Chuẩn kiến thức toán 12

Về kiến thức : - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số.. Đồ thị của hàm số Về kiến thức : Hiểu một số phép biến đổi đơn giản đồ thị của hàm số phép tị

Chủ đề Mức độ cần đạt Ghi chú

I ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1 Sự liên quan giữa tính đơn

điệu của một hàm số và dấu

của đạo hàm cấp một của

hàm số đó.

Về kiến thức :

- Biết tính đơn điệu của hàm số

- Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.

Về kỹ năng:

Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó

Ví dụ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các

hàm số: y = x4 - 2x2 + 3, y = 2x3 - 6x + 2,

y = 3x 1

1 x

+

− .

Ví dụ Xét sự đồng biến, nghịch biến của

hàm số

1

1

2

−

+

−

=

x

x x

2 Cực trị của hàm số

Định nghĩa Điều kiện đủ để

có cực trị

Về kiến thức :

- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu,

điểm cực trị của hàm số

- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số

Về kỹ năng:

Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số

Ví dụ Tìm các điểm cực trị của các hàm

số y = x3(1 - x)2, y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

Ví dụ Cho hàm số

1

2

2

−

+

=

x

x x

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số (1).

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số.

Về kiến thức :

Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên một tập hợp số.

Về kỹ năng:

Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [- 4; 4]

Ví dụ Tính các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật

có diện tích 48m2

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 6 − 3x trên đoạn [ −1; 1]

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 2x + 4 sin x trên

đoạn 0;

2

π

 .

4 Đồ thị của hàm số Về kiến thức :

Hiểu một số phép biến đổi đơn giản đồ thị của hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ độ, phép đối xứng qua trục toạ độ)

Về kỹ năng:

Vận dụng đợc các phép biến đổi đơn giản đồ thị

Ví dụ Vẽ đồ thị của các hàm số sau bằng cách tịnh tiến hoặc lấy đối xứng đồ thị của các hàm số đã biết:

a) y = (x + 1)2 từ đồ thị hàm số y = x2

của hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ

độ, phép đối xứng qua trục toạ độ) b) y =

2

2

x

- 5 từ đồ thị hàm số y =

2

2

x

c) y = - (x + 2)2 từ đồ thị hàm số y = x2

5 Đờng tiệm cận của đồ thị

hàm số Định nghĩa và cách

tìm các đờng tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang, tiệm cận

xiên.

Về kiến thức :

Biết khái niệm đờng tiệm cận đứng, đờng tiệm cận

ngang, tiệm cận xiên của đồ thị.

Về kỹ năng:

Tìm đợc đờng tiệm đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ví dụ Tìm đờng tiệm cận đứng, tiệm cận

ngang của đồ thị các hàm số a) y = 3x 2

2x 1

− + ; b) y = 2

x 3

+

−

Ví dụ Tìm đờng tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

+

2

6 Khảo sát và vẽ đồ thị của

hàm số Giao điểm của hai đồ

thị Sự tiếp xúc của hai đờng

cong.

Về kiến thức :

- Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)

Về kỹ năng:

- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số

Có giới thiệu điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn

Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :

y = x4

2 - x

2 - 3

2 ; y = - x

3 + 3x +1 ;

y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0),

y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

y =ax b

cx d

+ + (ac ≠ 0)

y =

n mx

c bx ax

+

+ +

2

, trong đó a, b, c, d, m n là các số cho trớc, am ≠ 0

- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phơng trình

- Biết cách viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

- Biết cách viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng cong tại điểm chung

y = 4x 1 2x 3

+

− ; y =

+

2

Ví dụ Dựa vào đồ thị của hàm số

y = x3 + 3x2, biện luận số nghiệm của phơng trình x3 + 3x2 + m = 0 theo giá trị của tham số m

Ví dụ a) Khảo sát hàm số

2 x

4 x x

−

+

−

a) Tìm m để đờng thẳng d(m):

y = mx + 2 –2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ Chứng minh rằng hai đờng cong y

= x 3 + 5

4x – 2 và y = x

2 + x – 2 tiếp xúc với

nhau tại một điểm nào đó Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờngcong đã cho tại điểm đó

II Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Định nghĩa luỹ thừa với số mũ

nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ

thực Các tính chất

- Biết các khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của số thực dơng.

- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực

Về kỹ năng:

- Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa

Ví dụ Tính

2

1

0, 25 16

−

−

 

Ví dụ Rút gọn biểu thức

−

−

+

( với a > 0)

Ví dụ Chứng minh rằng

  < 

   

Ví dụ Cho x = 1 + 2a và y = 1 + 2 -a Tính y theo x.

Ví dụ Rút gọn biểu thức



























 +











1

2

2 2

2 Lôgarit

Định nghĩa lôgarit cơ số a của

một số dơng (a > 0, a ≠ 1)

Các tính chất cơ bản của

lôgarit Lôgarit thập phân Số

e và lôgarit tự nhiên

Về kiến thức :

- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a ≠ 1) của một số dơng

- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit)

- Biết các khái niệm lôgarit thập phân, số e và

Ví dụ Tính

a) 1

27

l g 2

3

o

; b) log 6.log 9.log 2 3 8 6

Ví dụ Biểu diễn log 8 qua 30 log 5 và30 30

log 3

Ví dụ So sánh các số:

lôgarit tự nhiên.

Về kỹ năng:

- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit

a) log 5 và 3 log 4 ; 7

b) log 2 và 0,3 log 3 5

Ví dụ Tìm x nếu log2(log3(log4 x) )= 0

3 Hàm số luỹ thừa Hàm số

mũ Hàm số lôgarit.

Định nghĩa, tính chất, đạo

hàm và đồ thị

Về kiến thức :

- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Biết đợc dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm

số mũ, hàm số lôgarit

- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Về kỹ năng:

- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm

số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit

- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Tính đợc đạo hàm các hàm số luỹ thừa, mũ và lôgarit

Ví dụ Vẽ đồ thị của các hàm số :

a) y = 3.2x b) y = 2x− 4

Ví dụ Vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = 2 1

2

log x ; b) y = 1 2

2

log x

Ví dụ Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 2xex + 3sin 2x ;

b) y = 5x2 - ln x + 8cos x

Ví dụ Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y =ecos 2x ;

b) y=x+ ln sinx+ cosx .

4 Phơng trình, hệ phơng

trình, bất phơng trình mũ và

- Giải đợc phơng trình, bất phơng trình mũ: phơng pháp đa về luỹ thừa cùng cơ số, phơng pháp lôgarit hoá, phơng pháp dùng ẩn số phụ, phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số

- Giải đợc phơng trình, bất phơng trình lôgarit:

ph-ơng trình đa về lôgarit cùng cơ số, phph-ơng pháp mũ

hoá, phơng pháp dùng ẩn số phụ, phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số.

- Giải đợc một số hệ phơng trình, hệ bất phơng trình mũ, lôgarit đơn giản.

Ví dụ Giải phơng trình

  = 

Ví dụ Giải phơng trình 2.16x - 17.4x + 8 = 0

Ví dụ Giải phơng trình 5x + 12 x = 13 x

Ví dụ Giải phơng trình log4 (x + 2) = log2 x

Ví dụ Giải các hệ phơng trình:

2

x y

 + =

 − =

2

log log y 1

x



Ví dụ Giải bất phơng trình

9x - 5 3x + 6 < 0

Ví dụ Giải bất phơng trình

log 0,5 (4x +11) < log 0,5 (x 2 + 6x + 8).

III Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1 Nguyên hàm

Định nghĩa và các tính chất

của nguyên hàm Kí hiệu họ

các nguyên hàm của một hàm

số Bảng nguyên hàm của một

số hàm số sơ cấp Phơng pháp

đổi biến số Tính nguyên hàm

từng phần

Về kiến thức :

- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Về kỹ năng:

- Tìm đợc nguyên hàm của một số hàm số tơng

đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần.

- Sử dụng đợc phơng pháp đổi biến số (khi đã chỉ

rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm.

Dùng kí hiệu ∫f(x)dx để chỉ họ các nguyên hàm của f(x)

Ví dụ Tính

3

2

x dx

x+

Ví dụ Tính ∫(e2x+5)3 2e dx x

Ví dụ Tính ∫xsin 2x dx

Ví dụ Tính dx

1 x 3

1

(Hớng dẫn: đặt u = 3x + 1)

Ví dụ Tính dx

2

x sin 2

∫

2 Tích phân

Diện tích hình thang cong

Định nghĩa và các tính chất

của tích phân Phơng pháp tích

phân từng phần và phơng pháp

đổi biến số để tính tích phân

Về kiến thức :

- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong

- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn − Lai-bơ-nit.

- Biết các tính chất của của tích phân

Về kỹ năng:

Ví dụ Tính

2 2 3 1

2

dx x

−

Ví dụ Tính

2

2

sin 2 sin 7x x dx

π

π

- Tính đợc tích phân của một số hàm số tơng đối

đơn giản bằng định nghĩa hoặc phơng pháp tính tích phân từng phần.

- Sử dụng đợc phơng pháp đổi biến số (khi đã chỉ

rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân

Ví dụ Tính

1

1

2 (x 2)(x 3)dx

Ví dụ Tính ∫2 +

1

dx 2 x

(Hớng dẫn: đặt u = x + 2)

1 x x

1 x 2

1

∫

+

(Hớng dẫn: đặt u =x 2 + x + 2).

Ví dụ Tính (e x)sinxdx

0

x cos

∫

π

3 ứng dụng hình học của tích

phân.

Về kiến thức :

Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân

Về kỹ năng:

Tính đợc diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đờng thẳng y = - x

Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol

y = x(4 - x) quay quanh trục hoành

IV Số phức

1 Dạng đại số của số phức

Biểu diễn hình học của số

phức Các phép tính cộng, trừ,

nhân, chia số phức.

Về kiến thức :

- Biết dạng đại số của số phức

- Biết cách biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp

Về kỹ năng:

Ví dụ Tính:

a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i)

b) (2 - 3 i)(1

2 + 3 i)

c) (1 + 2 i)2

Thực hiện đợc các phép tính cộng, trừ, nhân, chia

3 2

i i

− + .

2 Căn bậc hai của số phức.

Giải phơng trình bậc hai với

hệ số phức.

Về kiến thức :

- Biết khái niệm căn bậc hai của số phức.

- Biết công thức tính nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số phức.

Về kỹ năng:

- Biết cách tính căn bậc hai của số phức.

- Giải đợc phơng trình bậc hai với hệ số phức.

Ví dụ Tính căn bậc hai của các số phức

3 + 4i, 5 - 12i

Ví dụ Giải các phơng trình (trong tập số phức):

a) x 2 + x + 1 = 0

b) x 2 - 3x + 4 - 6i = 0

c) 2x 2 + ix - 4 - 2i = 0

3 Dạng lợng giác của số

phức và ứng dụng.

Về kiến thức :

- Biết dạng lợng giác của số phức.

- Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng.

Về kỹ năng:

- Biết cách nhân, chia các số phức dới dạng lợng giác.

- Biết cách biểu diễn cos3α, sinn4a, qua cosα

và sinα.

Ví dụ Viết số 1 + i dới dạng lợng giác rồi

tính (1 + i) 15

V Khối đa diện

1 Khái niệm về khối đa

diện Khối lăng trụ, khối

chóp, khối đa diện Phân chia

và lắp ghép các khối đa diện

Về kiến thức :

- Biết khái niệm khối đa diện

- Biết khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện

2 Giới thiệu khối đa diện đều

Về kiến thức :

- Biết khái niệm khối đa diện đều

- Biết 5 loại khối đa diện đều.

3 Khái niệm về thể tích khối

đa diện Thể tích khối hộp chữ

nhật Công thức thể tích khối

lăng trụ và khối chóp

Về kiến thức :

- Biết khái niệm về thể tích khối đa diện.

- Biết các công thức tính thể tích các khối lăng trụ

và khối chóp

Về kỹ năng :

Tính đợc thể tích khối lăng trụ và khối chóp

Ví dụ Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh

đáy bằng a, góc SAC bằng 45° Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Ví dụ : Cho khối hộp MNPQM'N'P có thể tích

V Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V

Ví dụ Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy

điểm I sao cho PI PQ

3

1

= Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện MNIQ và MNIP

VI Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

1 Mặt cầu

Giao của mặt cầu và mặt

phẳng Mặt phẳng kính, đờng

tròn lớn Mặt phẳng tiếp xúc

với mặt cầu

Giao của mặt cầu với đờng

thẳng

Tiếp tuyến của mặt cầu

Công thức tính diện tích mặt

cầu

Về kiến thức :

- Hiểu các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đ-ờng tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu

- Biết công thức tính diện tích mặt cầu

Về kỹ năng:

Tính đợc diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Ví dụ Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'

a) Tính cạnh của hình lập phơng đó theo R

b) Mặt phẳng kính chứa cạnh AB cắt hình lập phơng theo một thiết diện Tính thiết diện tạo thành.

Ví dụ Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh

đáy bằng a, góc SAC bằng 600 Xác định tâm

và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD

Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Tính diện tích của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ

2 Khái niệm về mặt tròn

xoay.

Về kiến thức:

Biết khái niệm mặt tròn xoay

3 Mặt nón Giao của mặt

nón với mặt phẳng Diện tích

xung quanh của hình nón

Về kiến thức :

Biết khái niệm mặt nón và công thức tính diện tích xung quanh của hình nón

Về kỹ năng:

Tính đợc diện tích xung quanh của hình nón.

Ví dụ Cho một hình nón có đờng cao bằng

12cm, bán kính đáy bằng 16cm Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

Ví dụ Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh

đáy bằng a, góc SAB bằng 300 Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh O, đáy là đờng

tròn ngoại tiếp ABCD

4 Mặt trụ Giao của mặt trụ

với mặt phẳng Diện tích xung

quanh của hình trụ

Về kiến thức :

Biết khái niệm mặt trụ và công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ

Về kỹ năng :

Tính đợc diện tích xung quanh của hình trụ Ví dụ Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua

trục của khối trụ đợc một hình vuông cạnh a Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó

VII Phơng pháp toạ độ trong không gian

1 Hệ toạ độ trong không

gian

Toạ độ của một vectơ Biểu

thức toạ độ của các phép toán

vectơ Toạ độ của điểm

Khoảng cách giữa hai điểm

Phơng trình mặt cầu

Về kiến thức :

- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của điểm, biểu thức toạ

độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai

điểm

- Biết khái niệm và một số ứng dụng của tích vectơ

(tích có hớng của hai vectơ)

- Biết phơng trình mặt cầu

Về kỹ năng:

- Tính đợc toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số; tính đợc tích vô hớng của hai vectơ

- Tính đợc tích có hớng của hai vectơ Tính đợc diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng

Ví dụ Cho ba vectơ a = ( 1; −2; 4),

b= ( −5, 2; 3), c = ( −1; 1; 2)

a)Tính toạ độ của vectơ d = 2a + 3b−c

b) Tính a.b

Ví dụ Cho a=( 1 ; 2 ; 3 ) và b=( 5 ;−1 ; 0 ) Xác định vectơ csao cho c⊥a và c⊥b.

Ví dụ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(−1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(−1; 1; 0), A'(2; −1; −2).

a) Tính diện tích đáy ABCD.

b) Tính thể tích của hình hộp

c) Tính độ dài đờng cao của hình hộp xuất phát từ đỉnh A'.