ĐẠI SỐ BÀI 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số TUYẾN TÍNH

BÀI 2 : MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Sinh viên nắm vững được khái niệm ma trận, các phép toán trên ma trận Sinh viên hiểu được định nghĩa định thức, một số phương pháp tính định thức Sinh viên nắm được định nghĩa ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Sinh viên hiểu được định nghĩa hạng của ma trận, nắm được cách tính hạng của ma trận Sinh viên nắm được các khái niệm cơ bản về hệ phương trình đại số tuyến tính Sinh viên hiểu được định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Sinh viên tư duy được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2. Kỹ năng Sinh viênthành thạo tính được các định thức Sinh viên tìm được ma trận nghịch đảo, hạng của một ma trận Sinh viên thành thạo giải các hệ phương trình tuyến tính

Trang 1

GIÁO ÁN LÝ THUYẾTBÀI 2 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức

- Học viên nắm vững được khái niệm ma trận, các phép toán trên ma trận

- Học viên hiểu được định nghĩa định thức, một số phương pháp tính định thức

- Học viên nắm được định nghĩa ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

- Học viên hiểu được định nghĩa hạng của ma trận, nắm được cách tính hạng của ma trận

- Học viên nắm được các khái niệm cơ bản về hệ phương trình đại số tuyến tính

- Học viên hiểu được định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

- Học viên tư duy được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2 Kỹ năng

- Học viên thành thạo tính được các định thức

- Học viên tìm được ma trận nghịch đảo, hạng của một ma trận

- Học viên thành thạo giải các hệ phương trình tuyến tính

3 Thái độ

- Học viên hứng thú, tập trung vào bài học

- Học viên tích cực tham gia trao đổi, xây dựng bài học

Trang 2

II Néi dung bµi gi¶ng

THỜI GIAN

Hoạt độngcủa GV Hoạt độngcủa HVTiết1 5 phút - Giới thiệu nội dung của bài giảng

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

- Nếu n = 1 (Ma trận A cỡ m1)

-Đặt vấn đề-Thuyết trình

-Nghe, hiểu, ghi chép

Trang 3

2n 22

21

1n 12

11

a

a a

a

a a

được gọi là ma trận vuụng cấp n

Trong đú: Cỏc phần tử a11, a22, …, ann gọi là các phần tử chộo

Đường thẳng chứa cỏc phần tử chộo gọi là đờng chéo chính

2 1

0

4 5

0

6 2

1

- Ma trận tam giỏc dưới: Ma trận A cấp n cú dạng:

-Thuyết trỡnh-Đặt cõu hỏi gợi mở

-Nghe, hiểu, ghi chộp, trả lời

Trang 4

0 5

2

0 0

-Nghe, hiểu,

Trang 5

0 0 0 0

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

-Nghe, hiểu, ghi chép, trả lời

Trang 6

Phép biến đổi sơ cấp

i Đổi chỗ hai dòng (cột) thứ i và thứ j cho nhau

ii Nhân tất cả các phần tử của một dòng (cột) thứ k với một số  0 iii Cộng vào một dòng (cột) thứ i, môt dòng (cột) thứ j sau khi đã nhân với một

số tùy ý  0(ij)

nd trọng tâm-Giao nhiệm

vụ về nhà

-Nghe giảng-Ghi nhớ

Tiết 2 3 phút - Phát vấn học viên kiến thức trước

- Giới thiệu nội dung của bài giảng

Giới thiệu Nghe giảng

b b

a B

A  ( ij  ij)mn  ( ij  ij)mn  

- Thuyết trình

- Đặt câu hỏi gợi mở

- trả lời

Trang 7

-Làm bài

Trang 8

k a

k b

a k B A

k(  )  ( ij  ij)mn  ( ij)mn  ( ij)mn  

- Thuyết trình-Đặt câu hỏi phát vấn

- trả lời

Trang 9

+ Tích A.B phải viết đúng thứ tự A trước , B sau.

+ Nhân AB phải có điều kiện : số cột của A bằng số hàng của B

4 1

5 3

vµ B =  



 3 4 2

7 4 1

7

19 12 9

6 32 7 3

0 ) 7 (

7 4 0 4 7 ) 2 (

0 1 7

3 4 ) 7 (

1 4 4 4 1 ) 2 (

4 1 1

3 5 ) 7 (

3 4 5 4 3 ) 2 (

5 1 3

21 50

Nêu tính chất

Nghe hiểu Làm bài

Nghe hiểu, ghi chép

7 4

2 3

1 5

0 4

0 8

7 2

C ;  

1 2 0

3 2 1

12 9

2 16

26 29

20 33

- Cho hv làm bài tập t.quát

- Giao nhiệm

vụ về nhà

- trả lời-Ghi nhớ

Trang 10

Bài 2: Nhân các ma trận sau: a) 

1 1 2 3

1 2

1 3 1 0 3

1 1 2

1 3

3 9

2.Định thức của ma trận

- Hướng dẫn làm ví dụ

-Nghe, hiểu, ghi chép-Trả lời

Nghe, hiểu,

Trang 11

Định nghĩa : Định thức của ma trận A, kí hiệu là det(A) hoặc A , được định

nghĩa dần dần như sau :

(Trong đó a11, ,a1n là các phần tử nằm ở hàng 1 của ma trận A)

Định thức của ma trận cấp n được gọi là định thức cấp n

Ví dụ 1 : Tính định thức :

D=

0 3

1

4 1

2

3 2

1

3 1

1 2 3 0 1

4 2 2 0 3

4 1

1 ) 32 9 (

5 )

3 1 1 9 4

8 1

Trang 12



4 3 3

1 0 3

2 0 3 1 1 3 3

5 0 3

1 0 3 7 1 4 3

5 1 3

1 2 3 ).

2 (

22

11

13 13

12 12

11 11

.

) det(

.

a a a a a a a a a a a a a a a a

a

M a

Trang 13

10

phỳt 2.2.Cỏc tớnh chất : Tớnh chất 1 : Định thức của ma trận vuụng A bằng định thức của ma trận chuyển

vị của nú ( hay định thức không thay đổi khi ta đổi dòng thành cột và cột thànhdòng) Tức det(At) = det (A)

4 1 3 2

4 3 1 2

3 2

1 4

2 3





Tớnh chất 3: Một định thức cú hai hàng (hay 2 cột) giống nhau thỡ bằng khụng.

Chứng minh: gọi định thức cú hai hàng như nhau là .Đổi chỗ hai hàng đú tađược = -  vậy 2=0 do đú =0

Tớnh chất 4: Dựa vào định nghĩa (*) và ỏp dụng tớnh chất 2 ta suy ra :

det(A)= (-1) i+1 [ ai1det(Mi1)- ai2det(Mi2)+  ain det(Min) ] (1)trong đú ai1, ai 2,…,ai n đều nằm ở hàng i của định thức, do đú cụng thức (1) gọi làkhai triển định thức theo hàng i

Tương tự : det(A)= (-1) 1+j [ a1j det(M1j )- a2j det(M2j )+  anj det(Mnj ) ] (2) trong đú a1j, a2j,…,anj đều nằm ở cột j của định thức, do đú cụng thức (2) gọi là khaitriển định thức theo cột j

Tớnh chất 5 : Định thức cú một hàng (hay một cột) toàn là số khụng thỡ bằng

khụng

-Đặt vấn đề-Thuyết trỡnh -Nghe, hiểu, ghi chộp

-Trả lời

nd trọng tõm-Giao nhiệm

vụ về nhà

Tiết 4 3 phỳt - Phỏt vấn học viờn kiến thức trước

10

phỳt

Tớnh chất 6 : Nếu nhõn một hàng( hay 1 cột) với một số, rồi cộng vào hàng (hay

cột) khỏc thỡ định thức khụng thay đổi giỏ trị

-Thuyết trỡnh-Đặt cõu hỏi gợi mở

-Nghe, hiểu, ghi chộp-Trả lời

Trang 14

Tính chất 7: Định thức có hai hàng (hay 2 cột) có các thành phần tương ứng tỷ lệ

với nhau thì bằng không

Tính chất 9: Nếu nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k

thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Hệ quả : Định thức có một hàng (hay 1 cột) có nhân tử chung thì ta có thể đưa nhân

+ Để phép tính được đơn giản ta nên khai triển theo hàng (hoặc cột) có

nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số đơn giản

-Thuyết trình

- Hướng dẫn làm ví dụ

Trang 15

Ví dụ: Tính định thức D =

9204

10001

3607

0523

1001

367



= 2

924

1001

367

ghi chép-Trả lời

Trang 16

22 21

11

a

aa

0

aa

0

0a

hoặc A =

nn

2n 22

1n 12

11

a

00

a0

a

aa

Trang 17

vụ về nhà

3.Ma trận nghịch đảo

5 phút 3.1.Định nghĩa :

Cho ma trận A  ( ) aij n n ; nếu tồn tại ma trận B  ( ) bij n n saocho : A.B=B.A=In

Thì nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghịch đảo của A

Chú ý :

-Kí hiệu ma trận nghịch đảo của A là A-1 , nghĩa là : A.A-1=A-1.A=In

-Nếu A,B là 2 ma trận vuông cùng cấp và đều có ma trận nghịch đảo Khi đó : AB có ma trận nghịch đảo B-1A-1 tức : (AB)-1 = B-1A-1 ;

Trang 18

5 phỳt 3.2.Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo :

Định lý : Giả sử A( )a ij n n , det (A)0 thỡ ma trận A cú nghịch đảo là A-1 ;

n

n t

C C

C

C C

C

A

C A A

1

) det(

1

2 1

22 12

1 21

11 1

(1);

Trong đú : Cij=(-1)i+j.det(Mij) là phụ đại số của phần tử aij ;

Ma trận C t được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

Chỳ ý :

+ Khi det(A) 0 thỡ A cú nghịch đảo, nờn A là ma trận khụng suy biến

+ Nếu det(A)=0 ta kết luận A khụng cú ma trận nghịch đảo

-Đặt vấn đề-Thuyết trỡnh -Nghe, hiểu, ghi chộp

30

phỳt 3.3.Phương phỏp tỡm ma trận nghịch đảo:a) Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ ma trận phụ hợp:

Theo (1), để tìm ma trận nghịch đảo nhờ ma trận phụ hợp, ta tiến hành các bớc sau:

Bớc 1: Tính detA

 Nếu det( ) 0A  thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch đảo

 Nếu det( ) 0A  thì ma trận A khả đảo, chuyển sang bớc 2 Bớc 2: Tính các phần phụ đại số của các phần tử của ma trận đã cho để thiết lập ma trận phụ hợp C t

120

031

 =

580

120

031

-Nghe, hiểu, ghi chộp-Trả lời

Trang 19

C11 = 11

51

12





; C12 = (-1)1+2 3

53

10

20





C21 = (-1)2+1 15

51

03



53

01

 ; C23 = (-1)2+3 8

13

31



C31 = 3

12

03





 ; C32 = (-1)3+2 1

10

01



 ; C33 = 2

20

31

1 5 3

3 15 11

153

31511

1 2 0

0 3 1

Trang 20

vụ về nhà

4.Hạng của ma trận

Tiết 6 3 phỳt - Phỏt vấn học viờn kiến thức trước

Ma trận vuông cấp p nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi (m-p) hàng và (n-p) cột

đợc gọi là ma trận con cấp p của A

Định thức của ma trận con cấp p này đợc gọi là định thức con cấp p của A

-Thuyết trình,giảng giải, viết bảng

-Nghe giảng, ghi chép

Trang 21

Chú ý : có rất nhiều định thức con cấp p

4 1 1 2

2 4 3 1

Ta có min{3,4}=3 mà pmin{4,3} p1, 2,3

Định thức con cấp 3 của A là :

1 2 1

1 1 2

4 3 1

4 1 2

2 3 1

4 1 1

2 4 3

4 1 2

2 4 1





.Định thức con cấp hai của A là :

7 1 2

3 1





4 1

2 4

Như vậy, hạng của ma trận A bằng r thỡ ma trận A cú ớt nhất một định thức con

khỏc 0 và mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0

+ Nếu A và B là hai ma trận cựng cấp và r(A)= r(B) thỡ ta gọi ma trận A và B

tương đương Kớ hiệu : A B

Chỳ ý : Khi thực hiện phộp chuyển vị và cỏc phộp biến đổi sơ cấp đối với ma trận

A thỡ hạng của ma trận A khụng thay đổi (do cỏc định thức con của A liờn quan đến

cỏc phộp biến đổi đú khụng thay đổi tớnh chất bằng 0 hay khỏc 0 )

-Nghe giảng, ghi chép-Trả lời

Trang 22

Amn bằng k.

- Nếu có định thức cấp k+1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp k+2 bao

định thức cấp k+1 khác 0 này (nếu có)

Quá trình cứ tiếp tục nh vậy Ta tìm đợc hạng của ma trận A

74

13110

241

21

01342

12

34

0

1 2 1

3 4 2

121

142

4

311

0

412

1

134

0010

2121

13142

211

1312

001

912



D4 =

547

4

111

0

212

1

034

0010

4121

4142

411

412

001

412





Vậy hạng(A) = 3 (cấp của D1)

Chú ý: Một ma trận có thể có nhiều ma trận con cơ sở khác nhau, nhng cấp của

Trang 23

chúng đều bằng nhau và bằng hạng của ma trận đó

Việc tìm hạng của ma trận bằng quy tắc n yphải tính nhiều định thức cấp cao àyphải tính nhiều định thức cấp cao Vì

thế, ngời ta thờng dùng quy tắc sau:

4.2.2 Quy tắc tìm hạng của ma trận nhờ các phép biến đổi sơ cấp

Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi định thức của một ma trận.

Nh vậy: Hạng của ma trận A bằng số các véc tơ hàng (cột) độc lập tuyến tính cực

đại Các toạ độ của các véc tơ này lập nên định thức con cơ sở

Để tìm hạng của ma trận, ngời ta có thể dùng các phép biến đổi tuyến tính

0224

8501

8723

0224

85

01

872

01

2810

20

18

00

292

20

1800

29220

0000

1800

29220

1800

29220

7301

Vậy hạng(A) = 3

-Y/c hv nhắc lại cỏc phộp biến đổi sơ cấp

-Trả lời

nd trọng tõm-Giao nhiệm

vụ về nhà

II Hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh

Trang 24

20

phỳt

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Hệ phơng trình tuyến tính tớnh tổng quỏt

a) ĐN: Hệ phơng trình tuyến tính gồm m phơng trình, n ẩn là hệ có dạng:

                   m n mn 2 m2 1 m1 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11 b x a

x a x a

b x a

x a x a b x a

x a x a (1) hay viết gọn     n 1 j i j ij x b ; i 1, m a , trong đó x1, x2, , xn là các ẩn; aij , bi R, i = 1 , m; j = 1 , n Các aij gọi là các hệ số của ẩn xj còn bi gọi là hạng tử tự do Ứng với hệ (1) ta cú ma trận tương ứng: A =             mn m2 m1 2n 22 21 1n 12 11 a

a a

a

a a a

a a và B =             m mn m2 m1 2 2n 22 21 1 1n 12 11 b a

a a

b a

a a b a

a a thứ tự gọi là ma trận các hệ số và ma trận bổ xung của hệ phơng trình đã cho - Đặt X =             n 2 1 x

x x ; C =             m 2 1 b

b b là ma trận cột thì hệ (1) có dạng AX = C (2) mà ta gọi là dạng ma trận của hệ phơng trình (1) Chỳ ý: Nếu b1 b2  b m 0 thỡ ta được hệ phương trỡnh thuần nhất : A.X = 0 b) Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh ĐN: Ta gọi  1, 2, ,n là 1 nghiệm của hệ (1) nếu A. =C Nhận xột :+ Hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất A.X = 0 luụn cú nghiệm 0,0 ,0

  , ta gọi nghiệm này là nghiệm tầm thường

+ Hệ (1) được gọi là xỏc định nếu nú cú nghiệm duy nhất

-Thuyết trỡnh

-Nghe,hiểu, ghi chộp

Trang 25

+ Hệ (1) được gọi là khụng xỏc định nếu nú cú nhiều hơn 1 nghiệm.

+ Hệ (1) được gọi là vụ nghiệm nếu nú khụng cú nghiệm nào

c)Hệ phương trỡnh tương đương

ĐN: Hai hệ phương trỡnh A.X = C và A'X = C' được gọi là tương đương nếu

nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại

d)Cỏc phộp biến đổi tương đương

ĐN: Cỏc phộp biến đổi tương đương là cỏc phộp biến đổi khụng làm thay đổi tập

nghiệm, tức là đưa 1 hệ phương trỡnh về 1 hệ phương trỡnh tương đương với nú

Cỏc phộp biến đổi sau là tương đương:

- Thay đổi thứ tự 2 phương trỡnh

- Loại bỏ phần tử 0

- Nhõn 1 phương trỡnh với 1 phần tử khỏc 0

Cộng vào 1 phương trỡnh 1 phương trỡnh khỏc

15

phỳt

2 Định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính

Định lý Krônechker - Capelli Hệ phơng trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ

khi hạng(A) = hạng(B)

Chứng minh: Gọi U là không gian con sinh bởi hệ véc tơ α , α , , α 1 2 n (A) của Km

và W là không gian con sinh bởi hệ véc tơ α , α , , α , β 1 2 n  (B) của Km Rõ ràng

(A)(B) nên UW

( ) Nếu hệ có nghiệm (c1, c2, … , cn) thì β c α 1 1 c α2 2  c α n n , có nghĩa

làβ biểu thị tuyến tính đợc qua hệ (A), do đó hạng hệ (A) = hạng hệ (B) Vậy

hạng(A) = hạng(B)

( ) Nếu hạng(A) = hạng(B) thì hạng hệ (A) = hạng hệ (B) Do đó dimU =

dimW Chú ý rằng UW nên suy ra U = W Vậy β U và vì thế tồn tại các số c1,

c2, … , cn của Ksao cho β c α 1 1 c α2 2  c α n n , có nghĩa là hệ (1) có nghiệm

VD1: Giải hệ phương trỡnh sau: x y x2y11

-Trả lời

Trang 26

r(A) = 2; r(A ) = 2; suy ra r(A) = r( A ) Vậy theo định lý thì hệ có nghiệm.

+ Nếu giải hệ x y x2y11

 theo phương pháp thế thì ta có nghiệm x y10





VD2:Giải hệ 2x y x 2y1 3



Giải:

- Dễ thấy hệ VN

- Kiểm tra định lý:

Ta có:A= 1 1 ; 1 1 1

r(A) = 1; r(A) = 2 Vậy r(A) r(A)  suy ra hệ vô nghiệm

nd trọng tâm -Giao nhiệm

vụ về nhà

-Nghe giảng -Ghi nhớ

20

phút

3 Ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh

3.1 Phương pháp Cramer a) Định nghĩa hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính có số ẩn bằng số phương

trình và có định thức D c¸c hÖ sè cña Èn khác 0 được gọi là hệ Cramer

Tức là :

n n n n n m nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    với D = 1 11 21 2 1

0

n n

a a

A

b) §Þnh lÝ vµ c«ng thøc:

HÖ ph¬ng tr×nh Crame:

-Thuyết trình -Nêu và hướng dẫn làm ví dụ

-Nghe, hiểu,ghi chép -Trả lời

Trang 27

                   n n nn 2 n2 1 n1 2 n 2n 2 22 1 21 1 n 1n 2 12 1 11 b x a

x a x a

b x a

x a x a b x a

x a x a có nghiệm duy nhất c1, c2, , cn đợc cho bởi công thức: , j 1, n D D c j j   , trong đó Dj là định thức thu đợc từ định thức D bằng cách thay cột thứ j bởi cột số hạng tự do b1, b2, , bn Ví dụ1 Giải hệ phơng trình:

























17 7

11 3

4 9

2

7 4

5

3 2 1

x x x

Giải:

Hệ phương trỡnh cú số ẩn bằng số phương trỡnh và







7 11

3

1 9

2

4 5

1

19 4

0

9 1

0

4 5 1













Hệ đã cho là hệ Crame



1

7 11 17

1 9 4

4 5 7

3





D

Theo cụng thức ta cú: x1 =

D

D1

=1; x2 =

D

D2

= 0; x3 =

D

D3

= –2

Vậy hệ cú nghiệm duy nhất x=(1; 0; -2)

- Vớ dụ 2:Giải hệ phương trỡnh sau:

1

x x x









Giải

Hệ phương trỡnh cú số ẩn bằng số phương trỡnh và

0 2 1 2 1 1 2 2 0 0

2 1 2

1 1 1

3

1

2

1

2

1







D

Đõy là hệ Cramer

-Nờu và hướng dẫn làm vớ dụ

-Nghe, hiểu -Trả lời

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	0,92 MB