slide môn học cơ sở thông tin số

1 Optimum Receivers for AWGN Channels Thu tối ưu cho kênh tổng quát Thu tối ưu cho kênh AWGN Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chếXác định tối ưu và xác suất l

Trang 1

1 Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát

Thu tối ưu cho kênh AWGN

Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chếXác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Trang 2

Kênh AWGN là kênh chỉ có duy nhất quá trình nhiễu cộng Gaussiantrắng ảnh hưởng lên tín hiệu r(t) = sm(t) + n(t).

n(t) là một thể hiện cụ thể của quá trình nhiễu trắng Gaussian, cógiá trị trung bình bằng 0 và phổ công suất N0/2

Bộ thu nhận được r(t), đưa ra quyết định tối ưu là bản tin m nào

đã được truyền đi

Nguyên tắc quyết định là tối thiểu hoá xác suất quyết định sai giữabản tin thực sự truyền đi m và bản tin sau quyết định ˆm:

Pe = P[ ˆm6= m]

Tìm hiểu kênh AWGN có hai tác dụng chủ yếu: nhiễu cộng Gaussiantrắng là loại nhiễu điển hình trong nhiều loại kênh và loại nhiễu nàyđược sử dụng để nghiên cứu và phân tích nhiều loại nhiễu khác

Trang 3

Bằng việc sử dụng một cơ sở trực chuẩn {φj(t), 1 ≤ j ≤ N}, mỗi tínhiệu sm(t) được biểu diễn bởi một vector sm∈ RN.

Mọi cơ sở trực chuẩn đều có thể sử dụng trong khai triển quá trìnhGaussian trắng giá trị trung bình bằng 0, và các hệ số của khai triển

là các biến ngẫu nhiên Gaussian, có giá trị trung bình bằng 0, saiphương N0/2 (tức là có phân bố giống nhau)

Chúng ta chuyển từ r(t) = sm(t) + n(t) sang dạng vector

r= sm+ n, với các vector là N chiều, và các thành phần của n làcác biến Gaussian có phân bố giống nhau, giá trị trung bình bằng 0

và sai phương N0/2

Trang 4

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát

Các thành phần nhiễu nj, 1 ≤ j ≤ N đều có chung luật phân bố

N(0, N0/2):

p(n) =

1

Trang 5

Ký hiệu hàm xác định ở phía thu là g(r), nếu g(r) = ˆmthì xác suấtxác định đúng là xác suất ˆmthực sự đã được truyền đi:

P[correct decision|r] = P[ ˆmsent|r]

P[correct decision] =

ZP[ ˆmsent|r]p(r)dr

Mục tiêu của chúng ta là thiết kế một bộ xác định tối ưu làm tốithiểu hoá sai số hay cực đại hoá xác suất xác định đúng

Trang 6

Bộ thu tối ưu MAP và ML

Luật xác định tối ưu ở trên là luật cực đại hoá xác suất hậu nghiệm,còn gọi là luật MAP Luật này viết đơn giản thành

ˆ

m= arg max

1≤m≤M

Pmp(r|sm)p(r) = arg max1≤m≤MPmp(r|sm)Công thức này đơn giản hơn công thức trước do Pm và các xác suất

mô tả kênh p(r|sm) là có thể tính được trực tiếp

Khi các bản tin có cùng xác suất tiên nghiệm, luật xác định tối ưuđơn giản thành

ˆ

m= arg max

1≤m≤M

p(r|sm)

p(r|sm) được gọi là khả năng của bản tin m, và bộ thu được gọi là

bộ thu cực đại hoá khả năng, hay bộ thu ML

Trang 7

Miền xác định

Mọi bộ xác định đều phân chia không gian đầu ra RN thành Mmiền, D1, D2, , DM mà nếu r ∈ Dm, thì ˆm= g (r) = m

Miền Dm được gọi là miền xác định cho bản tin m

Nếu tương ứng với r, hai hay nhiều bản tin cùng cực đại hoá xácsuất hậu nghiệm thì chúng ta có thể gán tuỳ ý r cho một trong cácmiền xác định

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Hình:Miền xác định D D

Trang 11

Khi s2 được truyền đi, bất kể nhiễu thế nào thì r luôn thuộc D2vàkhông có lỗi khi thu

Khi s1 được truyền đi và r thuộc D2 thì sẽ có lỗi và

Pe =1

2P[r ∈ D2|s1= (0, 0) được truyền đi]

=12

Trang 12

Trang 13

Với kênh AWGN thì r(t) = sm(t) + n(t) với n(t) là quá trình

Gaussian trắng giá trị trung bình bằng 0

Với khai triển trực giao/trực chuẩn chúng ta có:

Với i 6= j, ni và nj là không tương quan, và do chúng là các biến

ngẫu nhiên Gaussian, chúng độc lập thống kê

n2(t) không có tương quan và độc lập thống kê với tất cả các biếnngẫu nhiên nj, và do đó độc lập thống kê với n1(t), và không ảnh

hưởng tới quá trình xác định

Trang 14

Xác định tối ưu cho kênh AWGN

Luật xác định MAP cho kênh AWGN là

Trang 15

Đinh nghĩa 3 độ đo thường được sử dụng:

Trang 16

Ví dụ: Xác định tối ưu tín hiệu nhị phân đối cực

Tín hiệu nhị phân đối cực là s1(t) = s(t) = −s2(t) Xác suất cácbản tin là p and 1 − p, số chiều của tín hiệu là N = 1, và vectorbiểu diễn hai tín hiệu là số vô hướng s1=√

Trang 17

Giới hạn của xác suất lỗi trong xác định ML

Với kênh AWGN chúng ta có

Trang 18

Với xác định ML, Dm ′ được biểu diễn thành

2N0





Trang 19

Một giới hạn dưới của xác suất lỗi

Với các sơ đồ tín hiệu M mức đồng xác suất, xác suất lỗi là

Pe= 1M

Trang 20

Trang 21

Tín hiệu có bằng tần hạn chế là các tín hiệu có các đặc điểm sau:

có yêu cầu về băng thông tương đối hẹp (nhỏ),

ít chiều, và số chiều độc lập với số lượng tín hiệu (khác nhau) trong

sơ đồ tín hiệu,

hiệu quả về công suất giảm đi khi số lượng tín hiệu tăng lên

Trang 22

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu ASK

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm tín hiệu là

dmin=r 12 log2M

M2− 1 ζbavgXác suất sai ký hiệu là

Q

Trang 23

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu ASK

Chú ý giá trị trung bình của SNR/bit ζ bavg

N 0 được nhân với 6 log2M

M 2 −1 ,điều này có ý nghĩa là để giữ xác suất lỗi không đổi khi tăng M,SNR/bit phải tăng lên

Với M lớn, tăng gấp đôi giá trị M có ý nghĩa là để tốc độ truyềntăng thêm 1 bit, sẽ đòi hỏi SNR/bit tăng khoảng 4 lần, tức là 6dB

để có cùng độ hiệu quả

Trang 24

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu PSK

Hình:Sơ đồ tín hiệu PSK

Trang 25

Giả thiết các bản tin là đồng xác suất, khi đó các miền xác định dựatrên luật về khoảng cách tối thiểu

Xác suất sai của hệ thống bằng với xác suất sai khi s1= (√

ζ, 0)được truyền đi Vector nhận được là r = (r1, r2) = (√

Với tín hiệu PSK nhị phân, hai tín hiệu s1(t) và s2(t) là đối cực(antipodal), và xác suất sai là

Pe= Pb= Q

r2ζb

N

!

Trang 26

Xác suất sai ký hiệu khi M = 4

Pe= 2Q

r2ζb

N0

! "

1 −12Q

r2ζb

N0

!#

Với M > 4, xác suất sai ký hiệu P có thể tính được bằng phươngpháp số

Đồ thị mô tả sự that đổi về SNR/bit khi M tăng

Với M lớn, tăng gấp đôi số lượng phase yêu cầu SNR tăng 6dB/bit

để có cùng độ hiệu quả

Trang 27

Hình:Xác suất sai ký hiệu của tín hiệu PSK

Trang 28

Giá trị xấp xỉ của xác suất lỗi ký hiệu khi M và SNR lớn là

Pe ≈ 2Q

r(2 log2M) sin2π

Trang 29

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu QAM

Đối với tín hiệu QAM, miền xác định phụ thuộc vào sơ đồ khônggian tín hiệu, và nói chung xác suất lỗi không có dạng đóng

Ta xét hai sơ đồ QAM với M = 4 và giả thiết dmin= 2A cho cả hai

sơ đồ Với các ứng dụng thực tế, xác suất lỗi của hai sơ đồ là nhưnhau

Tiếp theo, ta xét 4 sơ đồ QAM với M = 8 (đều có 2 mức biên độ vàkhoảng cách tối thiểu giữa hai điểm tín hiệu là 2A) Sơ đồ thứ 4 cần

ít hơn 1dB so với hai sơ đồ đầu và 1.6dB so với sơ đồ thứ 3 để cócùng một xác suất sai Sơ đồ thứ 4 này được coi là sơ đồ QAM với

M = 8 tốt nhất

Trang 30

Hình:Hai sơ đồ QAM với M = 4

Hình:Bốn sơ đồ QAM với M = 8

Trang 31

Các sơ đồ QAM chữ nhật thường được sử dụng trong thực tế.Trong trường hợp k chẵn và sơ đồ không gian tín hiệu hình vuông,người ta có thể tính được chính xác công thức xác suất sai, và

Trang 32

Hình:Xác suất sai ký hiệu đối với tín hiệu QAM

Trang 33

Với các sơ đồ QAM không phải là hình chữ nhật, chúng ta sử dụnggiới hạn trên của xác suất lỗi





4-PSK and 4-QAM (cả hai loại tín hiệu đều là 2 chiều) có cùng độhiệu quả với cùng mức SNR Khi M > 4, tín hiệu QAM có độ hiệuquả cao hơn tín hiệu PSK (nếu có cùng mức SNR)

Trang 34

Trang 35

Tín hiệu trực giao (orthogonal), tín hiệu trực giao nhị phân

(biorthogonal), và tín hiệu đơn hình (simplex) được đặc trưng bởi sốchiều của tín hiệu cao

Chúng ta sẽ thấy các tín hiệu này hiệu quả hơn về mặt công suấtnhưng kém hơn về mặt sử dụng băng thông so với các tín hiệu ASK,PSK, và QAM

Trang 36

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu trực giao

Đối với sơ đồ tín hiệu trực giao cùng năng lượng, N = M và biểudiễn không gian tín hiệu là

s1= (pζ, 0, , 0)

s2= (0,pζ, , 0)

Trang 37

Do tính đối xứng trong không gian tín hiệu và khoảng cách giữa haiđiểm tín hiệu bất kỳ là √2ζ, xác suất sai là độc lập với tín hiệuđược truyền đi

Xác suất sai được tính theo công thức

Pe = √12π

Xác suất nhận được các bản tin m = 2, 3, , M, khi s1được truyền

đi là giống nhau, do đó

P[sm received|s1sent] = Pe

M− 1 =

Pe

2k− 1

Trang 38

Chú ý rằng với tín hiệu FSK nhị phân, độ phân tách tần số để bảođảm tính trực giao không làm tối thiểu hoá xác suất lỗi Giá trị phântách tần số để có xác suất sai nhỏ nhất với tín hiệu FSK nhị phân là

∆f = 0.715T

Trang 39

Giới hạn hợp cho xác suất sai

Pe≤ M− 1

−d 2min 4N0

Với tín hiệu trực giao, dmin=√

2ζ và ζb= ζ/k, ta có

Pe < 2k

e−

k ζb 2N0 = e−

ζb N0 −2 ln 2

Rõ ràng là nếu ζ b

N0 > 2 ln 2 ≈ 1.42dB thì Pe → 0 khi k → ∞.Tổng quát, chúng ta có giới hạn Shannon limit là −1.6dB:

q

ζb N0 −√ln 2

2

ln 2 ≤ ζb ≤ 4 ln 2

Trang 40

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu trực giao nhị phân

Một tập hợp M = 2k tín hiệu trực giao nhị phân được xây dựng từ

M/2 tín hiệu trực giao bằng cách đảo dấu (đảo chiều) các tín hiệutrực giao

Trong trường hợp này, ta có N = M/2, và biểu diễn vector các tínhiệu là

s1= − sN+1=(pζ, 0, , 0)

s2= − sN+1=(0,pζ, , 0)

= . = .

sN= − s2N =(0, , 0,pζ)

Trang 41

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu trực giao nhị phân

Giả thiết tín hiệu s1(t) được truyền đi, vector tín hiệu nhận được là

r= (pζ + n1, n2, , nN)với {nm} là các biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập thống kê với nhau,

có phân bố giống nhau, có giá trị trung bình bằng 0 và sai phương

σ2

n= N0/2

Do các tín hiệu là đồng xác suất và có năng lượng giống nhau, bộxác định tối ưu lựa chọn tín hiệu có tương quan chéo lớn nhất vớitín hiệu nhận được

Trang 42

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu đơn hình

Các tín hiệu đơn hình được xây dựng từ tập hợp các tín hiệu trựcgiao bằng cách chia các tín hiệu trực giao cho giá trị trung bình củacác tín hiệu trực giao

Tính chất hình học của các tín hiệu đơn hình giống hệt với tính chấtcủa các tín hiệu trực giao gốc

−1 2ζ N0

Tương tự với tín hiệu trực giao và trực giao nhị phân, xác suất lỗigiảm đi khi M tăng lên

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	1,03 MB