slide môn học cơ sở thông tin số

Một bộ mã khối tuyến tính gồm một tập hợp các vector có độ dàicố định được gọi là từ mã.. Bộ mã được gọi là tuyến tính nếu và cũng có từ mã toàn các ký hiệu 0... 1 Linear Block Codes Ma

Một bộ mã khối tuyến tính gồm một tập hợp các vector có độ dài

cố định được gọi là từ mã

Độ dài của một từ mã là số lượng ký hiệu có trong từ mã, ký hiệu là n

Khi bộ ký hiệu chỉ có hai ký hiệu 0 và 1 thì bộ mã gọi là bộ mã nhị phân

mang thông tin sẽ được mã hoá thành một từ mã có độ dài n

Trọng lượng của một từ mã là số lượng ký hiệu khác 0 có trong từ

mã (ví dụ từ mã 01001 có trọng lượng là 2)

Các hàm mã hoá và giải mã sử dụng các phép toán số học cộng và nhân trên các từ mã Các phép toán số học tuân theo các nguyên tắc của trường đại số (chúng ta xét trường GF (2))

Phép cộng và nhân trên GF (2):

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0

0.0 = 0, 0.1 = 0, 1.0 = 0, 1.1 = 1 Tổng quát, trường hữu hạn GF (q) có thể được xây dựng nếu q là số nguyên tố hoặc là luỹ thừa của một số nguyên tố Khi q là số nguyên

tố, phép cộng và phép nhân dựa trên phép toán modulo của q Khoảng cách Hamming giữa hai từ mã là số lượng ký hiệu tương

4)

Giả thiết Ci và Cj là hai từ mã trong bộ mã (n, k) và α1, α2là hai giá trị bất kỳ trong bộ ký hiệu Bộ mã được gọi là tuyến tính nếu và

cũng có từ mã toàn các ký hiệu 0)

Ký hiệu các từ mã là Ci, i = 1, , M và C1= [00 0] và wr là trọng lượng của từ mã thứ r

r,r 6=1{wr} Một số khái niệm cơ sở của đại số tuyến tính cũng đúng và hữu ích

1 Linear Block Codes

Ma trận sinh và ma trận kiểm tra parity

Mã Hamming nhị phân

Mã vòng

Ký hiệu vector k bit mang thông tin là

Xm= [xm1xm2 xmk]

và đầu ra của bộ mã hoá là từ mã

Cm= [cm1cm2 cmn] Việc mã hoá để tạo ra mã khối tuyến tính (nhị phân) có thể được biểu diễn qua các phương trình

cmj= xm1g1j+ xm2g2j+ + xmkgkj, j = 1, 2, , n Biểu diễn dưới dạng ma trận với G là ma trận sinh của mã khối

















=

















Mã (n, k) có 2k từ mã và có số chiều là k, nên các hàng của G phải độc lập tuyến tính, tức là tạo ra không gian con k chiều

G=hIk .Pi

=













mang thông tin Mã dạng này gọi là mã "hệ thống"

Một ma trận sinh bất kỳ sẽ "tương đương" với một ma trận sinh có dạng hệ thống bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng và cột Hai mã (n, k) được tạo ra bởi hai ma trận sinh tương đương thì được gọi là tương đương

Ví dụ

Xét mã (7, 4) với ma trận sinh













= [I4P]

Một từ mã sẽ được biểu diễn là

Cm= [xm1xm2xm3xm4cm5cm6cm7] và

Gắn với mỗi mã khối (n, k) là một mã kép/dual code có số chiều là

gian không của mã (n, k)

Ma trận sinh của mã kép, ký hiệu là H có n − k vector độc lập tuyến tính của không gian không

Nếu mã (n, k) là hệ thống thì

H=h−P′ .I

n−k

i

Ví dụ

Mã hệ thống (7, 4) được tạo ra bởi ma trận G trong ví dụ trước có

ma trận H là









vào tổ hợp tuyến tính của các bit mang thông tin

1 Linear Block Codes

Ma trận sinh và ma trận kiểm tra parity

Mã Hamming nhị phân

Mã vòng

Mã Hamming nhị phân là lớp mã khối tuyến tính (m là số nguyên dương):

Với m = 3 ta có mã Hamming (7, 4)

tử, ngoại trừ vector 0

Phân bố trọng lượng bộ mã

A(z) =

n

X

i=0

n

Bộ mã xét ở ví dụ trên là một bộ mã Hamming

1 Linear Block Codes

Ma trận sinh và ma trận kiểm tra parity

Mã Hamming nhị phân

Mã vòng

Mã vòng là một lớp mã khối tuyến tính thoả mãn tính dịch vòng: nếu C = [cn−1cn−2 c1c0] là một từ mã thì [cn−2cn−3 c0cn−1] cũng là một từ mã của cùng bộ mã vòng

không vượt quá n − 1:

C(p) = cn−1pn−1+ cn−2pn−2+ + c1p+ c0

với mã nhị phân, các hệ số của đa thức hoặc bằng 0, hoặc bằng 1

C1(p)

với

C1(p) = cn−2pn−1+ cn−3pn−2+ + c0p+ cn−1

C1(p) biểu diễn từ mã C1= [cn−2 c0cn−1] và C1(p) = pC (p)

Tổng quát

Chúng ta có thể tạo ra bộ mã vòng dùng một đa thức sinh g(p) có

Định nghĩa đa thức mang tin X (p) là

X(p) = xk−1pk−1+ xk −2pk−2+ x1p+ x0

Các từ mã của bộ mã vòng là

Dễ dàng chứng minh bộ mã xây dựng từ đa thức g(p) như trên thoả mãn tính dịch vòng

không gian S và có k chiều

Ví dụ: với n = 7 và p7+ 1 = (p + 1)(p3+ p2+ 1)(p3+ p + 1), có thể dùng một trong 2 đa thức sinh bậc 3 ở trên, và hai bộ mã tạo ra

từ 2 đa thức sinh ở trên là tương đương

Định nghĩa đa thức đối/reciprocal polynomial của h(p) là

pkh(p−1) = pk(p−k+ hk−1p−k+1+ hk−2p−k+2+ + h1p−1+ 1)

= 1 + hk −1p+ hk−2p2+ + h1pk−1+ pk

mã đối của mã (n, k) sinh ra từ g(p) và tạo nên không gian không của mã (n, k)

Ví dụ

Xét mã đối của mã vòng trong ví dụ trên Mã đối là mã (7, 3) ứng với đa thức parity

Đa thức đối là

p4h1(p−1) = 1 + p + p2+ p4 Xem thêm ví dụ về mã trong tài liệu