Bài 1: Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:
a) 1 + i 3 b) 2 + i 2 c) 3 – i d) 3
Gi i
a) Ta có 2
1 3 2
r
G i là m t acgumen c a 1 + i 3 Khi đó,
1 os 2
3 3
sin
2
c
V y s ph c 1 + i 3 có d ng l ng giác là: ) 2(cos
3
+ isin
3
)
b) Ta có r 2 2 2
G i là m t acgumen c a 2 + i 2 Khi đó,
2 os
2
4 2
sin
2
V y s ph c 2 + i 2 có d ng l ng giác là: 2(cos
4
+ isin
4
)
c) Ta có r 3 1 2
G i là m t acgumen c a 3 – i Khi đó,
3 os
2
6 1
sin
2
V y s ph c 3 – i có d ng l ng giác là: 2 os sin
d) S 3 có m t acgumen b ng 0 nên có d ng l ng giác là : 3(cos 0 + i sin 0)
Bài 2 Vi t d ng l ng giác c a m i s ph c sau
a) sin i sin2
2
b) cosi 1 sin
Gi i
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng D ng l ng giác c a s ph c thu c khóa h c Luy n thi
PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài
gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2a) Ta có sin i sin2 2 sin os i sin
nên
Khi sin 0
2
s đó có d ng l ng giác không xác đ nh
Khi sin 0
2
, d ng vi t trên là d ng l ng giác c a s ph c đã cho
Khi sin 0
2
, s đó có d ng l ng giác
2sin os i sin
os i 1 sin sin i 1 os sin i sin
c c
Theo câu a) ta có :
Khi sin 0
, s đó có d ng l ng giác không xác đ nh
Khi sin 0
, s đã cho có d ng l ng giác
Khi sin 0
, s đã cho có d ng l ng giác
Bài 3: Th c hi n các phép tính:
a) 2(cos200 + isin200).( cos250 + isin250)
b) (cos180 + isin180) 3(cos720 + isin720)
Gi i
a) Áp d ng công th c nhân hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có
b) Áp d ng công th c nhân hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có
Bài 4: Tính
v i:
a) = cos850
+ isin850; = cos400
+ isin400 b) = 2 (cos450
+ isin450); = 3(cos150 + isin150) c) = 2 (cos2
+ isin2
); = 2(cos
+ isin
)
Trang 3Gi i
a) Áp d ng công th c chia hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có
os85 sin 85 1
os 85 40 i sin 85 40 os40 i sin 40 1
2 2 os45 i sin 45
2 2
c c
b) Áp d ng công th c chia hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có
os 45 15 i sin 45 15
os30 i sin 30
3
c
c) Áp d ng công th c chia hai s ph c d i d ng l ng giác, ta có
os isin
c
Bài 5 Xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z sao cho :
2
2
z
z
có m t acgumen b ng 3
Gi i
Ta có
2
4 2
2
zz z z
z
2
2
z
z
có m t acgumen b ng 3
khi và ch khi zz 4 2 zz l1i 3, l là s th c d ng
Gi s z x yi, x y R, thì
Rõ ràng 2 2 2 2 2 16
3 3
y x y x y
V y M ch y trên cung tròn có tâm là đi m bi u di n s ph c 2
3i và có bán kính b ng
4
3 n m phía
trên tr c hoành
Bài 6 Tìm s ph c z sao cho z 3i 1
z i
và z có m t acgumen là 1 6
Gi i
Gi s z x yi, x y, R, ta có
Trang 4 2 2 2 2
3
z i
1
z ó m t acgumen b ng
6
t c là 1 os i sin 3
r
z r c i
Ta có
3
2
2 3 1 2
2
r
Bài 7: Dùng công th c Moa–vr đ tính:
a) (cos120 + isin120)5 b) (1 + i)16
Gi i
a) Ta có 0 05 0 0 0 0 1 3
os12 i sin12 os 5.12 i sin 5.12 os60 i sin 60
b) Tr c tiên ta vi t s ph c 1 i d i d ng l ng giác
V i 2 2
1 os
2
1 1 2;
sin
2
c r
ta có
16
i c c
4 3
n i z
i
Tìm n nguyên d ng sao cho:
a) z là s th c
b) z là s o
Gi i
Tr c tiên ta vi t s ph c 7
4 3
i i
d i d ng l ng giác
Ta có:
7
i
1 2 os i sin 2 os i sin ,
n
n
i c c n N
a) z là s th c sin 0 , 4
V y n4 ,k kN*
b) z là s o os 0 2 4 , *
V y n4 ,k kN*
Bài 9: Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:
a) (–3 + 4i)3
b) –cos
5
+ isin
5
) os i sin
b c
Trang 5a) Ta có
3 os
5
9 16 5;
4 sin
5
c r
Khi đó
3 4i 5 osc isin
3 os
5 4 sin
5
c
3 4i 5 cos3 i sin 3 125 os3c i sin 3
3 cos
5 4 sin
5
Bài 10 Cho s ph c w 1 3
1 2
i z i
trong đó zcosisin , R Xác đ nh t p h p các đi m trong
m t ph ng ph c bi u di n các s ph c w nói trên khi thay đ i
Gi i
Ta có zcosi sincos i sin
i
i
i
i
V y t p h p c n tìm là n a đ ng tròn tâm O bán kính b ng 2 , n m phía trên đ ng phân giác c a góc
ph n t th nh t c a h t a đ
Bài 11: Gi i h ph ng trình: 2
1
và tính
100 100
1 z
z
Gi i
Xét s ph c z x yi, x y R, H tr thành
2
1
y
Ta có: sin1005 sin 251.2 1
Trang 62010 1005
1005 1005
2
i
Bài 12 Tính
6
1
4
1 3
i z
i
3
3
1 3
i z
i
Gi i:
*Tính z1
Áp d ng công th c Moivre:
6
z c i in
*Tính z2
Áp d ng công th c Moivre cho c t và m u:
3
( 3i) 8i
( 3 ) 2
i
i
Bài 13 Cho s ph c z có modul b ng 1 Bi t m t acgumen c a z là
Tìm m t acgument c a có s ph c sau:
a 1
2z
b z2 (n u 0z / 4) c z2 (n u 0z )
Gi i:
a
os i sin
zc
os i sin os( ) i sin( )
zc c
[ os( ) i sin( )]
2( os( ) sin( )) 2
2
c
z
V y acgument c a nó là:
b
2
(cos 2 sin 2 ) cos sin
( os2c cos ) i(sin 2 sin )
2 cos cos 2 cos sin
3
2 cos (cos sin )
2 2 i 2
Trang 7V y s ph c này có acgument là :
2
c T ng t :
2
( os2 sin 2 ) ( os sin )
z z c i c i
( os2 os ) (sin 2 sin )
2 sin sin 2 cos sin
2 sin os 2 sin sin
i
V y s ph c này có acgument là : 3
2
3 3
n i z
i
a Tìm n đ z là s th c
b Tìm n đ z là s o
Gi i :
2( os sin )
os sin
1 3 2( os sin )
i
z là s th c thì n6 (k kZ)
z là s o thì : n6k3 (kZ vì k 0)
z
Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z2000 20001
z
Gi i:
2 1
z
i
Ta có: 2000
2000
1 z
z
1
Ph n th c = -1 Ph n o = 0
Trang 8M t s bài t p tham kh o t gi i
Bài 1: Tìm nghi m ph c c a ph ng trình : z4– 1 = i
Bài 2: V i n nguyên d ng nào thì s ph c: 7
4 3
n i i
là s th c, s o
n
n
c i
S đó là s th c sin 0 4
4
n
4
n
Bài 3: Bi u di n cos5x.cos6x theo coskx
S: cos5
os5x 5 os3x 10 osx
10 c c c ; cos6x = 1
os6x 6 os4x 15 os2x 10
Bài 4: Ch ng minh :
a) 1 4 7 1 2
2 2 os
n
n
b) 2 5 8 1 4
2 2 os
n
n
Bài 5: Cho s ph c d ng l ng giác z = r c os +isin
t i os i sin
e c Ch ng minh :
a) zr e i
b) . i . . i r i ; n n. in
r e r e r e z r e
c
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n: Hocmai.vn