi: học sinh có vì thế mà hiểu sai khái niệm tích phân hay không? Giáo viên nên chọn nội dung giảng dạy như thế nào cho phù hợp?

Phép tính tích phân có rất nhiều ứng dụng, chúng ta có thể sử dụng để giải quyết một số dạng toán trong chương trình toán THPT Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này và bước đầu tiếp cận với

việc nghiên cứu khoa học, dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng,

em đã chọn đề tài: “Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về tích phân ở bậc THPT và ứng dụng tích phân vào giải quyết một số dạng toán khác nhau ở phổ thông như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn của tổng dãy, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay

Qua đó cho học sinh thấy được một cách tiếp cận mới đối với các dạng toán thường gặp này và tránh được một số sai lầm khi giải toán tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Xuất phất từ các định nghĩa và các tính chất của tích phân, sách tham khảo, báo Toán học và tuổi trẻ, tổng kết kinh nghiệm của bản thân về những thuận lợi và khó khăn khi giải quyết bài toán

4 Nội dung của khoá luận

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này em muốn nêu khái niệm tích phân và các tính chất

cơ bản của tích phân để sử dụng trong các chương sau:

Chương 2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong đại số

Ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số dạng toán ở THPT như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn của tổng dãy

Chương 3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học

Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích của hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do lần đầu tiên tiếp cận việc nghiên cứu khoa học, do hạn chế về thời gian và kiến thức nên trong nội dung và cách trình bày luận văn của em không tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô và đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Phùng Đức Thắng,

người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khoá luận này Đồng thời em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong

tổ Giải tích, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội làm tốt công việc của mình

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

Tổng S n được gọi là tổng tích phân của hàm số f x( ) trên đoạn [ ; ]a b

5 Thực hiện phép chia đoạn [ ; ]a b thành những đoạn ngày càng nhỏ,

sao cho axm x i dần đến 0 Nếu tồn tại giới hạn

Trong các tính chất sau đây ta luôn sử dụng giả thiết ( ), ( )f x g x liên tục

Chứng minh

Theo định lý Cantor, hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b cho nên

liên tục đều trên đoạn này, nghĩa là với số   cho trước, tồn tại số 0   0sao cho:

Với x1[ ; ],a b x2[ ; ]a b và x1x2  thì  f x 1  f x 2 

Giả sử  là phân hoạch đoạn [ ; ]a b sao cho d  

Vì ( )f x liên tục đều trên  cho nên nó đạt đến cận trên đúng k M và k

cận dưới đúng m trên đoạn đó, tức là k

Định lý 1.2 Giả sử hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên [ ; ] a b và giả sử ( ) F x

là một nguyên hàm của nó Khi đó, nếu tồn tại các số thực x x1, 2[ ; ]a b với x1x2sao cho F x( )1 F x( )2 thì phương trình ( ) f x  có nghiệm trong 0 [ ;x x1 2]

Suy ra F x( )1 F x( )2 , trái giả thiết

+ Nếu f x( )0, x [ ;x x1 2] thì hàm số F  x nghịch biến trên đoạn

1 2

[ ;x x ]

Suy ra F x( )1 F x( )2 , trái giả thiết

Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có F x( )1 F x( )2 , điều này

trái với giả thiết F x( )1 F x( )2

Vậy phương trình ( )f x  có nghiệm trong 0 [ ;x x 1 2]

Nhận xét Cũng có thể phát biểu định lý 1.1 dưới dạng sau:

Định lý 1.2.1 Nếu hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên [ ; ] a b và nếu tồn tại các số thực phân biệt x x1, 2[ ; ]a b sao cho

F  f t dt Vậy x 0 là nghiệm của phương trình ( )F x  0

+ Nếu x  và 0 x[ ; ]a b , thì từ giả thiết ( )f x  , ta suy ra 0 F x đồng ( )biến trên [ ; ]a b và F x( )F(0) , tức phương trình 0 F x  không thể có ( ) 0nghiệm x  trên [ ; ]0 a b

Vậy phương trình ( )F x  có nghiệm duy nhất 0 x  0

Nhận xét : Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có

Định lý 1.3.1 Cho 2 số thực a b trái dấu và ( ), f x là một hàm số liên tục, không dương (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên [ ; ] a b ) trên [ ; ] a b

Nếu 0ab thì do f x( ) nghịch biến trên [0; ]b nên với mọi x thoả

mãn điều kiện 0ax ta đều có ( )b f x  f a( ).Suy ra

mà   , điều này trái với giả thiết rằng ( ) f x là hàm số nghịch biến trong

a b;  Vậy không xảy ra dấu đẳng thức

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ

2.1.Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

- Để chứng minh một đẳng thức ta có thể vận dụng các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân và các phép biến đổi đồng nhất hoặc tương đương của các đẳng thức thông thường

- Dựa vào tính chất: Nếu hai hàm số f x g x liên tục trên [ ; ]( ),   a b và

đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Lựa chọn một đẳng thức đúng f x( )g x  trong đó

x C x



  (1.1)

Vì 2 vế của đẳng thức trên là các hàm khả tích trên Với mỗi t  và t  0lấy tích phân 2 vế của (1.1), ta được

a) Thay t=1 vào (1.2) ta được kết quả câu a)

b) Thay t=-1 vào (1.2) ta được kết quả câu b)

Ví dụ 2 Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi n  *

n

k n

n k

k n k

Vì hàm số sinx liên tục trên [0; ] và biến thiên trên [0;1] khi x biến

thiên trên [0; ]  , còn f x là hàm số liên tục trên [0;1], nên   f sinx như là 

hàm số của biến số x liên tục trên [0; ] Vì vậy, tích phân trong mỗi vế của đẳng thức trên đều hoàn toàn xác định

Đặt x t, ta thấy dxdt , khi x=0 thì t  , khi x thì t  0

0 0

Bài 2 Chứng minh rằng nếu hàm số f x liên tục và tuần hoàn trên tập hợp  

các số thực với chu kỳ T thì  a ta đều có    

Xuất phát từ tính chất cơ bản 6, 7, 8 trong mục 1.2.1, để chứng minh

bất đẳng thức f x g x  (hoặc f x g x ) ta đi tìm một bất đẳng thức đơn

giản dễ chứng minh nhất, trong đó hai vế của bất đẳng thức là các hàm số khả

tích Thông thường ta chọn bất đẳng thức với hai vế là đạo hàm hai vế của bất

đẳng thức cần chứng minh Sau đó tích phân nhiều lần và chọn cận thích hợp

b) Với x 0 lấy tích phân hai vế bất đẳng thức (1.1) ta có

1arccot arccot ln

0 0

arccot arccot

y x

1arccot arccot ln

Dấu đẳng thức xảy ra khi xy

Gọi S 1 là diện tích hình giới hạn các đường y0,x0,ya1,xey và

gọi S 2 là diện tích hình giới hạn các đường y0,xb y lnx Khi đó, ta thấy b a  1 chính là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi các đường

x y xb y a

Vậy nên (trong cả hai trường hợp lnba1 và lnba1)

 1

ea blnb b b a1hay:ea1blnbab

p q

a b ab

2arcsin arcsin

nên f x đơn điệu tăng trên   [0;  ) Ta có f(0) 1 và hàm số ngược của

Dấu đẳng thức xảy ra khi b a2 Kết hợp với điều kiện 1 a b  1 2

ta có a 1,b 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 2 2 khi

a)  

2 2

2 2

2.4.1 Cơ sở lý thuyết

Dựa vào các Định lý 1.2, 1.3, 1.3.1, 1.3.2 và kết hợp các tính chất của tích phân dể chứng minh phương trình có nghiệm và giải phương trình

Chứng minh phương trình f x  có nghiệm trên [a;b] với   0 f x là  

hàm số liên tục trên [a;b] ta thực hiện các bước sau:

Lưu ý với bài toán chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi

tham số thì ta cần lựa chọn [a;b] thích hơp để I=0

Khi giải phương trình f(x)=0 nếu f(x) thoả mãn điều kiện của Định lý

1.3, 1.3.1, 1.3.2 ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất nhờ vào viêc

áp dụng ba định lý đó

Chú ý: Phải dự đoán được nghiệm duy nhất đó để lấy cận tích phân như

trong Định lý 1.3, 1.3.1, 1.3.2 cận dưới của tích phân là nghiệm duy nhất của phương trình

là một hàm số liên tục trên và có một nguyên hàm

Ta có  

1 0

I  f x dx

 

1 2 0

Bài 1 Chứng minh rằng phương trình  

2 3

nghiệm với mọi a i ,i1,n

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình   2

2 x1 lnxxln x4x có ít nhất 2 nghiệm

Bài 4 Chứng minh rằng phương trình 3sin 3x7 cos15x  có nghiệm 0

Chú ý : Phải phỏng đoán được nghiệm duy nhất để lấy cận tích phân

Ta thấy, hàm số  

2 2

21

liên tục và không âm với mọi t , nên theo

Định lý 1.3 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0

bằng cách thực hiện các bước sau :

- Bước 1 : Chỉ ra một hàm số thích hợp f x thích hợp liên tục trên  

a

S f x dx

2.6.2 Một số ví dụ

ln 2

t n

n n n

n S

 2 12

n

n S

ln 2 2

Bài 1 Tính các giới hạn sau:

n n k

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

3.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích miền giữa hai đường cong

3.1.1 Cơ sở lý thuyết

Xét hai đường cong y f x  và yg x  cắt nhau tại hai điểm phân

biệt xa và xb Giả sử trong đoạn a b , đường cong thứ nhất nằm phía ; 

trên đường cong thứ hai Để tìm tích phân đối với diện tích miền nằm giữa hai đường cong chúng ta phải sử dụng các dải mỏng thẳng đứng (hình chữ nhật)

Độ cao của mỗi dải như thế chính là khoảng cách f x g x  từ vị trí trên

đường cong thấp hơn đến đường cong ở phía trên tại điểm x và đáy của chúng là dx

Một điều cần chú ý ở đây là a và b là các giá trị của x làm cho hai hàm

có cùng chung giá trị y, tức là chúng phải có nghiệm của phương trình

   

f x g x và để tìm các giá trị này ta phải giải phương trình trên

Các bước cần tiến hành để tìm diện tích nhờ phép lấy tích phân:

Bước 1: Phác vẽ miền cần tìm diện tích Ghi vào hình vẽ phương trình

của biên các đường cong và tìm giao điểm của các đường cong

Bước 2: Lựa chọn các dải mỏng đứng với bề rộng dx hay dải ngang với

bề rộng dy và vẽ dải đại diện trên hình vẽ

Bước 3: Trên hình phác hoạ ghi diện tích dS của dải đại diện, đó là tích

của bề dài với bề rộng dS được biểu thị qua các biên x , hoặc y theo bề rộng

của dải

Bước 4: Lấy tích phân dS giữa các cận thích hợp x hoặc y, các cận này

dễ tìm thấy trên hình vẽ

Đặc biệt: Trong một số bài toán tính diện tích trực tiếp của hình tròn hay hình

Elip, ta có thể dựa vào tính chất đối xứng của hàm số đó để chia phần ra tính diện tích dễ dàng hơn

Chú ý: Tuy nhiên trong thực hành, nếu miền đang xét là một miền quen

thuộc, thì không nhất thiết phải vẽ các đường cong

Nhận thấy rằng, trong trường hợp này việc sử dụng dải ngang bắt đầu

từ nửa trái parabol đến nửa phải parabol nếu y  Điều đó có nghĩa rằng, 2

đối với dS ta có hai công thức khác nhau tương ứng với các trường hợp

2

y  và y 2

Ví dụ 2 Tính diện tích của miền được giới hạn bởi hai đường cong ycosx

và ysin 2x trên đoạn 0;

Nhận xét rằng, đặc điểm chính trong bài toán này là các đường cong đan chéo nhau Để giải quyết vấn đề này, trước hết ta phải tìm chính xác điểm đan chéo của hai đường cong, tức là giải phương trình cosxsin 2x

Ta có cos 2sin cos ; sin 1;

x x dx x dS

Ví dụ 3 Cho parabol yx2 x 1 và đường thẳng ym1x2 Hãy xác

định m sao cho phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và

Nhận xét rằng, nếu một miền nằm dưới một đường cong y f x  giữa

hai điểm x  và x a  được quay xung quanh trục Ox thì nó sinh ra một b

hình khối được gọi là hình khối tròn xoay Dạng đối xứng của hình này cho ta

phương pháp khi tính thể tích của nó một cách dễ dàng Ta có 3 phương pháp

tính thể tích đó :

Phương pháp 1 (phương pháp đĩa tròn)

Phía trái của miền đã cho cùng với dải đứng đại diện có độ dày dx và

đáy nằm trên trục Ox Khi miền này quay xung quanh trục Ox, dải đại diện

cảm sinh một đĩa mỏng tròn có dạng một đồng xu với bán kính y f x  và độ

dày dx Thể tích của đĩa này sẽ là phần tử thể tích dV Bởi vì đĩa là một hình

trụ, cho nên thể tích của nó bằng diện tích mặt tròn nhân với bề dày của nó

dV y dxf x  dx Bây giờ ta hình dung rằng hình khối tròn xoay được lấp đầy bởi một số

rất lớn các đĩa mỏng như vậy, cho nên thể tích toàn phần bằng tổng tất cả các

phần tử thể tích khi cho đĩa đại diện quét qua hình lập thể từ trái sang phải,

nghĩa là cho x chạy từ a sang b

  22

V dV y dx f x  dx

Phương pháp 2 (phương pháp bao trụ)

Xét một miền ở góc vuông thứ nhất được giới hạn bởi hệ trục toạ độ đồ

thị y f x  Khi miền này được quay quanh xung quanh trục Ox, thì dải

đứng tạo thành một đĩa với thể tích của khối bằng tổng (hoặc lấy tích phân) thể tích các đĩa này từ x  đến x0  b

Tuy nhiên, nếu miền được quay quanh trục Oy thì ta nhận được một hình khối hoàn toàn khác hẳn và dải đứng sẽ sinh ra một bao trụ mỏng Thể tích dV của nó chính bằng diện tích của bề mặt trụ phía bên trong 2 xy nhân với chiều dày của bao trụ  dx , tức là

2

dV  xydx

Do bán kính x của bao này mở rộng từ x 0 đến xb, nên các bao trụ lấp đầy hình khối tròn xoay từ trục ra phía ngoài giống như sự phát triển thành từng lớp các cành của một cây từ trục ra phía ngoài Thể tích toàn phần

của khối này là tổng (hay tích phân) của các phần tử thể tích dV

Ví dụ 1 Một hình cầu có thể xem như là một hình lập thể tròn xoay cảm sinh

bởi một nửa đường tròn có cùng đường kính Nếu phương trình của nửa đường trong là x2y2a y2, 0 thì thể tích của nó bằng bao nhiêu ?

Nhận xét rằng, từ tính đối xứng của hình cầu, ta chỉ cần tìm thể tích toàn

phần của nó bằng việc lấy tích phân dV từ x  đến x0  và sau đó nhân a

với 2

0 0

x   đến x  Lí do của sai lầm này có thể hiểu được (theo hình học) là 1

bao trụ đại diện biến đổi trong hình khối từ trục hướng ra phía ngoài x là bán

kính của bao này phải lớn dần từ 0 dến 1, chứ không phải từ -1 đến 1

Ví dụ 3 Tìm thể tích hình xuyến sinh ra bởi đường tròn