Lý do chọn đề tài Bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó trong ch-ơng trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học khô
Trang 1đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
“ Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng ”
sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Hoàng Văn T-ơi
- Ngày sinh: 23 / 07 / 1980
- Năm vào ngành: 2001
- Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mỹ Đức
- Trình độ chuyên môn: Cử nhân s- phạm Toán học
- Hệ đào tạo: Từ xa
- Bộ môn giảng dạy: Môn Toán THPT
Hà nội – năm 2009
Trang 2A Lý do chọn đề tài
Bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó trong ch-ơng trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đ-ờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ t- duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn ng-ời học
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần ph-ơng pháp toạ độ không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối t-ợng học sinh ở mức trung bình yếu, mức độ t- duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này, để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi
đ-a ra ph-ơng pháp phân lại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách
đơn giản dễ nhớ và từng b-ớc giúp học sinh hình thành lối t- duy giải quyết vấn đề
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh b-ớc tiếp vào t-ơng lai
B Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đ-ợc thực hiện trong phạm vi 3 lớp 12B1, 12B2, 12B3 trung tâm GDTX Mỹ Đức
C Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song ch-ơng ph-ơng pháp toạ
độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2008 -2009
d quá trình thực hiện đề tài
* Tr-ớc khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () đi qua điểm M( 1;2;3 ) và có pháp tuyến là n = ( 2;-4;1)
b/ () đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d
1 3
2 2
c/ () đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
d/ () đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
Trang 3*/Số liệu cụ thể tr-ớc khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12B1 ( sĩ số 50)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Kết quả của lớp 12B2 ( sĩ số 54)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Kết quả của lớp 12B3 ( sĩ số 54)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải
Nh- vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú
Nội dung thực hiện đề tài:
Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là pháp tuyến của ( )
* n là pháp tuyến của () thì k n cũng là pháp tuyến của ( )
2 Ph-ơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Ph-ơng trình tổng quát của ( ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C2 0)
* Nếu () có ph-ơng trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của ( ) là
n( A;B;C)
* Nếu () đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n(A;B;C) làm pháp tuyến thì ph-ơng trình của ( ) là : A(x- x ) + B(y-y ) + C(z-z ) = 0
Trang 4* Nếu () chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác ph-ơng a=(a1;a2;a3)
b(b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( ) là
n = [a, b] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* Nếu () cắt các trục Ox, Oy , Oz lần l-ợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì
() có ph-ơng trình là : 1
c
z b
y a
x
; (a.b.c 0 ) ( ph-ơng trình trên gọi là ph-ơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
* (P) (Q) thì nP nQ = 0 ( nP, nQ lần l-ợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* (P) // (Q) thì nP = k nQ ( nP, nQ lần l-ợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* Nếu (): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0;y0;z0) thì khoảng cách từ M
đến () là d (M, ()) =
2 2 2
0 0
|
C B A
D Cz By Ax
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
- véc tơ AB= (xB-xA; yB-yA ; zB-zA)
- Toạ độ trung điểm I của AB là I= )
2
; 2
; 2 (x Ax B y A y B z A z B
Quy -ớc: Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
Chỉ ph-ơng của đ-ờng thẳng ký hiệu là a
Phần 2: Nêu ph-ơng pháp chung để Lời giải toán:
Trong bài toán Viết ph-ơng trình mặt phẳng () thì ph-ơng pháp chung nhất là
đi xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( gọi chung là pháp tuyến) và toạ
độ một điểm mà mặt phẳng đi qua sau đó dựa vào công thức nhận xét của định nghĩa( trang 72 sgk hh12) để viết ph-ơng trình mặt phẳng
Phần III: các dạng bài tập th-ờng gặp
Dạng 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) khi biết pháp tuyến n (A;B;C) và toạ độ điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc mặt phẳng
H-ớng dẫn:
Ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là: A(x- x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0
Ax + By + Cz -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = 0
Trang 5Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () đi qua điểm M (1;2;3) và có pháp tuyến là n(3;2;4)
b/ ( ) đi qua gốc toạ độ và có pháp tuyến là n(3;-2;0)
Lời giải
a/ Ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0
3x + 2y +4z -19 = 0 b/ Ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) = 0
3x -2y = 0
Dạng 2 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A,B,C cho tr-ớc không thẳng hàng
H-ớng dẫn:
n = [ AB AC ] là pháp tuyến của mặt phẳng ( ) Lấy A () ph-ơng trình ( )
Ví dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
b/ ( ) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3)
Lời giải
a/ Ta có AB=(2 ;1 ;-2)
AC=(-12 ;6 ;0)
n = [AB.AC] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy n =(1 ;2 ;2) là pháp tuyến
A(2;-1;3) () Ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là:
1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0
x+ 2y + 2z - 6 = 0 b/ áp dụng công thức ph-ơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có ph-ơng trình
mặt phẳng ( ) là: 1
3 2
y z
x 6x- 3y - 2z - 6 = 0 ( cách giải khác giống nh- câu a)
Trang 6Dạng 3: Mặt phẳng ( ) đi qua một điểm và vài yếu tố khác
Ph-ơng pháp : Tìm toạ độ véc tơ pháp tuyến ph-ơng trình
Loại 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với
đ-ờng thẳng d
H-ớng dẫn: n = a d bài toán trở về dạng 1
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với d
t z
t y
t x
2 3
2
( t là tham số )
b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d
1 3
2 2
c/ () đi qua điểm P(0;1;2) và vuông góc với trục Ox
Lời giải
a/ Do ( ) vuông góc với d n =ad = (2;1;-1)
M(1;2;3) ( ) ph-ơng trình của ( ) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) = 0
2x + y -z -1 = 0 b/ Do ( ) vuông góc với d n = ad = (-2;3;1)
N(2;-1;3) () ph-ơng trình của ( ) là : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) = 0
-2x +3y +z +4 = 0 c/ do () vuông góc với Ox n = i = (1;0;0)
P(0;1;2) () ph-ơng trình của ( ) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0
x = 0
Loại 2 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng () đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P)
H-ớng dẫn : n = n P bài toán trở về dạng 1
Ví Dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
b/ ( ) đi qua N(2;0;-3) và // (Oxy)
Lời giải
Trang 7a/ do () // (P) n =nP = (1;2;-3)
M(2;-1;3) ( ) ph-ơng trình của () là:
1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0
x +2y -3z + 9 = 0 b/ do () // (Oxy) n = k =( 0;0;1)
N(2;0;-3) () ph-ơng trình của ( ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0
z + 3 = 0
Loại 3: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với
đ-ờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)
H-ớng dẫn: n = [ a d n P ] đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng () đi qua điểm M(2;3;-1) song song với
d
t
z
t
y
t
x
3
2
3
1
( t là tham số ) và vuông góc với (P): x + y - z + 1 = 0
Lời giải
Ta có : ad = (-3 ;2 ;-1)
nP = (1 ;1 ;-1)
Do ( ) //d và vuông góc với (P) n = [ad nP] = (-1 ;-4 ;-5)
M(2;3;-1) ( ) ph-ơng trình của () là: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) = 0
x +4y + 5z - 9 = 0
Loại 4: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q)
H-ớng dẫn: n = [ n P n Q ] bài toán đ-a về dạng 1
Ví Dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0, (Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0 Lời giải
Ta có: nP = (3;-2;2)
nQ= (5;-4;3)
Do ( ) vuông góc với (P) và (Q) n = [nP nQ] = (2;1;-2)
Trang 8M(3;-1;-5) ( ) ph-ơng trình của () là:
2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0
2x + y - 2z -15 = 0
Loại 5 Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đia qua điểm M và song song với d
và d’
H-ớng dẫn : n = [ a d a d’ ] đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng
d
t z
t y
t x
4
3
2 1
; ( t là tham số ) và d’:
1
3 2
1 1
2
x
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với
d và d’
Lời giải
Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do ( ) // d và d’ n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và M(1;2;3) () ph-ơng trình của ( ) là :
1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) = 0
x + 3y + 7z - 28 = 0
Loại 6 Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa d ( d không
đi qua M )
H-ớng dẫn: - Lấy N d
- n = [ a d , MN ] đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng () đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đ-ờng
thẳng d :
1
3 2
1 1
2
x
Lời giải:
Ta có: N(2;-1;3) d
MN = (1;3;0)
a d = (1;2;-1) do () chứa M và d n = [ a d , MN ] =(-3;1;-1)
Trang 9 ph-¬ng tr×nh cña () lµ : -3(x-1) + 1(y-2) - 1(z - 3) = 0
-3x + y - z + 4 = 0
D¹ng 4 : ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng () ®i qua hai ®iÓm vµ c¸c yÕu tè kh¸c.
Lo¹i 1 : ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua M,N vµ song song víi
®-êng th¼ng d
H-íng dÉn: n = [ MN a d ]
Chän M () ®-a bµi to¸n vÒ d¹ng 1
VÝ dô :ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua M(2;1;3), N(1,-2,1) vµ song song
víi d
t z
t y
t x
2 3 2
1
( t lµ tham sè )
Lêi gi¶i
Ta cã: MN = (-1;-3;-2)
ad = (1;2;-2)
Do ( ) ®i qua M,N vµ song song víi d n = [MN ad]= (10;-4;1)
M(2;1;3) ( ) ph-¬ng tr×nh cña ( ) lµ: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) = 0
10x - 4y +z -19 = 0
Lo¹i 2: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua M,N vµ vu«ng gãc víi (P)
(MN kh«ng vu«ng gãc víi (P))
H-íng dÉn: n = [ MN n P ]
Chän M () ®-a bµi to¸n vÒ d¹ng 1
VÝ dô: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua M(0;1;2), N(2;0;1) vµ vu«ng gãc víi (P): 2x + 3y - z + 1 = 0
Lêi gi¶i
Ta cã: MN = (2;-1;-1)
nP= (2;3;-1)
Do ( ) ®i qua M,N vµ vu«ng gãc víi (P) n = [MN nP] = (4;0;8)
M(0;1;2) ( ) ph-¬ng tr×nh cña ( ) lµ: 4(x-0) + 0 (y-1) + 8(z-2) = 0
4x + 8z - 16 = 0
Trang 10Dạng 5: Mặt phẳng chứa 1 đ-ờng thẳng và một yếu tố khác
Loại 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng () chứa d và song song với d’
H-ớng dẫn: n = [ a d a d’ ]
Lấy M d M ( ) đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng
d
t z
t y
t x
4
3
2 1
; ( t là tham số ) và d’:
1
3 2
1 1
2
x
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau :
a/ () chứa d và // d’
b/ () chứa d và // d
Lời giải
a/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do () chứa d và // d’ n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và M(1;0;4) d M () ph-ơng trình của ( ) là :
1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) = 0
x + 3y + 7z - 29 = 0 b/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)
ad’= (1 ;2 ;-1)
Do () chứa d’ và // d n = [ad ad’] = (1;3;7)
Và N(2;-1;3) d’ N () ph-ơng trình của ( ) là :
1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) = 0 x + 3y + 7z - 20 = 0
Loại 2: Viết ph-ơng trình mặt phẳng () chứa d và vuông góc với (P) ( d không
vuông góc với (P))
H-ớng dẫn: n = [ a d n P ]
Lấy M d M ( ) đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ () chứa d:
1
1 3
1 2
1
x
và vuông góc với (P): -x + y + 2z - 1 = 0
Trang 11b/ () chứa d
t z
t y
t x
2 2 1
3
và vuông góc với (Oyz)
c/ () chứa trục Oy và vuông góc với (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0
Lời giải
a/ Ta có ad= ( 2 ;3 ;1)
nP = (-1 ;1 ;2)
Do () chứa d và vuông góc với (P) n = [ad nP] = (5; -5;5)
M(-1;1;-1) d M ( ) ph-ơng trình của () là :
5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0
x - y + z + 3 = 0
b/ Ta có ad= ( 3 ;1 ;-2)
i = (1 ; 0 ; 0) là pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz)
Do () chứa d và vuông góc với (Oyz) n = [ad i] = (0 ; -2 ; -1)
M(0 ;-1 ;2) d M () ph-ơng trình của ( ) là :
0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) = 0
-2y - z = 0
c/ Ta có j= (0 ;1 ;0 ) là chỉ ph-ơng của đ-ờng thẳng chứa trục Oy
nP= (2 ;3 ;-4)
Do () chứa trục Oy và vuông góc với (P) n = [ j nP] = (-4 ;0 ;-2)
O(0 ;0 ;0) Oy O () ph-ơng trình của ( ) là : -4x - 2z =0
2x + z = 0
Dạng 6 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thắng MN
H-ớng dẫn : n = MN
() đi qua trung điểm I của MN
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là trung trực của MN biết M(1;3;2), N(-1;1;0)
Lời giải
() là trung trực của MN ( ) MN I ( I là trung điểm của MN)
Ta có toạ độ của I=(0;2;1) ( )
n = MN = (-2 ;-2 ;-2) là pháp tuyến của ( )
Trang 12 ph-¬ng tr×nh cña () lµ: -2 (x-0) - 2(y-2) -2(z-1) = 0
x + y + z - 3 = 0
D¹ng 7 : ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) song song víi (P) vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(I ;R)
H-íng dÉn : - () // (P) d¹ng tæng qu¸t cña ( ) ( Ch-a biÕt D)
- () tiÕp xóc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? ph-¬ng tr×nh ( )
VÝ Dô: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) //(P):x - 2y + 2z +1 =0 vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) cã ph-¬ng tr×nh: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = 4
Lêi gi¶i
MÆt cÇu (S) cã t©m I(-2;1;2) , b¸n kÝnh R = 2
Do () // (P) ph-¬ng tr×nh cña ( ) cã d¹ng: x - 2y +2z + D = 0
Do () tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) d(I,( )) = R
2 2 2
2 ) 2 ( 1
4 2 2
= 2 |D|=6 D = 6 hoÆc D = -6
VËy t×m ®-îc hai mÆt ph¼ng () lµ : x - 2y + 2z + 6 = 0
Vµ x - 2y + 2z - 6 = 0
D¹ng 8 : ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng d vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(I ;R)
H-íng dÉn : + n = a d d¹ng tæng qu¸t cña ( ) ( Ch-a biÕt D)
+ () tiÕp xóc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? ph-¬ng tr×nh ( )
VÝ Dô: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) tiÕp xóc víi mÆt cÇu
(S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 vµ vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng
d:
2 2
2 1
1
x
Lêi gi¶i
Ta cã (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0
(x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 = 9
t©m I(1 ;-1 ;-2), b¸n kÝnh R = 3
Do () vu«ng gãc víi d n = ad = (1;2;-2)
ph-¬ng tr×nh cña ( ) cã d¹ng: x + 2y - 2z +D = 0
Do () tiÕp xóc víi mÆt cÇu S d(I,( )) = R
Trang 13
2 2
2
) 2 ( 2
1
4
2
3 | D +3 | = 9 D = 6 hoặc D = -12 Vậy tìm đ-ợc hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0
Dạng 9 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với d, vuông góc (P) và
tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R) (d không vuông góc với (P))
H-ớng dẫn : + n = [ a d n P ] dạng tổng quát của () ( Ch-a biết D)
+ () tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? ph-ơng trình ( )
Ví Dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng () song song với d:
1 3
1 1
2
x
, vuông góc với (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = 9 Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 0), bán kính R = 3
nP = (2 ; 1 ; 1 )
ad = (1 ; 3 ; -1)
Do () //d và vuông góc (P) n = [ad nP] = (- 4 ; 3 ; 5 )
ph-ơng trình của ( ) có dạng: - 4x + 3y + 5z + D = 0
Do () tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R
2 2 2
5 3 ) 4 (
3 8
= 3
| D - 11 | = 15 2 D = 11 + 15 2 hày D = 11 - 15 2
Vậy tìm đ-ợc hai mặt phẳng () là : - 4x + 3y + 5z +11 + 15 2 = 0
Và - 4x + 3y + 5z + 11 - 15 2 = 0
Dạng 10 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với hai đ-ờng thẳng d và d’ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R)
H-ớng dẫn : + n = [ a d a d’ ] dạng tổng quát của ( ) ( Ch-a biết D)
+ () tiếp xúc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? ph-ơng trình ( )
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S)
x2+ y2+z2 - 2x + 2y + 4z -3 = 0 và hai đ-ờng thẳng d:
0 2
0 2 2
z x
y x
và