slide môn học cơ sở thông tin số

1 Signal and System Theory Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải Biểu diễn không gian tín hiệu Các biến ngẫu nhiên thường gặp Quá trình ngẫu nhiên Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu

1 Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

chế, xử dụng một tín hiệu mang (carrier modulation).

Kênh truyền vật lý nói chung cũng bị (hoặc được thiết kế) giớihạn/hạn chế về băng thông với tần số trung tâm là tần số của tínhiệu mang (hoặc xấp xỉ)

Tín hiệu (và hệ thống/kênh) nếu có độ rộng băng tần (băng thông)nhỏ hơn nhiều so với tần số tín hiệu mang được gọi là tín hiệu và hệthống băng hẹp, thông dải

Không mất tính tổng quát và để đơn giản trong việc biểu diễn toánhọc, người ta biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải thành tín hiệu

và hệ thống thông thấp tương đương

Biểu diễn các tín hiệu thông dải

Hình:Phổ tín hiệu thông dải

Giả thiết một tín hiệu giá trị thực s(t) là tín hiệu băng hẹp với tần

số trung tâm là fc

Ta xây dựng tín hiệu chỉ có các thành phần tần số dương của tínhiệu s(t)

S (f ) = 2u(f )S(f )

⋆ s(t) = s(t) + j 1

πt ⋆ s(t) = s(t) + jˆs(t)h(t) = 1

πt gọi là đáp ứng xung của phép biến đổi Hilbert Về bảnchất, nó dịch pha 90o tất cả các thành phần tần số của tín hiệu vào.Chúng ta nhận được tín hiệu tần số thấp tương đương qua việc dịchchuyển tần số Sl(f ) = S+(f + fc)

Biểu diễn ở miền thời gian

s(t) = s (t)e−j2πfc t

= [s(t) + jˆs(t)]e−j2πfc t

Biểu diễn các tín hiệu thông dải

Nói chung sl(t) là tín hiệu có giá trị phức

Năng lượng của s(t):

Biểu diễn các hệ thống tuyến tính thông dải

Một bộ lọc (hay hệ thống) tuyến tính có thể được mô tả bởi đápứng xung h(t) hay đáp ứng tần số H(f ) Do h(t) là thực nên

H∗(f ) = H(f )

Định nghĩa Hl(f − fc):

Hl(f ) =

(H(f ) (f > 0)

0 (f < 0)=⇒ Hl∗(−f − fc) =

(

0 (f > 0)

H∗(−f ) (f < 0)Như vậy ta có

H(f ) = Hl(f − fc) + Hl∗(−f − fc)h(t) = hl(t)ej2πfc t

+ h∗l(t)e−j2πfc t

= 2ℜ[hl(t)ej2πfc t

]Nói chung h(t) có giá trị phức

Đầu ra của hệ thống ở miền tần số là:

Đáp ứng của hệ thống thông dải với tín hiệu vào thông dải

chuyển tần số tuyền tính trong quá trình điều chế tín hiệu (phối hợpgiữa băng thông của kênh và phổ tần số tín hiệu)

Trong phần này, chúng ta mở rộng việc biểu diễn cho các thể hiện

cụ thể của một quá trình ngẫu nhiên dừng và thông dải

Giả thiết n(t) là một thể hiện cụ thể của một quá trình ngẫu nhiêndừng (theo nghĩa rộng) có giá trị trung bình bằng 0 và phổ mật độcông suất Φnn(f ), phổ này giả thiết là có giá trị bằng 0 tại các tần

số bên ngoài dải tần số có giá trị trung tâm là ±fc

Với các giả thiết như vậy, n(t) được biểu diễn thành

n(t) = a(t) cos[2πfct+ θ(t)]

= x(t) cos 2πfct− y(t) sin 2πfct

= ℜ[z(t)ej2πfc t

]

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải

Do n(t) có giá trị trung bình bằng 0, x(t) và y(t) cũng có giá trịtrung bình bằng 0

Tính chất dừng của n(t) nói lên hàm tự tương quan và tương quanchéo của x(t) và y(t) thoả mãn tính chất

φxx(τ ) = φyy(τ ), φxy(τ ) = −φyx(τ )Chúng ta cũng có:

φnn(τ ) = φxx(τ ) cos 2πfct− φyxsin 2πfctĐối với các quá trình thông thấp tương đương và thông dải, chúng

Như vậy hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên thông dải

φnn(τ ) được xác định bởi hàm tự tương quan của quá trình ngẫunhiên tần số thấp tương đương φzz(τ ) và tần số mang fc.Phổ mật độ công suất:

Φnn(f ) = 1

2[Φzz(f − fc) + Φzz(−f − fc)]

Vì φzz(τ ) = φ∗

zz(−τ), Φzz(f ) có giá trị thực

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải

Biểu diễn nhiễu trắng

Nhiễu trắng là một quá trình ngẫu nhiên dừng có phổ mật độ côngsuất đồng đều trên toàn miền tần số

Chúng ta biểu diễn nhiễu tại phía thu khi cho cả tín hiệu và nhiễuqua bộ lọc thông dải lý tưởng có dải thông chứa phổ tín hiệu nhưngrộng hơn nhiều

Nhiễu ở dạng tần số thấp tương đương z(t) có phổ mật độ công suất

Như vậy phổ mật độ công suất của nhiễu trắng (và nhiễu trắngthông dải) có tính đối xứng qua gốc f = 0, và φxy(τ ) = 0 với mọi τ

Từ đó

φzz(τ ) = φxx(τ ) = φyy(τ )Như vậy, các thành phần vuông góc x(t) and y(t) là không cótương quan với mọi dịch chuyển thời gian τ và các hàm tự tươngquan của z(t), x(t), y(t) là giống nhau

1 Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

một tổ hợp tuyến tính (linear combination) của các vector đơn vịhay các vector cơ sở

v=

nX

i=1

vieiTích vô hướng (inner product) của hai vector n chiều

v1· v2=

nX

i=1

v1iv2i

Hai vector v1and v2là trực giao nếu v1· v2= 0

Chuẩn (norm) của vector v

kvk = (v · v)1/2=

vunX

v2 i

Không gian vector

Tập hợp m vector được gọi là trực chuẩn (orthonormal) nếu cácvector là trực giao với nhau và mỗi vector có chuẩn đơn vị

Tập hợp m vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu không vectornào trong tập hợp này có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyếntính của các vector còn lại

Một biến đổi tuyến tính trong không gian vector n chiều là một matrận có dạng

v′ = AvTrong trường hợp đặc biệt v′

= λv, với λ là một số vô hướng, vđược gọi là vector riêng/eigenvector của phép biến đổi và λ là giá trịriêng/eigenvalue tương ứng

Thủ tục Gram-Schmidt để xây dựng tập hợp các vector trực chuẩn

từ tập hợp các vector n chiều

như với không gian vector.

Tích vô hướng của hai tín hiệu phức

hx1(t), x2(t)i =

Z b

a

x1(t)x2∗(t)dtHai tín hiệu được gọi là trực giao nếu có tích vô hướng bằng 0.Chuẩn của tín hiệu

Tập hợp m tín hiệu là độc lập tuyến tính nếu không có tín hiệu nào

có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệucòn lại trong tập hợp

Khai triển trực giao tín hiệu

Trong phần này, chúng ta xây dựng một biểu diễn vector cho tínhiệu, điều này sẽ cho thấy sự giống nhau giữa biểu diễn tín hiệu vàbiểu diễn vector

Giả thiết s(t) là tín hiệu xác định, giá trị thực, có năng lượng hữuhạn Cs =R∞

ˆs(t) =

KX

skfk(t)

Với tiêu chuẩn trung bình bình phương sai số (MSE), Ce sẽ nhỏ nhấtkhi sai số trực giao với mỗi tín hiệu (hàm) trong khai triển chuỗi.

k=1sk2Khi sai số MSE Cmin= 0, s(t) sẽ "bằng" khai triển chuỗi của nótheo nghĩa năng lượng của sai số bằng 0

Khai triển trực giao tín hiệu

Ví dụ chuỗi Furier

Tín hiệu có năng lượng hữu hạn s(t), tức là bằng 0 bên ngoài dải

0 ≤ t ≤ T , và có hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng này,được biểu diễn bằng chuỗi Furier

s(t) =

∞X

T ,p2/T sin2πkt

T } là đầy đủ, và khai triểnchuỗi có sai số MSE bằng 0

Giả thiết có một tập hợp các tín hiệu có năng lượng hữu hạn{si(t), i = 1, 2, , M}.

Bắt đầu với tín hiệu thứ nhất s1(t) có năng lượng C1, tín hiệu đầutiên của tập hợp các tín hiệu trực chuẩn là

f1(t) =s√1(t)

C1Tín hiệu thứ hai được xây dựng từ s2(t) bằng cách loại bỏ thànhphần của s2(t) mà có thể được biểu diễn qua f1(t):

Khai triển trực giao tín hiệu

Ví dụ về thủ tục Gram-Schmidt

Hình:Các tín hiệu

Hình:Các tín hiệu trực giao tương ứng

Khai triển trực giao tín hiệu

s1(t) có năng lượng C1= 2, và như vậy f1(t) = 1

3(t) có năng lượng đơn vị nên f3(t) = f3′(t)

Để xác định f4(t), ta thấy c14= −√2, c24= 0, c34= 1 Như vậy,

f4′(t) = s4(t) +√

2f1(t) − f3(t) = 0

s (t) là tổ hợp tuyến tính của f (t) và f (t), như vậy f (t) = 0

1 Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Phân bố nhị phân (quá trình Bernoulli)

X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có hai giá trị (1, 0) với xác suất

k=0

nk



pk(1 − p)n−k

E(y ) = np, E(Y2) = np(1 − p) + n2p2

σ2= np(1 − p), ψ(jv ) = (1 − p + pejv)n

Phân bố đều

1/(b-a)

x p(x)

x

F(x) 1

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Phân bố gaussian (phân bố chuẩn)

Hình:Phân bố gaussian với σ = 3 and mx= 4



ψ(jv ) = ejvmx − 1 v 2 σ 2

, E(Xk) =

kX

i=0

ki



mxiµk −i

E[(X − mx)k] = µk =

(1.3 (k − 1)σk (even k)

Tổng các biến ngẫu nhiên gaussian độc lập thống kê cũng là một biếnngẫu nhiên có phân bố gaussian

1 Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Tại mỗi thời điểm, giá trị của một quá trình ngẫu nhiên là một biếnngẫu nhiên.

Ký hiệu quá trình ngẫu nhiên là X (t) Nói chung t liên tục

Chúng ta quan sát được từng thể hiện cụ thể/sample function củacác quá trình ngẫu nhiên Tập hợp tất cả các thể hiện cụ thể sẽ mô

tả đầy đủ cho quá trình ngẫu nhiên

Xt i được đặc trưng thống kê bởi p(xt 1, xt 2, , xt n)

Xét hai tập biến ngẫu nhiên Xt 1, , Xtn và Xt 1 +t, , Xtn+t Nếu

p(xt 1, , xt n) = p(xt 1 +t, , xt n +t)với mọi t và mọi n thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theonghĩa chặt chẽ

φ(t1, t2) = φ(t1− t2) = φ(τ ) = φ(t2, t1) = φ(t2− t1) = φ(−τ)Công suất trung bình của quá trình ngẫu nhiên dừng X (t):

φ(0) = E (X2)

φ(t1, t2) = φ(t2, t1) được gọi là dừng theo nghĩa rộng.

Hàm tự hiệp biến:

µ(t1, t2) = E {[Xt 1− m(t1)][Xt 2− m(t2)]} = φ(t1, t2) − m(t1)m(t2)Khi quá trình là dừng:

µ(t1, t2) = µ(t1− t2) = µ(τ ) = φ(τ ) − m2Nếu quá trình gaussian là dừng thì m(ti) = m với mọi ti và

µ(ti, tj) = µ(ti− tj)

Biến ngẫu nhiên gaussian hoàn toàn được xác định bởi giá trị trungbình và hàm tự hiệp biến Như vậy, nếu nó dừng theo nghĩa rộng thìcũng dừng theo nghĩa hẹp

φxy(t1, t2) = E (Xt 1Yt 2)Hàm hiệp biến chéo :

µxy(t1, t2) = φxy(t1, t2) − mx(t1)my(t2)Khi các quá trình là dừng độc lập và dừng đồng thời,

φxy(t1, t2) = φxy(t1− t2), µxy(t1, t2) = µxy(t1− t2)

X(t) và Y (t) là độc lập thống kê nếu và chỉ nếu

j

X(t) và Y (t) là không tương quan nếu:

φxy(t1, t2) = E (Xt 1)E (Yt 2)

và như vậy µxy(t1, t2) = 0

Phổ mật độ công suất

Tín hiệu có thể có năng lương hữu hạn hay vô hạn

Với tín hiệu có năng lượng hữu hạn, biến đổi Furier của tín hiệu chochúng ta biểu diễn tín hiệu ở miền tần số

Với tín hiệu tuần hoàn (năng lượng vô hạn), biến đổi Furier khôngtồn tại, nhưng chuỗi Furier cho chúng ta phân bố công suất tín hiệutại các tần số rời rạc

Với quá trình ngẫu nhiên (năng lượng vô hạn), chúng ta tính biếnđổi Furier của hàm tự tương quan

Xét một hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) Gọi x(t) là tín hiệuvào hệ thống:

y(t) =

Z ∞

−∞

h(τ )x(t − τ)dτKhi x(t) là một thể hiện cụ thể của quá trình ngẫu nhiên dừng X (t)

Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu vào ngẫu nhiên

L R

1 Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Định lý lấy mẫu cho quá trình ngẫu nhiên có băng tần hạn chế

Tín hiệu xác định có băng tần hạn chế s(t) (S(f ) = 0 for |f | > W )

có thể được biểu diễn duy nhất bởi các mẫu được lấy với tần số

fs ≥ 2W

s(t) =

∞X

n=−∞

s n2W

và s(t) được khôi phục lại từ các mẫu bằng bộ lọc thông thấp lý

tưởng có đáp ứng xung h(t) = sin 2πWt

2πWtVới quá trình ngẫu nhiên dừng có băng tần hạn chế X (t) (Φ(f ) = 0for |f | ≥ W ):

X(t) =

∞X

n=−∞

X n2W

tín hiệu ngẫu nhiên liên tục.

Mômen cấp m, dãy tự tương quan và tự hiệp biến:

Φ(f ) =

∞X

n=−∞

φ(n)e−j2πfn, φ(n) =

Z 1/2

−1/2Φ(f )ej2πfndfΦ(f ) tuần hoàn với chu kỳ fp= 1 (đặc điểm của phép biến đổiFurier với mọi dãy rời rạc)

Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc và hệ thống rời rạc

Đáp ứng của hệ thống LTI rời rạc với tín hiệu rời rạc dừng:

H(f ) =

∞X

n=−∞

h(n)e−j2πfn, y(n) =

∞X

i=−∞

∞X

j=−∞

h∗(i)h(j)φxx(k − j + i)

Φxx(f ), Φyy(f ) and H(f ) tuần hoàn với chu kỳ fp= 1