NW359 360 DẠNG 37 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH mặt cầu có tâm và đi QUA điểm CHO TRƯỚC GV

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu : theo giao tuyến là một đường tròn lớn có tâm chính là O và bán kính là R.. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu : DẠNG TOÁN 37: VIẾT

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Phương trình mặt cầu :

a Phương trình mặt cầu dạng chính tắc :

Cho mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R

Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là  S : x a 2y b 2z c 2 R2

b Phương trình mặt cầu dạng khai triển :

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là  S x: 2y2 z2 2ax 2by 2cz d 0

Khi đó mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2 d a 2b2c2 d 0

2 Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu :

Cho điểm A và mặt cầu S O R ;  Ta có :

 Điểm A thuộc mặt cầu  OA R

 Điểm A nằm trong mặt cầu  OA R

 Điểm A nằm ngoài mặt cầu  OA R

3 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

theo giao tuyến là một đường tròn lớn có tâm chính là O và bán kính là R

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

DẠNG TOÁN 37: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM VÀ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC

Cho đường thẳng  và mặt cầu S O R ;  Ta có :

 Đường thẳng  ko cắt mặt cầu S O R ;   d O ;   R

 Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R ;   d O ;   R

 Đường thẳng  cắt mặt cầu S O R ;  tại hai điểm phân biệt A B,  d O ;  R Khi đó ta

;4

 PTMC biết 2 đầu mút của đường kính

 PTMC ngoại tiếp tứ diện

 PTMC qua nhiều điểm, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

 PTMC biết tâm thuộc d, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm, thỏa mãn các điều kiện khác

 Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

 Điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước

 Toán thực tế, liên môn liên quan đến mặt cầu

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O0;0;0và

đi qua điểm M 0;0; 2 có phương trình là

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán lập phương trình mặt cầu khi biết tâm của nó

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định bán kính R của mặt cầu

B2: Lập phương trình mặt cầu có tâm là O0;0;0 và bán kính R

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

 Ta có x2y2z2 2x4y 6z 9 0  x 12y22z 32  5

 Vậy mặt cầu có tâm I1; 2;3 

Tọa độ tâm

I của mặt cầu đó là

A I  1;3;0. B I1;3;0. C I1; 3;0  D I   1; 3;0.

Lời giải Chọn C

kính của mặt cầu ( )S bằng

Lời giải Chọn A

V  

Lời giải Chọn B

 Mặt cầu   S : x12y22z2  có tâm là 9 1; 2;0  , bán kính R  3

 Thể tích khối cầu

34

363

V  R  

Câu 5 Trong không gian Oxyz phương trình mặt cầu ( ), S có tâm ( 1;2;0), I - bán kính R =4 là

 Ta có 3x23y23z26x12y18z 3 0  x2y2z22x4y 6z1 0

 Mặt cầu  S

có tâm là I   1; 2;3

.Điểm nào dướiđây thuộc  S

A M5;0;0. B N0;6;0. C P0;0; 5  D Q0;0;5.

Lời giải Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M thỏa mãn

Trong cácđiểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu  S

?

A M1;1;1 B N0;1;0 C P1;0;1 D Q1;1;0

Lời giải Chọn C

 Mặt cầu  S

có tâm I0;1;0, bán kính R  2.

 Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

2

MI   ; R NI  0 R, PI  3R, QI  1 R Do đó điểm P nằm ngoài mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I1;0; 2 , bán kính r 4 có dạng x12y2z22 16

Phương trình x2y2z22ax2by2cz d  là phương trình mặt cầu 0

Từ đó ta thấy phương trình x2y2z22x2y 4z11 0 không là phương trình mặt cầu

và đi qua điểm A0,1,0

có tâm I1;0; 1  và đi qua điểm A2; 2; 3  là:

A. x12y2z12  3 B. x12y2z12  3

C. x12y2z12  9 D. x12y2z12  9

Lời giải Chọn D

Ta có:R IA  2 1 22 0 2   3 12 3

Phương trình mặt cầu  S có tâm I1;0; 1  và đi qua điểm A2; 2; 3  là:

x12y2z12 9

 Mức độ 2

R =5. Giá trị của tham số m bằng

-Lời giải Chọn B

377

3774

 Ta có mặt cầu (S) tâm I1; 2; 1  tiếp xúc với mặt phẳng  P nên

 

 2  22

Lời giải Chọn C

và đi qua giao điểm của đường thẳng

A (x1)2 (y2)2 (z3)2 27 B (x1)2(y 2)2(z 3)2 27

C (x1)2(y 2)2(z 3)2 3 3 D (x1)2(y2)2(z3)2 3 3

Lời giải Chọn B

cầu   S : x 12y12z12 9 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để mặt

Chọn C

 Đường tròn lớn có chu vi bằng 8 nên bán kính của  S

là

842

Ta có

34

3

V  R    R

Phương trình mặt cầu tâm I1; 2; 4  và bán kính R  là: 3 x12y 22z42 9.

A. x12y 2 2z42  9 B. x12y 22z 42  9

C. x12y22z 42  9 D. x12 y 22z42  3

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn A

Gọi H là hình chiếu của I trên trục hoành  H(1;0;0)

có tâm I1; 1;3  và tiếp xúc với trục tung là

A x12y12z32 10

B. x12y12z 32 9

C x12y12z 32 10 D x12y12z32  9

Lời giải Chọn C

Gọi Hlà hình chiếu của I trên trục tung  H(0; 1;0)

tâm I(1;1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng  P x:  2y z  7 0

trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho tam giác

IAB vuông tại I

 Đường thẳng d đi qua M2;0;1 và có một véc tơ chỉ phương là u  3;6; 2.

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có

 Theo đề bài ta có tam giác IAB vuông cân tại I nên IA IH 2 40

Vậy phương trình mặt cầu  S

là   S : x12y22x 52 40

Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O

và tiếp xúc với mặt phẳng  

A. x2y2 z2 81 B. x2y2z2 1 C. x2y2z2 9 D x2y2z2 25

Lời giải Chọn C

O A

B

C

K H z

y

x

 Ta có H là trực tâm tam giác ABC  OH ABC

.Thật vậy :

- Phương trình mặt cầu (S) tâm I

và cắt d tại hai điểm A, B sao cho DIAB đều là:

Đường thẳng d cắt  S tại hai

điểm ,A B Tính diện tích tam giác IAB.

Vậy

 Gọi M là hình chiếu vuông góc của I1; 2;3  trên trục Ox

 M1;0;0 và M là trung điểm của AB.

=ïï = íï

-ï = +

Viết phương trình mặt cầu ( )S

có tâm I thuộc d , I có hoành độ dương, biết I cách ( )P mộtkhoảng bằng 2 và ( )S

 Gọi I(- t t;2 1;- t+ Î2) d: là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

Theo giả thiết : ( ( ) ) 2 2

16

 Với

116

Lời giải Chọn A

 Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính của nó là r 4.

 Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là  ,   2 2 6 82 1 2 2

Giả sử mặt cầu  S có tâm I a b c ; ; ,

C (x- 2)2+(y- 1)2+z2 =26 D (x- 2)2+(y- 1)2+z2=9.

Lời giải Chọn A

Vì I Î (Oxy) nên gọi I x y( ; ;0) Ta có:

 Gỉa sử I a b c ; ;  là tâm mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm

(2;1;1)

M

Vì mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1) có các thành

phần tọa độ đều dương nên a b c r  

tròn  C Biết diện tích lớn nhất của  C bằng 3  Phương trình của  S là

 Nhận xét : Mặt phẳng ( )P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn  C và diện tích của

 C lớn nhất khi ( )P qua tâm I của ( ).S

 Ta có: S R2 3  R 3

Khi đó

Tâm: 1;2;0( ) :

Bán kí : nh 3

I S

A x12y22z42 3 B x12y22z42  3

C x12 y 22z 42 3 D x12y 22z 42  3

Lời giải Chọn C

b 

, c 3 , d  0

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u  1; 2;1

.Gọi H1t t; 2 ; 2td là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng

Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng

x y z  , 3x   Phương trình của 2 0  S là:

Vì tâm I thuộc đường thẳng

3:

A. I1; 2;2 ,   I1;2; 2  B. I1; 2;2 , 5;2;10  I 

C. I1; 2; 2 , 0; 3;0  I   D. I5;2;10 , 0; 3;0 I  

Lời giải Chọn B

I

H

R r

R r, lần lượt là bán kính mặt cầu và bánkính đường tròn giao tuyến Theo bài ta có IH d I Oxz ,    R2 r2  8 4 2 

2

51

t t

Đường thẳng d đi qua M2;0;1

Gọi I R, lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu S

Câu 23. Cho điểm I1;7;5

 Phương trình mặt cầu có tâm I và

cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là

Gọi H là hình chiếu của I1;7;5

trên d H3;5;3  IH d I d ;  2 32

80202

Vậy phương trình mặt cầu là: x12y 72z 52 2017

Vectơ chỉ phương của d và 1 d lần lượt là 2 u 1 2;1;3

, u 2 1;2;3

.Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d và 1 d với 2 A d 1, B d 2

a b

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho điểm H1;2; 2  Mặt phẳng   đi qua H và cắt các trục Ox ,

Oy , Oz tại A, B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm

O và tiếp xúc với mặt phẳng  

A. x2y2z2 81 B. x2 y2z2  1

C. x2y2z2  9 D. x2y2z2 25

Lời giải Chọn C

O A

B C

K H z

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng ABC có bán kính R OH  3

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   là  S x: 2y2z2  9

là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn   MA MB MC MD             .                 . 1

Biết rằng  L

là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

A.

112

r 

72

r 

32

r 

52

r 

Lời giải Chọn A

tam giác ABC với A(5;0;0), (0;3;0), (4;5;0)B C Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu ( )S sao cho

khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

 Kẻ MJ ABC, với JABC Khi đó .

x y

Do MJ d M 2,ABC  d M 1,ABC   M22;3;8 là điểm cần tìm Chọn đáp án C.

S x y z  y z  Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với

Tính a2bc bằng

A 44 B 44 C 54 D 54

Lời giải

 Do R2 R1  2 IJ  5 R2R1 nên 2 mặt cầu cắt nhau.8

Khi đó các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu nằm trên hình nón có đỉnh M trục IJ

Theo định lý Ta-let ta có

2 1

3

5

R MJ

 Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K

Dễ thấy

13

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P đến một điểm thuộc mặt cầu S là

 Mặt cầu  S có tâm I0;1;1

và bán kính R  3.

 Gọi H là hình chiếu của I trên  P và A là giao điểm của IH với  S

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P đến một điểm thuộc mặtcầu  S là

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z 32 27

Gọi   là mặtphẳng đi qua hai điểm A0;0; 4 

, B2;0;0

và cắt  S

theo giao tuyến là đường tròn  C

sao cho khối nón đỉnh là tâm của  S

và đáy là là đường tròn  C có thể tích lớn nhất Biết

rằng   :ax by z c   0, khi đó a b c  bằng

Lời giải Chọn A

 Đặt IH x, với 0x3 3 ta có r R2 x2  27 x 2

Thể tích khối nón là

21π3

 Gọi A B, lần lượt là giao điểm của d và  S suy ra: A1;5;2, B1;1; 2

Ta có: d A Oxz ;   d B Oxz ;  

 Theo đề bài thì N A  N1;5; 2  x0y0 z0  8

hai điểm A(4;3;1), B(3;1;3); M là điểm thay đổi trên ( )S Gọi m n, lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2MA2 MB2 Xác định m n

 Theo bài ra A, M, B nằm trên mặt cầu  S

và AMB  90  AB qua I AB2R4

Ta có

1.2

AB

.Dấu " " xảy ra

2 22

AB

MA MB

và AB 4.

 Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4.

không gian thỏa mãn

23

 Vì IA 2R và IB 82 R nên hai điểm A, B nằm ngoài mặt cầu  S

.Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì K1; 2; 1  

Suy ra MA MB.

 

nhỏ nhất khi MK nhỏ nhất, tức là 2 MK nhỏ nhất.

 Đánh giá: Ta có IM MK IK  R MK IK  MK IK R

Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK R , xảy ra khi I , M , K thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm

I , K Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu  S

a b c

sao cho biểu thức 3MA 2MB MC

 Mặt khác:  S có tâm I1; 2;3, bán kính R  14 và IJ 2 14R  điểm J nằm ngoài

mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu  S

tại hai điểm M M 1, 2

t t

 Vậy 3MA  2MB MC  min  2MJmin

1

  Khi đó P x M y M    2 4 6

điểm A(4; 2; 4), (1; 4; 2)B MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn MN

, suy ra A (4;6;8) Khi đó AMNA là hình bình hành nên AM A N

 Ta có AM BN A N BN  A B

, dấu bằng xảy ra khi A N B, , thẳng hàng  N là

giao điểm của mặt cầu với đường thẳng A B  (Điểm N luôn tồn tại).

( 3; 2; 6)

A B    

suy ra A B  ( 3) 2 ( 2)2 ( 6)2  Vậy 7 AM BN min A B 7

B  

  , C1; 4;0

, D4; 4;0

Gọi M

là điểm thay đổi trên  S1

, N là điểm thay đổi trên  S2

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy các điểm A4;0;0

,

1

;0;04

, B3; 0; 1 , C0; 21; 19  vàmặt cầu   S : x12y12z12 1

M a b c ; ; 

là điểm thuộc mặt cầu  S

sao chobiểu thức T 3MA22MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a b c 

A

145

a b c  

125

a b c  

D a b c  12

Lời giải Chọn A

Vì 3GA22GB2 GC2 có giá trị là một số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi MG

nhỏ nhất Kho đó M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu  S

5 5

2 91; ;

a b c  

tiếp xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bánkính bằng

Lời giải

Chọn A

Gọi A B, là tâm mặt cầu bán kính bằng 2; C D, là tâm mặt cầu bán kính bằng 3 ; I là tâm mặt

cầu bán kính x tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A B C D, , , nói trên

x 

 có vectơ chỉ phương u  1; 2;2

Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của A và B lên  Mặt

cầu đi qua hai điểm C , D có diện tích nhỏ nhất là

A 36π B 44π C 6π D 9π

Lời giải Chọn D

Từ A dựng đường thẳng d song song với  Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên d nên CD AE và AE không đổi

nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi C di động trên trục Oz thì H

luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính của đường tròn đó bằng

 , suy ra mặt phẳng OCE cố định vuông góc với AB và tam giác ABC cân

tại C Khi đó HOCE

Gọi K là trực tâm tam giác OAB , do A, B và K cùng nằm trong mặt phẳng Oxy

a b

33; ;02

K  

Ta chứng minh được KH CAB

54

R 

điểm M4; 4; 2 

, N6;0;6 Gọi E là điểm thuộc mặt cầu  S sao cho EM EN đạt giá trị

lớn nhất Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S

Bởi vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi và lớn nhất

Có suy ra thuộc mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của

Mà nên thuộc đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu

Do đó lớn nhất khi là một trong hai giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

Có do đó phương trình đường thẳng

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ

có đỉnh , đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính Khi có thể tích lớn

Lời giải

Chọn C

Gọi là bán kính mặt cầu đường kính ; , tương ứng là bán kính đường tròn đáy

cầu có tâm , bán kính bằng ; và là hai mặt cầu có tâm lần lượt là , và bánkính đều bằng Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , ,

Lời giải Chọn B

Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là:

11

.Khi đó ta có:

Do đó trường hợp này có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn bài toán

mặt cầu tâm đi qua hai điểm , sao cho nhỏ nhất là điểm thuộc , giá

Lời giải Chọn B

Tâm mặt cầu đi qua hai điểm , nằm trên mặt phẳng trung trực của Phương

nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

Đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình

Tọa độ điểm khi đó ứng với là nghiệm phương trình