1 ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Đ vi t pt măt ph ng em có 2 cách c b n : ể ế ẳ ơ ả
<1> Xác đ nh 1 đi m và 1 VTPT ị ể
<2> Ho c g i ptmp d ng Ax+By+Cz+D=0 r i d a vào gi thi t tìm A,B,C,D. ặ ọ ạ ồ ự ả ế
V y khi nào s d ng cách 1 , khi nào s d ng cách 2 thì em phân bi t các d ng đ bài sau: ậ ử ụ ử ụ ệ ạ ề
D ng 1: Vi t PT mp đi qua A(x ạ ế 0; y0 ;z0) và có VTPT n r=(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0
D ng 2:Vi t pt m t ph ng đi qua A(x ạ ế ặ ẳ 0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- T ptmp(Q) ừ VTPT n v
Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) VTPT n v
P = n v
Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n v
P
D ng 3: Vi t pt mp đi qua A(x ạ ế 0; y0 ;z0) và vuông góc v i đ ớ ườ ng th ng d ẳ
- T (d) ừ VTCP u rd = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc v i (d) ớ Ch n VTPT ọ n rP=u rd =(A;B;C)
Vi t ptmp (P) đi qua A và có vtpt ế n rP
D ng 4: Vi t ptmp đi qua A và ạ ế ⊥(Q) , ⊥(R)
- T pt mp (Q) và (R) ừ VTPT n rQ ; VTPT n rR
- Vì (P) ⊥(Q) và ⊥(R) VTPT n rP ⊥ n rQvà n rP ⊥ n rR
Ch n ọ n rP = [n rQ; n rR]
- V y pt mp (P) đi qua A và có VTPT ậ n rP = [n rQ; n rR]
D ng 5: Vi t Pt mp (P) đi qua 3 đi m A,B,C không th ng hàng ạ ế ể ẳ
- Tính uuur AB, uuur AC và a r= [uuur AB, uuur AC]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n rP= a r= [uuur AB, uuur AC]
D ng 6: Vi t ptmp (P) đi qua A,B và ạ ế ⊥(Q)
- Tính uuur AB , vtpt n rQ và tính [uuur AB,n rQ]
- Vì A, B (P) ; (Q) ⊥(P) nên ch n ọ n rP=[uuur AB,n rQ]
- Vi t ptmp (P)ế
Trang 2D ng 7: Vi t ptmp (P) đi qua A ; ạ ế ⊥(Q) và // v i dt (d) ớ
- Tính VTPT n rQ c a mp (Q); VTCP ủ u rd c a đủ ường th ng (d).ẳ
- Tính [u rd,n rQ]
- Vì (P) ⊥(Q) và // (d) nên VTPT n rP = [u rd,n rQ]
- T đó vi t đừ ế ược PT mp (p)
D ng 8: Vi t ptmp (P) là trung tr c c a AB ạ ế ự ủ
- Tình trung đi m I c a ABvà ể ủ uuur AB
- Mp (P) đi qua I và nh n ậ uuur AB làm VTPT
D ng 9: Vi t pt mp(P) ch a (d) và đi qua A ạ ế ứ
- Tính VTCP u rd c a đủ ường th ng (d) và tìm đi m Mẳ ể (d)
- Tính uuuur AM và [u rd, uuuur AM ]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n rP =[u rd, uuuur AM ]
D ng 10: Vi t pt mp (P) ch a (d) và // ( ạ ế ứ ∆)
- T (d) ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- T (ừ ∆) VTCP u r∆ và tính [u rd, u r ∆]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r= [u rd, u r ∆]
D ng 11: Vi t Pt mp(P) ch a (d) và ạ ế ứ ⊥(Q)
- T (d)ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- T (Q) ừ VTPT n rQ và tính [u rd, n rQ]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r=[u rd, n rQ]
D ng 12:Vi t PT mp (P) // v i (Q) và d(A;(P))=h ạ ế ớ
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có d ng Ax + By +Cz + D=0 ạ
( theo pt c a mp (Q) , trong đó D ủ DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) c n tìm.ầ
D ng 13: Vi t PT mp(P) ch a (d) và d(A,(P))=h ạ ế ứ
- G i VTPT c a mp (P) là ọ ủ n rP = (A,B,C) v i đk là Aớ 2 + B2 + C2 >0
- T (d) ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- Vì (d) n m trong (P) ằ u rd. n rP=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
Trang 3- Gi i (1);(2) ta tìm đả ược A,B theo C t đó ch n A,B,C đúng t l , ta vi t đừ ọ ỉ ệ ế ược PT mp(P).
D ng 14:Vi t Pt mp(P) ch a (d) và h p v i mp (Q) m t góc ạ ế ứ ợ ớ ộ α 90 0
- G i VTPT c a mp (P) là ọ ủ n rP = (A,B,C) v i đk là Aớ 2 + B2 + C2 >0
- T (d) ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- Vì d (P) u rd. n rP=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- T (1) và (2) ta tìm đừ ược A,B theo C t đó ch n A,B,C đúng t l , ta vi t đừ ọ ỉ ệ ế ược PT mp(P)
D ng 15:Vi t Pt mp (P) ch a (d) và h p v i đt( ạ ế ứ ợ ớ ∆)m t góc ộ α 90 0
- G i VTPT c a mp (P) là ọ ủ n rP = (A;B;C) v i đk là Aớ 2 + B2 + C2 >0
- T (d) ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- Vì d (P) u rd. n rP=0 (1)
- Tính sin ((P),( ∆)) (2)
- H (1) và (2) tìm đệ ược A,B theo C t đó ch n A,B,C đúng t l , ta vi t đừ ọ ỉ ệ ế ược PT mp(P)
D ng 16: Cho A và (d) , vi t PT mp (P) ch a (d) sao cho d(A,(P)) là l n nh t ạ ế ứ ớ ấ
- G i H là hình chi u ọ ế ⊥ c a A lên (d) ủ
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH
(tính ch t đấ ường vuông góc và đường xiên)
- Vi t PT mp (P) đi qua H và nh n AH làm VTPTế ậ
D ng 17: Vi t Pt mp (P) // v i (Q) và ti p xúc v i m t c u (S) ạ ế ớ ế ớ ặ ầ
- Xác đ nh tâm I, bán kính R c a m t c u (S)ị ủ ặ ầ
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d ng Ax + By + Cz + D'=0 ạ
(theo pt c a mp (Q) , trong đó D' ủ DQ)
- Mà (P) ti p xúc v i (S) nên d(I,(P))= Rế ớ tìm được D'
- T đó ta có Pt (P) c n tìm ừ ầ
D ng 18: Vi t PT mp(P) // (Q) và c t m t c u (S) theo giao tuy n là đ ạ ế ắ ặ ầ ế ườ ng tròn(C) có bán kính r ( ho c di n tích, chu vi cho tr ặ ệ ướ c).
- Xác đ nh tâm I, bán kính R c a m t c u (S)ị ủ ặ ầ
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 rπ và di n tích S = ệ π r2 tính r
- d(I,(P)) = R2 − r2 (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có d ng Ax + By + Cz + D'=0 ạ
(theo pt c a mp (Q) , trong đó D' ủ DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Gi i h (1), (2) tìm đả ệ ược D' vi t đế ược pt (P)
Trang 4D ng 19: Vi t PT mp(P) ch a (d) và ti p xỳc v i m t c u (S) ạ ế ứ ế ớ ặ ầ
- Xỏc đ nh tõm I, bỏn kớnh R c a m t c u (S)ị ủ ặ ầ
- G i VTPT c a mp (P) là ọ ủ n rP = (A;B;C) v i đk là Aớ 2 + B2 + C2 >0
- T (d) ừ VTCP u rd và đi m M ể (d)
- d (P) u rd. n rP=0 (1)
- Mà (P) ti p xỳc v i (S) nờn d(A,(P))= R (2)ế ớ
- Gi i h (1) và (2) tỡm đả ệ ược A,B theo C PT mp(P)
D ng 20: Vi t Pt mp (P) ch a (d) và c t m t c u (S) theo giao tuy n là đ ạ ế ứ ắ ặ ầ ế ườ ng trũn (C) cú bỏn kớnh r ( ho c di n tớch , chu vi cho tr ặ ệ ướ c)
- Xỏc đ nh tõm I, bỏn kớnh R c a m t c u (S)ị ủ ặ ầ
- Adct : Chu vi đường trũn C = 2 rπ và di n tớch S = ệ π r2 tớnh r
- Vỡ d (P) u rd. n rP=0 (1)
- G i VTPT c a mp (P) là ọ ủ n rP = (A,B,C) v i đk là Aớ 2 + B2 + C2 >0,
ch n M trờn đọ ường th ng d.ẳ
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vỡ (P) c t (S) theo đắ ường trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2)
- Gi i h (1) và (2) tỡm đả ệ ược A,B theo C PT mp(P)
D ng 21: Vi t PT mp (P) ch a (d) và c t m t c u (S) theo giao tuy n là đ ạ ế ứ ắ ặ ầ ế ườ ng trũn (C) cú bỏn kớnh nh nh t (ỏp d ng tr ỏ ấ ụ ườ ng h p d c t (S) t i 2 đi m) ợ ắ ạ ể
- Xỏc đ nh tõm I, bỏn kớnh R c a m t c u (S)ị ủ ặ ầ
- Bỏn kớnh r = R2 − d I p2( ,( )) đ r min ể d(I,(P)) max
- G i H là hỡnh chi u ọ ế ⊥ c a I lờn (d) ; K là hỡnh chi u ủ ế ⊥ c a I lờn (P)ủ
- Ta cú: d(I,(P))= IK Ih ( tớnh ch t đấ ường vuụng gúc và đường xiờn)
- PT mp(P) đi qua H và nh n ậ IHuuur làm VTPT
2 phơng trình đờng thẳng
Cú 2 lo i ph ạ ươ ng trỡnh đ ườ ng th ng : ẳ PT ThamSố và PT ChớnhT c ắ
D ng 1: Vi t ptđt (d) qua M(x ạ ế 0; y0 ;z0) và cú VTCP u r=(a,b,c)
PP: ph ươ ng trỡnh tham s ố c a đủ ường th ng ẳ d là:
(d):
0 0 0
= +
v i t ớ R
* Chỳ ý : N u c a, b, c ế ả 0 thỡ (d) cú PT chớnh t c ắ x x0 y y0 z z0
Trang 5* Chú ý: Đây là bài toán c b n V nguyên t c mu n vi t PT dt(d) thì c n ơ ả ề ắ ố ế ầ ph i bi t ả ế 2 y u t ế ố đó
là t a đ m t đi m ọ ộ ộ ể thu c d và ộ to đ VTCP ạ ộ c a d ủ
D ng 2: Vi t pt dt(d) đi qua 2 đi m A,B ạ ế ể
- Tính uuur AB
- Vi t PT đế ường thăng đi qua A, và nh n ậ uuur AB làm VTCP
D ng 3: Vi t PT dt (d) đi qua A và //v i đ ạ ế ớ ườ ng th ng ( ẳ ∆)
- T pt(ừ ∆) VTCP u r ∆
- Vi t Pt dt(d) đi qua A và nh n ế ậ u r ∆ làm VTCP
D ng 4: Vi t PT dt(d) đi qua A và ạ ế ⊥(P)
- Tìm VTPT c a mp(P) là ủ n rP
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u rd = n rP
D ng 5: Vi t Pt dt(d) đi qua A và vuông góc v i c 2 dt (d ạ ế ớ ả 1),(d2)
- T (dừ 1),(d2) VTCPd d l1, 2 à u à u uur1v uur2=> tính [u uur1,u uur2]
- Vì (d) ⊥(d1),(d2) nên có VTCP u rd= [u uur1,u uur2]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u rd= [u uur1,u uur2]
D ng 6: Vi t PT c a dt (d) là giao tuy n c a 2 mp ạ ế ủ ế ủ
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- T (P) và (Q) ừ n rP ,n rQ
- Tính [n rP ,n rQ]
Ax + By + Cz +D =0
A x B y C z D + + + = 0.
Ch n m t nghi m (xọ ộ ệ 0; y0 ;z0) t đó ừ M d
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u rd =[n rP ,n rQ]
D ng 7: Vi t PT hình chi u c a d lên mp(P) ạ ế ế ủ
Cách 1: - Vi t ptmp(Q) ch a d và vuông góc v i mp(P)ế ứ ớ
- Hình chi u c n tìm dế ầ ' = (P)I(Q)
Cách 2: + Tìm A = d I ( ) P ( ch áp d ng v i gi thi t d c t (P) ) ỉ ụ ớ ả ế ắ
+ L y Mấ d và xác đ nh hình chi u H c a M lên (P)ị ế ủ
+ Vi t phế ương trình d' đi qua M, H
D ng 8: Vi t pt đ ạ ế ườ ng th ng d đi qua đi m A và c t 2 đ ẳ ể ắ ườ ng th ng d ẳ 1, d2:
Cách 1 : * Vi t pt m t ph ng (ế ặ ẳ α) đi qua đi m A và ch a để ứ ường th ng dẳ 1
Trang 6* Tìm B = ( ) d α I 2
* Đường th ng c n tìm đi qua A, Bẳ ầ
Cách 2 : - Vi t pt m t ph ng (ế ặ ẳ α ) đi qua đi m A và ch a để ứ ường th ng dẳ 1
- Vi t pt m t ph ng (ế ặ ẳ β) đi qua đi m B và ch a để ứ ường th ng dẳ 2
- Đường th ng c n tìm d = ẳ ầ α β I
D ng 9: Vi t pt đ ạ ế ườ ng th ng d song song d ẳ 1 và c t c d ắ ả 2 , d3
- Vi t phế ương trình mp (P) song song d1 và ch a dứ 2
- Vi t phế ương trình mp (Q) song song d1 và ch a dứ 3
- Đường th ng c n tìm d = ẳ ầ ( ) ( ) P I Q
D ng 10 : Vi t ptđt d đi qua A và vuông góc đ ạ ế ườ ng th ng d ẳ 1 và c t d ắ 2
Cách 1 : - Vi t pt mpế ( ) α qua A và vuông góc d1
- Tìm giao đi m B = ể ( ) d α I 2
- Đường th ng c n tìm đi qua A, Bẳ ầ
Cách 2 : * Vi t pt mpế ( ) α qua A và vuông góc d1
* Vi t pt mpế ( ) β qua A và ch a dứ 1
* Đường th ng c n tìm d = ẳ ầ α β I
D ng 11 : Vi t ptđt d đi qua A, song song mp ạ ế ( ) α , c t đ ắ ườ ng th ng d' ẳ
Cách 1 : - Vi t ptmp(P) đi qua A và song song v i ế ớ ( ) α
- Vi t ptmp(Q) đi qua A và ch a d'ế ứ
- Đường th ng c n tìm d = ẳ ầ ( ) ( ) P I Q
Cách 2 : * Vi t ptmp(P) đi qua A và song song v i ế ớ ( ) α
* Tìm B = ( ) P I d '
* Đường th ng c n tìm đi qua 2 đi m A,Bẳ ầ ể
D ng 12 : Vi t ptđt d n m trong mp(P) và c t 2 đ ạ ế ằ ắ ườ ng th ng d ẳ 1, d2 cho tr ướ c.
- Tìm giao đi m A=dể 1I ( ) P và B=d2I ( ) P
- Đường th ng d đi qua 2 đi m A, Bẳ ể
D ng 13 : Vi t ptđt d n m trong mp(P) và vuông góc v i đ ạ ế ằ ớ ườ ng th ng d' t i giao đi m I c a ẳ ạ ể ủ (P) và d'.
* Tìm giao đi m I' = d'ể I ( ) P
* Tìm VTCP u rc a d' và VTPT ủ n r c a (P) và tính ủ v r = [u,n] r r
* Vi t ptđt d qua I và có VTCP ế v r
D ng 14 : Vi t ptđt vuông góc chung d c a 2 d ạ ế ủ ườ ng th ng chéo nhau d ẳ 1, d2 :
Trang 7- G i ọ M x ( 0 + at y , 0+ bt z , 0 + ct ) d1,
và N x ( 0' + a t y ' ', 0' + b t z ' ', 0' + c t ' ') d2
là các chân đường vuông góc chung c a dủ 1, d2
, '
t t
uuuur r
- Thay t, t' tìm M, N Vi t ptđt đi qua M,N.ế
( V i cách 2 em tính thêm đ ớ ượ c kho ng cách MN, cũng chính là đ dài đ ả ộ ườ ng vuông góc)
D ng 15 : Vi t pt đ ạ ế ườ ng th ng d vuông góc v i mp(P) và c t 2 đ ẳ ớ ắ ườ ng th ng d ẳ 1,d2
* Vi t ptmp(Q) ch a dế ứ 1 và vuông góc v i mp(P)ớ
* Vi t ptmp(R) ch a dế ứ 2 và vuông góc v i mp(P)ớ
* Đường th ng d = ẳ ( ) ( ) Q I R
D ng 16 : Vi t ptđt d đi qua đi m A , c t và vuông góc v i đ ạ ế ể ắ ớ ườ ng th ng d ẳ 1
- Vi t pt mpế ( ) α qua A và vuông góc d1
- Tìm giao đi m B = ể ( ) d α I 1
- Đường th ng c n tìm đi qua A, Bẳ ầ
D ng 17 : Vi t ptđt d đi qua A ,vuông góc v i d ạ ế ớ 1,t o v i d ạ ớ 2 góc α (0 ;90 )0 0 (= 30 0 , 45 0 , 60 0 )
* G i VTCP c a d là ọ ủ u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2+ b2+ c2 > 0
* Vì d ⊥d1�u ur r 1 =0=>phương trình (1)
Vì 2
2
u u cos
u u
α =
r r
r r => phương trình (2)
Th (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.ế
( chú ý : n u thay gi thi t là d t o v i mp(P) góc ế ả ế ạ ớ α (0 ;90 )0 0 thì có .
P
P
u u sin
u u
α =
r r
D ng 18 : Vi t ptđt d di qua A , song song v i mp(P) , t o v i d ạ ế ớ ạ ớ 1 góc α (0 ;90 )0 0 .
- G i VTCP c a d là ọ ủ u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2+ b2+ c2 > 0
- Vì d//(P) nên u n r r p = 0=> phương trình (1)
1
( , )
u u
r r
- Gi i h phả ệ ương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> ch n a,b,c.ọ
=>vi t ptđt d đi qua A, có vtcp ế u r = ( ; ; ) a b c
D ng 19 : Vi t ptđt d di qua A , n m trong mp(P) , t o v i d ạ ế ằ ạ ớ 1 góc α (0 ;90 )0 0 .
- G i VTCP c a d là ọ ủ u r = ( ; ; ), a b c dk a : 2+ b2+ c2 > 0
- Vì d (P) nên u n r r p = 0=> phương trình (1)