Chuyên đề phương trình, bất phương trình lũy thừa, mũ logarit có lời giải chi tiết

Tổng hợp chuyên đề bài toán về phương trình, bất phương trình lũy thừa, mũ, logarit chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về phương trình, bất phương trình lũy thừa, mũ, logarit lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

- CÓ LỜI GIẢI CHI

TIẾT-50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ,

LOGARIT - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1: Số nghiệm của phương trình 4x 2x 2  là:3 0

Câu 10: Phương trình 9x 3x 6 có nghiệm là:0

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 1 2 1 2 1.

Câu 41: Tìm nghiệm thực của phương trình 2x  7.

2

x 

Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình 1 2 1

22

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 8: Chọn D.

Phương pháp:

Giải phương trình logarit có bản: loga x b x a bx0,0a 1

0

b a

+) Từ giả thiết log2a 1 3, tìm a.

+) Thay a vừa tìm được vào log4 3

- Biến đổi phương trình về dạng tích

- Giải phương trình mũ cơ bản a x m m( 0) xloga m

Cách giải:

x x

x

x x

x x

+) Tìm ĐKXĐ của các hàm số logarit

+) Sử dụng phương pháp giải phương trình lôgarit cơ bản

+) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm

log

0

b a

b

f x a

f x a

Phương pháp:

+) Giải phương trình mũ cơ bản bằng cách đưa về phương trình bậc hai để tìm nghiệm

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai và công thức lũy thừa: a m.a na m n .

x x

Câu 39: Chọn C.

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số Dựa vào phương pháp giải bất phương trình lôgarit cơ bản

Cách giải:

+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: x1 x2 b

+ Nếu 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên R.

+ Nếu a > 1: Hàm số đồng biến trên R

 

1 2 64

1

2

50 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

- CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1+2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 2

A.10 10 9 B 10 C 1 D 1010

Câu 11: Phương trình 1log 3 3 1log9 14 2 log94 

Câu 15: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log 2 x log 16 logx  2x là:1

Câu 22: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 9x 2016.3x2018 bằng:0

A.log 34 m1 B log 34 m1 C 1mlog 3.4 D 1mlog 3.4

Câu 37: Tập nghiệm của phương trình 9x1272x1 là:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Ta có: x1x2 3 log2 1t log2 2t  3 log2t t1 2  3 t t1 2 8

Do đó để phương trình ban đầu có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1x2 3 thì phương trình (*) có 2 nghiệmdường phân biệt thỏa mãn t t 1 2 8

+) Giải phương trình logarit:    

       

3 3

log x log 16x log x (Điều kiện: 1, x0,x1)

x x

t t

Đặt t3xt0 , khi đó phương trình trở thành t2 2016t2018 phương trình này có hai nghiệm0,dương phân biệt t t1 2; Theo định lí Vi-et ta có t t 1 2 2018.

*Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trên 0;

*Nếu a > 1: Hàm số đồng biến trên 0;

Phương trình đã cho tương đương với: log10x2 3 log10 log10  x  5

x x

Do mỗi giá trị của t có một giá trị của x nên phương trình đã cho có 2 nghiệm khi phương trình g t   3m có

x x

x x

f x a

+) Tách 15 = 3.5, đưa phương trình về dạng VT là hàm mũ cơ số 3 và VP là hàm mũ cơ số 5

+) Sử dụng phương pháp logarit hóa

x x

50 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT

– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ – LOGARIT

Câu 1: Đặt ln 2a, log 45 b Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 9: Cho a là số thực dương khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x,y?

A loga x loga x logb y

C loga x logax y

log

a a

a

x x

Câu 18: Cho log3m;log 5n Khi đó log 459 tính theo m, n là:

2

n m

2

n m

Câu 20: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hàm số ya x với 0a1 là hàm số đồng biến trên   ; 

đối xứng với nhau qua trục tung

C Hàm số ya x với a > 1 là một hàm số nghịch biến trên   ; 

D Đồ thị hàm số ya x với 0a1 luôn đi qua điểm (a;1)

Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?

Câu 25: Với a, b là các số thực dương Biểu thức loga a b2 bằng:

Câu 26: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log3 log9 log27 log81 2

3

b c

Câu 29: Cho a là số thực dương khác 1 Khẳng định nào dưới đây là sai?

2

1log 2

Câu 33: Cho hai hàm số f x  log0,5x và g x  2x Xét các mệnh đề sau:

(I) Đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y x

(II) Tập xác định của hai hàm số trên là R

(III) Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại đúng một điểm

(IV) Hai hàm số đều nghịch biến trên tập xác định của nó

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Câu 35: Biết rằng m, n là các số nguyên thỏa mãn log5405 1 m log5402n log5403 Mệnh đề nào sauđây là đúng?

Câu 43: Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < 1 < c < d Số lớn nhất trong các số

loga b, logb c, logc d, logd a là:

Câu 44: Cho hàm số ylog5x Mệnh đề nào sau đây sai?

A Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung

B Tập xác định của hàm số là 0;

C Hàm số nghịch biến trên tập xác định

D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục tung.

Câu 45: Cho 0 < a < 1 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Nếu 0x1x2 thì loga x1loga x2

A Hàm số luôn đồng biến trên R.

B Hàm số luôn nghịch biến trên R

C Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng   ; 1 

D Hàm số luôn đồng biến trên khoảng   ; 1 

Câu 50: Biết đồ thị (C) ở hình bên là đồ thị hàm số ya xa0,a1  Gọi  C' là đường đối xứng với(C) qua đường thẳng yx Hỏi (C’) là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

41-A 42-A 43-A 44-C 45-D 46-A 47-B 48-B 49-D 50-D

a b

Biến đổi, đưa biểu thức đã cho về 1 trong 4 đáp án

+) Biến đổi các công thức trong các đáp án bằng các công thức của hàm logarit

+) Với 0a1 ta có hàm số loga f x   0 f x 1 và loga f x   0 f x  1

Cách giải:

b a

c c

b a

Dùng các công thức log 1 ;log   log log , 0 1, , 0

+) Hàm số ya x với 0 < a < 1 nghịch biến trên tập xác định D  nên A sai

+) Hàm số ya x với a > 1 đồng biến trên tập xác định D  nên C sai

+) Hàm số ya xvới 0aa luôn đi qua điểm (1;a)

Điểm có tọa độ (a;1) không thuộc đồ thị hàm số vì a  với a 1 0a1 nên D sai

Sử dụng công thức log n 1loga

yx tuy nhiên A’ không thuộc đồ thị hàm số ylog0,5x ( )I sai.

(II) Hiển nhiên sai vì TXĐ của hàm số ylog0,5x là 0;  ( )II sai

(III) Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x log0,5x f x  2x log0,5x 0

Với mọi a > 1, ta có   1 1 5 2 1 log 1 5 2 0

x x

Cách giải:

Nếu 0 < a < 1 thì loga bloga c bc

Nếu a > 1 thì loga bloga c bc

a x

Đồ thị hàm số yloga x và đồ thị hàm số ya xa0,a đối xứng nhau qua đường thẳng 1 yx.

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ LOGARIT

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1 Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

1 2

2 2

2

x x

x x

Câu 14 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x m.2x 1 3m 3 0

Câu 19 Cho phương trình 1

phương trình trên có hai nghiệm dương phân biệt Biết S là một khoảng có dạng a b Tính ;  b a

phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 1 Tính giá trị biểu thức A a b  5c2d

Câu 30 Cho phương trình  5 1 x2m 5 1 x 2x Tìm tất cả giá trị thực của tham số m

để phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Câu 39 Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2 1  x 2 1 x m có đúng hai0nghiệm âm phân biệt

Câu 46 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin 2x3cos 2x m.3sin 2x có nghiệm

hàm f t để tìm được nghiệm duy nhất của   f t  a.Thay vào (*) và đưa về phương trình bậc hai sau đó

áp dụng định lý Vi-et để tìm tích hai nghiệm



Phương trình đã cho trở thành log2t 2t 5

Áp dụng định lý Vi-et ta có tích hai nghiệm của phương trình đã cho là 1

2

Câu 2 Chọn A.

Phương pháp:

Từ phương trình log9 xlog6 ylog4x y , đặt log9xlog6 ylog4x y  t, đưa về phương trình ẩn

t và giải phương trình đó, sao đó suy ra tỉ số x

+) Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x x thì phương trình ẩn t phải có 2 nghiệm t dương phân biệt 1, 2

1 2 ,x 2 2x 1 log2 1; 2 log2 2

+) Áp dụng công thức: x1x2 log2 2t log2t t1 2

+) Đến đây ta áp dụng điều kiện bài cho và hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai ẩn t để tìm điều kiện củam.

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Cách giải: Điều kiện: x     ;1 2;

52

Tìm điều kiện của m để bất phương trình luôn có nghiệm trên tập K:

+ Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m > f(x) hoặc m < f(x)

+ Đặt ẩn phụ nếu cần, tìm điều kiện của ẩn phụ

+ Xét hàm số f(x) (hoặc g(t) nếu đặt ẩn phụ) và tìm điều kiện để bất phương trình luôn có nghiệm trên tập K

m 

Đặt 2x   ta có bất phương trình t 0

2

t m t





- Chia cả hai vế của bpt cho 2x 0

 và đặt 3x   đưa về bất phương trình bậc hai đối với ẩn t t 0

- Biến đổi bất phương trình tương đương với m f t , xét hàm f x tìm GTLN, GTNN và rút ra kết luận. 

- Bất phương trình m f t ,nghiệm đúng với mọi x D khi và chỉ khi min  

2 13

y có duy nhất 1 nghiệm  3x 2x1 0 có nhiều nhất 2 nghiệm

Ta nhẩm được x0;x1 là nghiệm 3x 2x1 0 có đúng 2 nghiệm là x0;x1

Phương pháp: Hàm số yf x  đồng biến trên D, hàm số y g x   nghịch biến trên D  f x  g x 

có tối đa 1nghiệm trên D

Do đó hàm số đồng biến trên R, y2017 y y   1 0 x Hàm số nghịch biến trên R

 Phương trình 2x3x 2017 x2018x 2017 x có tối đa 1 nghiệm

Ta có: x 0 thỏa mãn phương trình x0là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Hay phương trình (*) có hai nghiệm Nhận thấy x1;x2 là hai nghiệm của phương trình (*)

Vậy tổng nghiệm của phương trình ban đầu là 1 2 1  2 1 2 5  

Câu 13 Chọn A.

Phương pháp:

+) Biến đổi phương trình về dạng bậc hai ẩn 2x

+) Đặt 2x 0 ,

+) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt phương trình ẩn t có hai nghiệm dương phân biệt

102

+) Biến đổi phương trình về dạng bậc hai ẩn

+) Đặt , đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t

+) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt phương trình ẩn t có hai nghiệm phân biệt

Cách giải:

Ta có phương trình Đặt Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Câu 15 Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi loga n b 1log ,loga b a bc loga b loga c

11

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình bậc hai

- Điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu là phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

01

m m m

Biến đổi biểu thức P, đưa về dạng f t và tìm GTNN của biểu thức đó  

Ứng dụng GTLN và GTNN vào giải bất phương trình chứa tham số.

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

2

22

12

12

a b

Chia cả hai vế cho 9 ,t

giải phương trình và tìm ra thương x

y , đồng nhất hệ số tìm a, b và tính tổng a + b

Cách giải:

25 15 9

252

2.25 15

94

t

a

a b b

 *  f t   t2 2t 5m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số yf t 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy để đường thẳng y = - m cắt đồ thi hàm số yf t  sao cho phương trình (*)

có nghiệm t > 1 m 6 m6, vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 26 Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng điều kiện cần và đủ để biện luận phương trình

Cách giải: Giả sử x là nghiệm của phương trình 0  *  x0 cũng là nghiệm của phương trình (*)

Khi đó x0  x0  2x0  0 x0 0 (loại) suy ra không tồn tại giá trị nào của a

Câu 27 Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình cơ bản

Cách giải: Điều kiện: D 0;

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số yf t  và đường thẳng y m . Để

Cách giải: Điều kiện: x1;x3

Ta có: 2log 22 x 2log2x 32  2 log 22 x 22log2x 32 2

   nên tập giá trị của hàm số f t là   a  ; 

Vậy các giá trị nguyên của m để (*) có nghiệm là 2; 1;0;1; 2; ; 2017  (có 2020 giá trị)

Câu 35 Chọn D.

Phương pháp: Chia cả 2 vế cho 9x, đặt ẩn phụ 3 ,

2

x

t   

  tìm khoảng giá trị của t

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 2x

m

1

m m

Phương pháp: Đặt t  2 1 , x đưa về phương trình bậc hai ẩn t

PT ban đầu có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm t t  1, 2 1

Phương pháp: Đặt t x 2 x1, tìm khoảng giá trị của t

Xét BPT f t  trên khoảng vừa tìm được   0  Minf x 0

m m

14

x   

Câu 47 Chọn B.

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức logarit cơ bản: loga bcloga bloga c a b c , , 0;a1

2

8log

1

81

42

x

x x

x y y

Khi đó, ĐKXĐ của phương trình là  3 x1

Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng 3;1

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ,

LOGARIT – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT – ĐỀ SỐ 2

Câu 1 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm thực trong đoạn9

Câu 2 Phương trình  log 2  log 2

Câu 5 Phương trình 2log cot3 x log cos2 x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2018?

Câu 6 Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình lnmlnm x   x có nhiều nghiệm nhất

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 9x 2 1 3 x 3 2 0

Câu 17 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãna2b2 7ab Đẳng thức nào sau đây đúng?

3

a b



Câu 19 Cho phương trìnhm.3x2  4x 3 31 x2 3.33 4  x m

8

11;

Câu 20 Tập nghiệm của bất phương trình log4 39x 5 log4 33x1 là

m m

Câu 29 Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi và thỏa mãn a + b = 10 Gọi x x là hai nghiệm của phương1, 2

trình loga x logb x 2loga x 3logb x1 0 Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức Sx x1 2

log x  4x4 log x4  m0 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

00

2

m m

Biến đổi bất phương trình về bất phương trình bậc hai cơ bản.

a

a b b

Nhận xét: Hàm số y  3x 4x đồng biến trên  Phương trinh (1) có nhiều nhất một nghiệm.

Mà 3141 7 x là nghiệm duy nhất của phương trình (1)1

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x 1

Tích của tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình là 1

Xét dấu từng biểu thức  2 1 2 ; 1 log  3 4 ;5  x2 5x

+) Log cơ số 10 hai vế

+) Đặt tlog ,x t1;10 đưa bất phương trình về dạng f t   m t 1;10

Đặt log2x t Giải phương trình với ẩn t.

11

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 1 nghiệm t 0 và 1 nghiệm t 0

Với t  0,  *  40 m1 2 0m  0 1 m 1 m 0 0m0 (luôn đúng) t 0 luôn là nghiệmcủa phương trình (*) với mọi m

Đặt 2t a a 1  *  a2 m1a m 0 1 

Để phương trình (*) có nghiệm t 0 thì (1) có nghiệm a 1

2 2

+ Nhận xét x 1 là 1 nghiệm của bất phương trình, chứng minh 0m1

+ Giải bất phương trình logarit có cùng cơ số

x

x x

Quan sát đồ thị hàm số bên, ta thấy, để đồ thị hàm số yx22x 8 cắt đường thẳng y  tại 4 điểm2m

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LŨY THỪA, MŨ,

LOGARIT – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 4: VẬN DỤNG CAO - ĐỀ SỐ 1

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu 1 Số các giá trị nguyên của tham số mđể phương trình log 2x1 log2mx 8 có hai nghiệm thựcphân biệt là

A Tmin  2 3 2 B Tmin  3 2 3 C Tmin  1 5 D Tmin  5 3 2

Câu 15 Cho phương trình  

4x x  log 14 y 2 y1 với13

Câu 23 Giả sử a,b là các số thực sao cho 3 3 3 2

thỏa mãn log x y   z và logx2y2  z 1 Giá trị của a b bằng

Câu 24 Cho tham số thực a Biết phương trình e x ex 2cosax

nguyên dương khác 1 của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm x lớn hơn 2?

Câu 30 Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3xa x 6x9x đúng với mọi số thực x Mệnh

đề nào sau đây đúng?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT