Một-số-dạng-bài-tập-về-viết-phương-trình-mặt-phẳng-1-Phản-biện

Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳngDạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó... Vậy có 2 phương trình mặt phẳng BÀI TẬP CỦNG CỐ... P

I Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm (1;1; 2) A  và có vectơ pháp tuyến n  (1; 1; 2)



Lời giải

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;1; 2) A  và có vectơ pháp tuyến n  (1; 1; 2)



có phương trình là: 1(x1) 1( y1) 2( z2) 0  x y 2z  4 0

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: x y 2z  4 0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm M x y z0 0; ;0 0và song song với 1 mặt phẳng

  :Ax By Cz D    cho trước.0

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm (1;2;3) M và song

song với mặt phẳng ( ) : 2Q x 2y3z  1 0

Lời giải

Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng( ) : 2 2 3 1 0 Q x y z  nên mặt phẳng( )P có phương

trình dạng: 2x 2y3z D 0 (D 1)

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;2;3) M nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải

thỏa mãn Ta được: 2.1 2.2 3.3  D 0 D (thỏa mãn 7 D  ).1

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2 2 3 7 0 x y z 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1;0; 1), A  B(1;1;1), (0;1;2)

Lời giải

Ta có: AB(0;1; 2),AC  ( 1;1;3)

     

Gọi n



là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC ta có)

 











 

 

nên n

 cùng phương với AB AC, 

 

Chọn n  (1; 2;1)



ta được phương trình mặt phẳng (ABC là: 1( 1) 2( 0) 1( 1) 0) x  y  z 

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm O và vuông góc

với đường thẳng

2

2







 



  



Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u d (2;2;1).

Mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n   u d (2;2;1)

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: 2 x2y z  0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  , vuông góc với mặt phẳng   .

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng

2 : 1 2

2

 





 



  

 và vuông góc với   :x2y z  1 0

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm A0;1;2

và có VTCP là: u   d ( 2; 2;1).

Mặt phẳng   có VTPT là n  1;2; 1 

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

d

n u n     

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Phương trình mặt phẳng   là: 4xy16z 2  0 4x y 6z13 0

Dạng 6 : Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm (1;2;2), (1;1;4)A B

và vuông góc với   :x y z   1 0

Lời giải

Có AB 0; 1;2 



Mặt phẳng   có VTPT là n 1; 1; 1  



Mặt phẳng ( ) chứa A , B và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

, 3; 2;1

n AB n 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Phương trình mặt phẳng   là: 3x12y 2  z 2 0 3x2y z  9 0

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  và song song với  (  ,  chéo nhau).

Ví dụ 7 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng

1

1

: 1 2

1

x







 



  

 và song song với đường thẳng 2

:

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)



Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u 2(1;2;2)

Ta có u u 1, 2   ( 6;1; 2)

Gọi n



là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có:

1

2

n u

n u

 









 

 

nên n

 cùng phương với u u1, 2

 

Chọn n  ( 6;1; 2)



Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n   ( 6;1; 2)có phương trình: 6(x 1) 1(y 1) 2(z 1) 0

6x y 2z 3 0

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( )2 P thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là:6x y 2z 3 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M

Ví dụ 8 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng

1

1

x







 



  

 và điểm M(1;3; 2)

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm (1; 1;1) N  vectơ chỉ phương (0;2;1)u d

0; 4; 1 

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và điểm M nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

d

n u MN  

  

Phương trình mặt phẳng   là: 2x1  0 x  1 0

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và 

Ví dụ 9 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng

1

1

: 1 2

1

x







 



  

2

1 3 : 1 2 1

 





 



  



Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u 1(0; 2;1)

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2(1;1;1) vectơ chỉ phương u2(3; 2;1)



Ta có u u 1, 2  0;3;6

, M M  1 2 0;0;0

Do M M u u  1 2 1, 2  0

nên đường thẳng d d cắt nhau.1, 2

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d d cắt nhau nên ( )1, 2  có một vectơ pháp tuyến là:

1, 2 0;3;6 3 0;1; 2

n u u   

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Phương trình mặt phẳng   là: y2z 3 0

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và 

Ví dụ 10 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng

1

1

1

x







 



  

2

4 : 3 2

1 2

x







 



  



Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u 1(0; 1;1)

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M24;3;1

vectơ chỉ phương u 20; 1; 2 

Ta có u u              1, 2   0

, M M  1 2 3;2;0 

Do u u 1, 2  0

 nên đường thẳng d d song song1, 2

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d d song song nên ( )1, 2  có một vectơ pháp tuyến là:

1, 1 2 4; 4; 4 4 1; 1; 1

n u M M      

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Phương trình mặt phẳng   là: x1  y1  z1  0 x y z    1 0

Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng  đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng 

và  chéo nhau cho trước.

Ví dụ 11 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm (1;0; 2) A  và ( )P

song song với hai đường thẳng

1

1 : 1 2 1

x







 



  

 và 2

:

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u 1(0; 2;1)

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u 2(1;2;2)

Ta có u u 1, 2   ( 6;1; 2)

Gọi n



là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có:

1

2

n u

n u

 









 

 

nên n

 cùng phương với u u1, 2

 

Chọn n  ( 6;1; 2)



ta được phương trình mặt phẳng ( )P là:

6(x 1) 1(y 0) 2(z 2) 0

6x y 2z 10 0

Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng

   P , Q cho trước.

Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm ( 1; 2;5) M   và

vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y 3z  và ( ) : 21 0 R x 3y z   1 0

Lời giải

VTPT của ( )Q là (1;2; 3) n Q 

, VTPT của ( )R là (2; 3;1) n R 

Ta có n n Q, R   ( 7; 7; 7) 

 

nên mặt phẳng ( )P nhận n  (1;1;1) là một VTPT và ( )P đi qua điểm

( 1; 2;5)

M   nên có phương trình là: x y z   2 0

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   và cách

  :Ax By Cz D    một khoảng k cho trước.0

Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt phẳng

( ) :Q x2y 2z  và cách ( )1 0 Q một khoảng bằng 3.

Lời giải

Trên mặt phẳng ( ) :Q x2y 2z  chọn điểm ( 1;0;0)1 0 M 

Do ( )P song song với mặt phẳng ( ) Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

x y z D  với D  1

Vì (( ), ( )) 3d P Q   d M P( ,( )) 3 2 2 2

| 1 |

3

1 2 ( 2)

D

 

     | 1 D| 9

8 10

D D







Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 8 0 và x2y 2z10 0

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D    cho0

trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt phẳng

( ) :Q x2y 2z  và ( )1 0 P cách điểm (1; 2;1) M  một khoảng bằng 3

Lời giải

Do ( )P song song với mặt phẳng ( ) Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

x y z D  với D  1

Vì ( ,( )) 3d M P  2 2 2

|1 4 2 |

3

1 2 ( 2)

D

  

     | 5 D| 9

4 14

D D







Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 4 0 và x2y 2z14 0

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S

.

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt phẳng

( ) :Q x2y 2z  và tiếp xúc với mặt cầu 1 0 ( ) :S x2y2z22x 4y 2z 3 0

Lời giải

Mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;1) I  và bán kính R  ( 1)222 12 3 3

Do ( )P song song với mặt phẳng ( ) Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

x y z D  với D  1

Vì ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S nên ( ,( )) d I P  R 3 2 2 2

3

1 2 ( 2)

D

   

   |1D| 9 10

8

D

D







Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z10 0 và x2y 2z  8 0

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  và tạo với một mặt phẳng

  :Ax By Cz D    cho trước một góc  cho trước.0

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng  P và đường thẳng d lần lượt có phương trình

 P x: 2y z   và 5 0

1

2

x

d     y z

Viết phương trình mặt phẳng  Q

chứa đường

thẳng d và tạo với mặt phẳng  P

một góc 60 0

Lời giải

Giả sử mặt phẳng ( )Q có dạng Ax By Cz D   0A2B2C2 0 

Chọn hai điểm M1; 1;3 ,  N1;0; 4d

Mặt phẳng  Q

chứa d nên M N,  Q





Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax By   2A B z  7A4B và có VTPT0

 ; ; 2 

Q

n  A B  A B

 Q

tạo với mặt phẳng  P

một góc 600

0

cos(60 )

2

(4 2 3) B

A

Cho B  ta được1 A  (4 2 3).

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng

BÀI TẬP CỦNG CỐ

ĐỀ BÀI

Oxy

?

A i 1;0;0

B m  1;1;1

C j 0;1;0

D k  0;0;1

có phương trình là:

điểm M1;2; 3 

và có một vectơ pháp tuyến n   1; 2;3

A x 2y3z12 0 B x 2y 3z 6 0 C x 2y3z12 0 D x 2y 3z 6 0

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A4;0;1 và B  2;2;3  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB có phương trình là

A 3x y z  0 B 3x y z   6 0. C x y 2z 6 0. D 6x 2y 2z 1 0

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M3; 1; 2   và mặt phẳng   : 3 x y 2z 4 0

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với   ?

A 3x y 2z 6 0 B 3x y 2z 6 0

C 3x y  2z 6 0 D 3x y 2z 14 0

đi qua A3;0;0 , B0;0; 4

và song song trục Oy có phương trình

A 4x3z12 0 B 3x4z12 0 C 4x3z12 0 D 4x3z0

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Q x: 2y2z 3 0 , mặt phẳng  P

không qua O , song song mặt phẳng  Q

và d P   ; Q  1

Phương trình mặt phẳng  P

là

A x2y2z  1 0 B x2y2z 0

C x2y2z 6 0 D x2y2z  3 0

Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho A2;0;0 , B0;4;0 , C0;0;6, D2; 4;6 Gọi  P là mặt phẳng

song song với mp ABC  ,  P cách đều D và mặt phẳng ABC Phương trình của  P là

A 6x3y2z 24 0 B 6x3y2z12 0

C 6x3y2z 0 D 6x3y2z 36 0

Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho điểm M1;2;3

Gọi , ,A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

M lên các trục Ox Oy Oz Viết phương trình mặt phẳng , , ABC

A 1 2 3 1

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A1;1;1 và

0; 2;2

B

đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M N ( không trùng với gốc tọa độ O ), sao cho OM 2ON

A  P : 3x y 2z 6 0

B  P : 2x3y z  4 0

C  P : 2x y z   4 0

D  P x: 2y z  2 0

Câu 11. Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A2; 3;1 

lên các mặt phẳng tọa độ Phương trình mặt phẳng MNP

là

A 2 3 1 1

B 3x 2y6z 6

C 2 3 1 0

D 3x 2y6z12 0

Câu 12. Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng:  P x y z:     và1 0

 Q x y z:    5 0 có tọa độ là

A M0; 3;0 

B M0;3;0

C M0; 2;0 

D M0;1;0

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1

cắt các tia , ,

Ox Oy Oz tại , , A B C ( , , A B C không trùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

nhất là bao nhiêu?

A

81

243

81

Câu 14. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm , A3; 2;2 ,  B2; 2;0

và mặt phẳng

 P : 2x y 2z 3 0. Xét các điểm ,M N di động trên  P

sao cho MN  Giá trị nhỏ nhất của1.

biểu thức 2AM23BN2 bằng

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c ; ;  với a , b , c là các số thực dương thỏa

mãn 5a2b2c2 9ab2bc ca 

1

a Q

có giá trị lớn nhất Gọi M , N ,

P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox , Oy , Oz Phương trình mặt phẳng MNP

là

A x4y4z12 0 B 3x12y12z1 0

C x4y4z0 D 3x12y12z 1 0

ĐÁP ÁN

một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy

?

A i 1;0;0

B m  1;1;1

C j 0;1;0

D k  0;0;1

Lời giải Chọn D

Do mặt phẳng Oxy vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ k  0;0;1

làm một véc tơpháp tuyến

phương trình là:

Lời giải Chọn D

là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M1;2; 3 

và có một vectơ pháp tuyến n   1; 2;3

A x 2y3z12 0 B x 2y 3z 6 0 C x 2y3z12 0 D x 2y 3z 6 0

Lời giải Chọn A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M1;2; 3 

và có một vectơ pháp tuyến n   1; 2;3

là

1 x1  2 y 2 3 z3 0 x 2y3z12 0

Câu 4 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A4;0;1

và B  2;2;3 

Mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A 3x y z  0 B 3x y z   6 0. C x y 2z 6 0. D 6x 2y 2z 1 0

Lời giải Chọn A

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là AB   6; 2;2

và đi qua trung điểm

1;1;2

I của đoạn thẳng A B. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là:

Câu 5 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M3; 1; 2   và

mặt phẳng   : 3 x y 2z   Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M4 0

và song song với   ?

A 3x y 2z 6 0 B 3x y 2z 6 0

C 3x y  2z 6 0 D 3x y 2z 14 0

Lời giải

Chọn A

Gọi   //  , PT có dạng   : 3x y 2z D  (điều kiện 0 D  );4

Ta có:   qua M3; 1; 2   nên 3.3  12 2 D 0  D (thoả đk);6

Vậy   : 3x y 2z 6 0

Câu 6. Mặt phẳng  P đi qua A3;0;0 , B0;0; 4 và song song trục Oy có phương trình

A 4x3z12 0 B 3x4z12 0 C 4x3z12 0 D 4x3z0

Lời giải Chọn A

0;1;0 ;  3;0;4

Oy

Lấy n P u Oy,AB 4;0;3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Do đó  P : 4x 33z 0 4x3z12 0