phuong trinh va bpt mu (VD co loi giai)

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỦ 1.. Nếu m, n R thì điều kiện a, b > 0 khi đó các tính chất như trên II.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ.. PHƯƠNG PHÁP: Cho phương t

Trang 1

Phương trình mũ và bất phương trình mũ

§5:PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỦ

1 CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐẲNG THỨC

Cho a ; b R* và m ; n Zkhi đó ta có các tính chất sau

- TC1: a m a n a mn



- TC2 : a n m a n.m



b a b

a 

n

m

a a



n n

b

a b

a















- TC6: a ma n  n m

2 Chú ý

Nếu m, n R thì điều kiện a, b > 0 khi đó các tính chất như trên

II.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

a PHƯƠNG PHÁP:

Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa)

Biến đổi phương trình (1)

    

**









khi đó ta có

- PT (*)  h x  p x 

0

x





 



b Các ví dụ

Giải các phương trình sau

2

3 2



1

x x









1

x





3

x



3.4.9 x 1 3.22x 12





  2 x 1  1 2x 1 2

2





 

  3 2x 3 22x 32



 

2x 3

2



 



 

 

2



4.4 x 2   10.3 x  2.3 x 3   11.2 2x  27.4 x  64.3 x  4 x 4 3

3 3

   



   

4  3  3  2  

2x 1 2

 

 



 

 

2



6.3x 1 18 2 32x  2x x 1



2 2

x

Trang 2

7.x x 1   x x2 1 , x 0 

Khi x = 1 PT 1 2  1 0 đúng

Khị x  1 và x > 0 PT  x + 1 = x2 –1  x2 – x – 2 = 0  x = 2 ; -1(loại)

Vậy: Nghiệm x = 1 ; 2

8.x x  x x ĐK: x > 0

Khi x = 1 PT  1 1  1 1  1 = 1 đúng

Khi x  1 và x > 0 PT  x x  xx2  x x

2

  x2 – 4x = 0  x = 4 ; 0 (loại) Vậy ghiệm x = 1 ; 4

9.16 1010 0.125.8 155



10 2 3 5x 3 x 2 x 1 4000

  40.2 3 5x x x 9.4000 30x 900 30x 302  x2

11.5x2 3x2  1 2 5 x2  1 3x2  2

12 2x2 x 4.2x2 x 22x 4 0 2x2 x.22x 4.2x2 x 22x 4 0 2x2 x22x 4 22x 4 0

2

x

x x





8

c BÀI TẬP

Giải các phương tình sau

1 2x 128

3 729

x

3 34 2  x 95 3  x x 2

5

5 33x 4 92x 2

7

7 32 57 0.25.128 173

2

sin 2

1

25

x

4







  



4





3 3

1

x x

x





11 3x 1 6 2 3x x x 1

3

x 

15 32x 3.52x 3 3 53x 3x

17 2 7x 4 x 4 2 73x 3x

19 2x2  1 3x2 3x2  1 2x2  2

2

x 

Trang 3

21 5x 1 5x 2x 1 2x 3

2

9 log

2 2

23 5x12 9x 32x 2 5x12

25 x2x2 x 5x2x10ĐS 1

5

x x





 26 x2 5x4x24  ĐS 1

2 2

x x









27 x 3x2x x 32ĐS

1 2 4

x x x







 



28 x1 x3  ĐS x = 31

29 2x 3 3x2  2x 6 3x2  2x 5 2x

3

2 4log 2

x x







30 x2.2x 1 2x 3 2  x2.2x 3 4  2x 1

31 4x2 x 21 x2 2( 1)x 2 1

   HD 2x22x1 22x2 x.21 x2



32 4x2  3x 2 4x2  6x 5 42x2  3x 7 1

   HD 42x23x7 4x23x24x26x5



34 3log 2xxlog 3 2 6

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ

a PHƯƠNG PHÁP

Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau khi biến đổi có dạng a h x  b g x   * với 0a b, 1ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế của

a b







b Các ví dụ

1 3 2x x x11 72

1 1

lg 3 2 x x x  lg 72

1

x x

x





x 1 lg3x x 1 lg2 x 1 lg72

2

lg3

x





2 73x 9.52x 52x 9.73x

3 3.2x 15.2x 2 21x 2  6.2x5.2x 4.2x 21 7.2x 21 2x  3 xlog 32

4 5 8x x x1 500

Trang 4

3

x

2

5

3 1 log 2

x x





5 4.9x 1 3 22 1x

6 5 2x 2 1x x1 50

1

x





2

lg5

x





7 2x 3 5x2  5 6x

5

3

2 log 2

x

 



8 3 8x x x1 36

2

1

x



2

9 3x 3 5x2  7 12x

x 3 x 3 x 4 log 5 3

5

3

4 log 3

x

 



2







c BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1 2x2 2x 3

2

x x



2x  5x

2

1 log 5 log 5 2

x 



3 6x + 8 = 2x + 1 + 4.3x HD 6x 3 2x x

9

21 log 62

x 

5

1

9

2

x

  

 

7 2x + 3 + 3x - 1 = 2x -1 + 3x 8 34x 43x

Trang 5

9 2x2  1 5x 1



3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

a TH 1 Nếu phương trình có dạng :

   

     

2





- Phương pháp.

Đặt t = f x 

 ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành

2

a t b t c

a t b t c t d





Giải phương trình tìm t suy ra x

- Ví dụ

9x  x 10.3x  x 1 0

9

t t







2

0

2 0





2 2x2 x 22  x x2 3

Giải: PT

2

2 4

2

x x



2x x

4

t







2x x 4

3 23x 1  7.2 7.22x x 2 0

Giải:

PT  2.2 7.2 7.23x  2x  x  2 0

Đặt t2 ,x t0 PT trở thành 2t3 7t2 7t 2 0  ( 1)(2t t2 5t2) 0 1

2

     

Giải:

2

2 1 1

 

Đặt t3 1 x2PT trở thành 3t2 (m2)t2m 1 0

ĐK 1≤ x ≤1 3 t 9

Ta tìm a để PT 3t2 (m2)t2m 1 0 có nghiệm t thỏa 3 t 9

2

t



2

f t

t



đường thẳng d: y = m trên đoạn 3, 9 

Trang 6

2

f t

t



2 /

2

f t

t



4 1 0

t

  

 



Bảng biến thiên

2

x  x x  x

2.2 x  x 5.2 x  x 2 0

6 5.23x 1  3.25 3x 7 0 Đặt:  t 2  3(x 1) > 0

Khi x  1 PT trở thành 5t 12 7 0

t  5t2 7t 12 0   

 



 



t 1 12

t loai 5

 2 3 x 1    1

Khi x < 1 PT trở thành  7t 7 0    t = 1  2 3 x 1    1

  x = 1 (loại)

Vậy nghiệm x = 1

7 2 x  2  2 x 1   1 2  x 1   1

Đặt t = 2 x 1  > 0 PT trở thành t t 1 1 0    

Khi t  1 PT  0t + 1 –1 = 0 đúng t  1  x  -1

 1  1

t 2

2 > 0  x = 2 Vậy nghiệm: S  1;

x x



Đặt t  PT trở thành t2x 2 + 10t -144 = 0 18

8

t t





t

  

 



10 8.3 x 4x 94x 1 9 x

2

- Bài tập

1 8x 3.4x 3.2x1 8 0

2

x x





3 9x2  1 3x2  1 6 0

5 9x2  1 36.3x2  3 3 0

1 2

x x











6 4x x2  2 5.2x x2   2 1 6 0

2

x 

9 2x2x 22  x x2 5

t - 3 9 +

f/(t) + 0 - - 0 + +

38 f(t)

Trang 7

11 5x2  1 51 x2 24 0

2 3

100

x

10

x

15 53x 9.5x 27 5  3x 5x 64 0

2

x

17 5.32x 1 7.3x 1 1 6.3x 9x 1 0

19 4 x 1 3    x 14.2 x 1 3    x 8 m

20 9x - 2.3x + 2 = m Tìm giá trị m phương trình có nghiệm x  (- 1;2)

21 4x - 2x + 3 + 3 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm x  (1; 3)

22 9x 1 - x  2 8.3x 1 - x 2 4 m

23 9x - 6.3x + 5 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 1 nghiệm x  0; + )

24 4| |x 2| | 1x 3 m

25 4x - 2(m + 1).2x + 3m - 8 = 0 Tìm giá trị m phương trình có hai nghiệm trái dấu

9x  4.3x   Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.6 m

b TH 2 Nếu phương trình có dạng :a.2f x  b . f x  c.2f x  0

Chia hai vế của phương trình cho

 

2

f x









   

2

0

Đặt t =

 

f x





ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành a t.2b t c  0 Giải phương trình tìm t suy ra x

- Ví dụ Giải các phương trình sau

1 3.8x 4.12x 18x 2.27x 0

Giải

PT

3

x

t  

  , t>0 ta có PT trở thành3t34t2 t 2 0

1 2 3

t t









 



3

2 2x 1 2x 3x 1   9x 1

Giải:

 x 1

2x 1 x 1

2 2.3 9      

 x 1

2x 2 x 1

2.2 2.3 9       

   

   

2x 2 x 1

Đặt

1 2

3

x

t



 

  ĐK t > 0 PT trở thành 2t2 + t – 1 = 0

1 1 2

t t









 



chọn t 1

2 

1

x 



1

3

2

x 



2

1 log 2

2 log 3

- Bài tập

Trang 8

3 32x 4 45.6x 9.22x 2 0

2

25x 3.10x 2x  0

7 32x2  6x 10 4.15x2  3x 5 2.52x2  6x 10 0

9 6.9x 13.6x 6.4x 0

11 5.251x 3.101x  2.41x ĐS x = - 1 12 49x 1 35x 1 25x 1 0

c TH 3.Nếu phương trình có dạng :a.f x  b.f x    trong đó c 0  1

- Phương pháp

t

   ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành a t 2c t b  0 Giải phương trình tìm t suy ra x

- Ví dụ Giải các phương trình sau

1  2 1  x 2 1 x 2 2 0

Giải

Đặt t  2 1 xta được PT t 1 2 2

t

2 1

t t

 



1 1

x x







2 2 3x2 3x 14

Giải

x

t 2 3 ĐK t > 0 PT trở thành t 1 14

2

3  2  3x 2  3x 4

x

t 2 3 ĐK t > 0 PT trở thành t2 – 4t + 1 = 0  t 2  3  x =  2

- Bài tập

9 26 15 3 x2 7 4 3  x 2 2  3x1 0 10 2 3 x 2 3  x  5 x

11 7 3 5x m7 3 5x 2x 3

4 ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM LÀ DUY NHẤT

a Phương pháp

Trang 9

- Nếu phương trình cần giải có dạng

 

   

1 2

f x





0

x 

- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ f x 

(C/) của hàm số mủ g x 

y b

- Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ f x 

(C/) của hàm sốy g x  

- Từ tính chất

Nếu hàm số yf x là một hàm số đồng biến và hàm số y g x  là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại thì (C) và (C/) cắt nhau tại duy nhất một điểm

- Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệmx0 

- Chú ý:

Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

+ B1: Lập bảng biến thiên của hàm số

+ B2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)

b Ví dụ Giải các phương trình sau

Phương trình (1) có một nghiệm x = 2

y    

với đường thẳng d:y = 1

y    

trình có duy nhất nghiệm x = 2

2 6x 2x 32

2

x

Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 2

y   với đồ thị

2

x

y  

2

x

y  

  nghịch biến trên R nên (C) cắt (C/) tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = 2

3

 

 

 

  (1)

Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = -1

Trang 10

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ y 1 x

3

 

 

thẳng d:y = x + 4

3

 

 

  nghịch biến trên R, hàm số y = x + 4 đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = -1

4 x.2xx3 x2 2 x1

Giải:

 

2

2 0

x

x x





Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ y  với đường 2x

thẳng d :y = 1- x

y  đồng biến trên R, hàm số y 1 xnghịch biến trên R nên dcắt (C) tại duy nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)

2

x x











5 x23x 1 x3x 2x 2 2 x 3x 1

Giải:

1



1

2 0

x x



 





 

2

1

x



 



Giải PT (1)

3

x

y   

3x  3

3

x

y   

3x  đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy 3 nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)

2

x x







2

2 1

3 x x

x



 

Giải

Trang 11

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số  

f x

x

 

thị (C/) của hàm số mủ   32x x2

2

1

x





 

 0

x

Bảng biến thiên:

- Xét hàm số g x  32x x 2; g x/  2 1 x32x x 2ln 3;g x/  0 x 1

0

x

 



Dựa vào hai bảng biến thiên ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

1

x









 

3 3

f x

g x









Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 1

c BÀI TẬP

5 4x2 (x2 7).2x2 12 4 x2 0 6 9x2x 2 3 x2x 5 0

x

y

x 0 1

y/ - 0 +

3

y

x 0 1

y/ + 0

Trang 12

§6:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ

0

a b khi m



 TC2 : Nếu a > 1 thì a n a khi n m m 

TC3 : Nếu 0 < a < 1 thì a n a khi n m m 

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

a PHƯƠNG PHÁP

h x p x











(1) (Trong đó h(x) và p(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa)

TH 1 :Biến đổi phương trình (1)

f x g x

khi a

f x g x





hoặc

TH 2 :Biến đổi phương trình (1)

f x g x

khi a

f x g x







b ví dụ.Giải các bất phương trình sau

1

2 4 12

1

1 3

x  x

 



 

 

2

 

4

x x

 

2

1

3

x x

 

 

- Nếu x  0 BPT  x2 2x 1 2x  2

3x  2x  PTVN.1 0

3

16

x

2 x 2

5 2x 2 2x 3 2x 4 5x 1 5x 2

5

x



6



 x6 2x3  1 1 x x31 1  x

- Nếu 1 – x < 0  x > 1 BPT đúng với x > 1

- Nếu 1 – x = 0  x = 1 BPT  0 > 0 sai

- Nếu 1 – x > 0  x < 1 BPT  -x3 + 1 > 1 – x  1 + x + x2 < 1  -1 < x < 0

Vậy: Nghiệm S = (-1 ; 0)  (1 ; +)

7 25.2x 10x 5x 25

Giải BPT  2 (5x 2 5 ) 5x 2 5x

x x





x x





2

x









2

x x









  0 < x < 2

Trang 13

8 4x2 x.2x2  1 3.2x2 x2.2x2 8x 12

      4x2 2x 3 2x2x2 2x 3  0

 x2 2x 3 4 2   x2  0 2

2





2









3

x x

  







(a)

x x





Từ (a), (b) ta có tập hợp nghiệm của bất phương trình là D =    2  1, 33, 

9 52x 1 6x 1 30 5 30x x

Giải :BPT  5.52x 6.6x 30 5 62x x

x x

 







x x

 









6

5

log 5

1

log 6 2

x













(II) vônghiệm Vậy tập hợp nghiệm là

1

log 6 log 5

Giải Đk 5x 7 0  xlog 75

2

Kết hợp Đk ta có tập hợp nghiệm log 75  x 2

c BÀI TẬP

Giải các bất phương trình mũ sau

1 5x2  7x 12 1

3

x



4

2 3

x  x

 



 

 

5



6

2



7

2

3

x

x x  

  

 

8

2

7 1

7 7

x





x x

x





x





13 62x 3 2 3x 7 3x 1



15 5x 3x 1 2 5 x 1 3x 2

Trang 14

17 2x 3 5x 7.2x 2 3.5x 1

21 2x 23 x 9

23 22x 1 22x 3 22x 5 27 x 25 x 23 x

3

26 2 5 x 3x2 2x2 3 2 5x x  x 3x2 4 3x2 x

27 3 5x 2x2 3 3 5 3 5x x x 2x2 9 5 x x

3 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

a TH 1 Nếu bất phương trình có dạng :

2





Đặt t = f x 

 ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành

2

2 2

2

a t b t c





Giải bất phương trình tìm

t suy ra x

- Ví dụ Giải các bất phương trình sau

1

128 0

Giải:BPT  2 6x 8.2 3x 128 0

Bất PT trở thành t2 – 8t – 128  0  (t + 8)(t – 16)  0  t  16  3 4

2 x 2

  x 4

3



4x  2x  3 0

2 x  2x 12 0 Đặt

1

t   Bất PT trở thành t 2  t 12 0    -3  t  4  0  t  4  0 2 1x   4

1

2 0

x 

1 2

0

x x



1 0

2

3 32x 8.3x x 4 9.9 x 4 0

Giải: ĐK x + 4  0 x4

Đặt t = 3x x 4 với t > 0

9

x x

t

 

 





2 0

x



 

 2

2

5

x





Trang 15

4

2 2

2

3

x x



 

Đặt t 3x2  2x,t 0

5 15.2x 1 1 2x 1 2x 1

Giải:Đặt t = 2x với t > 0 ta có BPT trở thành 30 1t  t 1 2 t

- Khi t =1 thỏa BPT

1

t





 

1

t





 



1 t 4

  

1

30

 





1



t

  







t t

  



 

 

- Kết hợp các trường hợp và điều kiện t >0 ta có 0 t 4  0 2 x 4 x2

6 Định m để bất PT sau có nghiệm 9x m.3xm  (1)3 0

Giải:

Đặt t   3x 0

2

1

t





1

t

m khi t t





1

t

f t

t







2

1

3 1

t

t t





Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị m để thoả mãn bất phương trình (1)

1



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của là m  6 thoả mãn bất phương trình (2)

Vậy m  6 thì BPT có nghiệm

- Bài tập

y

t 1 3 

f(t)/ - 0 +

6

y

t 0 1

y/ - - 0

-3

 

Trang 16

Giải các bất phương trình sau

5 32x 8 4.3x 5 45 0

7 5x 1 51 x 24 0

2 3

2

x x



9

1

10

2 3

3

x x



 

11 3.7x 1 7x 4 0

1

0

x





 13

1 1

5

x





x









   

2

0 0

f x











nên chia hai vế của bất phương trình cho

 

2

f x









2

 





Đặt t =

 

f x





ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành

2

a t b t c





Giải bất phương trình tìm t suy ra x

- Ví dụ Giải bất phương trình sau 2.14x 3.49x 4x 0

Giải:

BPT

2

x

t   

  với t > 0 BPT trở thành 3t2 + 2t – 1  0

1

1 1

3 3

t

t t







 



x

7 2 log 3

x

- Bài tập Giải các bất phương trình sau

3 25x2  2x 1 9x2  2x 1 34.15x2  2x

5 12.9x+1 - 35.6x+1 + 18.4x+1  0 6 25x12 3.10x 22x 1

7 32x2  6x 10 4.15x2  3x 5 2.52x2  6x 10

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,33 MB