DABTTL tiep tuyen ham so phan 5

* CMR: Diện tích tam giác AIB không đổi không phụ thuộc vào vị trí của M.. * Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.. * Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp ta

Các bài được tô màu đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao

2

x y x





 (C)

Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B, I là giao điểm của 2 đường tiệm cận

* CMR: Diện tích tam giác AIB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí của M)

* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác AIB nhỏ nhất

* Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB có diện tích nhỏ nhất

Giải

-

o

x

o o

x





2

o

o o

x

x



- I = TCĐTCN => I(2; 2)

o

o

x

x





2 2



* Ta có chu vi tam giác AIB là:

P = IA + IA + AB

o

x



o

x



8

AB

o

x



TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (PHẦN 05)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Phần 05) thuộc khóa

học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả,

Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu trong tài liệu này

(Tài liệu dùng chung P3+P4+P5)

2 1 3 (3;3)

* Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông AIB có bán kính là IM Do đó diện tích đường tròn ngoại tiếp tam

2 2

2

1

2

o

o

x



=> Diện tích nhỏ nhất (tức dấu “=” xảy ra)

2

1

2

o

o o

x

 

  

Bài 2 Cho hàm số: 2 1

1

x y x





 (C)

Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và đường thằng đi qua hai điểm M, I (I là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) có tích hệ số góc bằng -9

Giải

* Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) có hệ số góc: A B

A B

k







I(-1, 2)

1

o

o

x

x



- Đường thẳng qua M và I có hệ số góc

 2

3 1

o

k x









- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc

 2

3 '( )

1

o o

x



-

k k





o o

o

x



Bài 3 Cho hàm số: yx33x2 (C)

Tìm trên (C) các điểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc Đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: x + y – 5 = 0

Giải

b Giả sử các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc k Để tồn tại 2 tiếp tuyến tại A và B phân biệt thì phương trình y‟ = 3x2 – 3 = k phải có 2 nghiệm phân biệt => k > -3

Ta có tạo độ A, B là nghiệm của hệ:

2 3

2

2

3

x



 

=> Phương trình đường thẳng AB là 2 2

3

k

y  x

k

Vậy tọa độ A, B thỏa mãn:

2

2

x x

 

 

Bài 4 Cho hàm số:

4 2

y    x (C) Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất

Giải

-

4

- Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là:

2

y x      x x x    

Bài 5 Cho hàm số 1 4 3 2 5

Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Giải

Lấy M thuộc (C)

4

a

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là d:

4

a

y y a x a  a 

a

- Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình:

4

a

x  x   a  a x a   a 

(x a) (x 2ax 3a 6) 0

2

a

a

a

   



Vậy

4

a

  với a  3; 1   ( 1;1) 1; 3 thì tiếp tuyến của (C) tại M sẽ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 6 Cho hàm số: yx33x21 (C)

CMR mỗi tiếp tuyến của (C) chỉ tiếp xúc với (C) tại đúng 1 điểm

Giải

Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị (C) tại 2 điểm Mo(xo; yo) và M1(x1; y1) Khi đó phương trình tiếp tuyến là:

Hai phương trình trên cùng là phương trình của một tiếp tuyến nên ta có:

1

o



Đáp án bài tập tham khảo khoá LTĐH KIT-1: Thầy Phan Huy Khải

Bài 1 Cho hàm số y = x4  2mx2 + m (1) , m là tham số Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1 Tìm m để khoảng cách từ điểm 3;1

4

  đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A

lớn nhất

Giải:

+) A (Cm) nên A(1 ; 1- m)

+) y'4x3 4mx y'(1) 4 4m

Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình

y – ( 1 m ) = y‟(1).(x – 1)

Hay (4 – 4m).x – y – 3(1 – m) = 0

Khi đó

2

1

d B

m



  , Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi m = 1

Do đó d B( ; ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1

Bài 2 Cho hàm số

1

x y x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ

tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải:

Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến

là lớn nhất

0 2

1

x

2 0

1

0

x

4 0

2 1 1 1







x

x

Xét hàm số f(t) =

4

2

1

t t t



2

f‟(t) = 0 khi t = 1

Bảng biến thiên

x 0 1 

f‟(x) + 0 -

f(x) 2

Từ bảng biến thiên ta có d(I ;d) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay

0

2

0

x x

x





 + Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến d có phương trình là y = -x

+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến d có phương trình là y = -x + 4

Bài 3 Cho hàm số y x3 3x2 4 (C)

Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Giải:

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là: yk(x2)

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: k(x2)x3 3x2 4



































0 2

) (

2 0

) 2 )(

2

(

2 2

k x

x x g

x x

k x

x

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P  pt g(x)0có hai nghiệm phân biệt khác 2

(*) 0 4

9 0

)

2

(

0





















g

+ Theo định lí viet ta có:

















2

1

k x x

x x

N M

N M

+ Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau y'(x M).y'(x N)1

3

2 2 3 0

1 18 9

1 ) 6 3 )(

6 3





















Bài 4 Cho hàm số:

3

1 ) 2 ( ) 1 2 ( 3

Gọi A là giao điểm của (C m) với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m) tại A tạo với hai trục tọa

độ một tam giác có diện tích bằng

3

1

Giải:

Ta có A(0;

3

1

), suy ra tiếp tuyến của đồ thị tại A là d:

3

1 ) 2

y

Đường thẳng d cắt Ox tại B(-1/3m+6;0) Khi đó diện tích tam giác tạo bởi d và hai trục tọa độ là:

2 18

1

2

1







m OB

OA

16

11 ,

16



Bài 5 Cho hàm số y  x3  x2  1 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp của (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại

O

Giải:

Gọi M(x0 ; y0)(C) y0  x03 x02 1

- Tiếp tuyến tại M là d: y (3x02 2x0)(xx0)(x03 x02 1)

- d cắt trục Ox tại A :

0 2 0

2 0 3 0 2

0 3 0 0 0

2 0

2 3

1 2

) 1 (

) )(

2 3 ( 0

x x

x x x x

x x x x









































2 3

1 2

0 2 0

2 0 3 0

x x

x x

A

- d cắt trục Oy tại B: y B (3x02 2x0)(0x0)(x03 x02 1) y B 2x03x02 1

) 1 2

;

0

0 3



2 3

1

0 3 0 0

2 0

2 0 3







x x

x x







































































































) 2 ( 0 1 2 3

1 ) 1 2

(

) 1 ( 0 1 2 3

1 ) 1 2

(

1 2

2 3

1 2

1 2

2 3

1 2

0 2 0

2 0 3 0

0 2 0

2 0 3 0

2 0 3 0 0

2

0

2 0 3

0

2 0 3 0 0

2

0

2 0 3

0

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x

x x x

x

x x



























VN

x x

x

x

0 1 2 3

0 1

0 2 0

2 0 3 0

(2)





























































3 1 1

3

1 ,

1

1 0

1 2 3

0 1 2

0 0

0 0

0

0 2 0

2 0 3 0

x

x x

x

x x

x

x x

Tứ (1) và (2) ta có :

3

1

0  và x 

x

* Với x0 1 ABO(0;0)(loại)

* Với

27

32 :

3

1

0  d yx

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A

và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

2

3

Giải:

Với x0 1 y0 m2 M(1 ; m – 2)

y

 d: y = -3x + m + 2









 















3

2 3

2 2

3

- d cắt trục Oy tại B : y B m2 B(0;m2)

3

2 3

|

||

| 2

3

|

||

| 2

1 2























S OAB

































5

1 3

2

3 2

m

m m

m

Vậy : m = 1 và m = - 5

Bài 7 Dự bị B – 2007: Cho hàm số 1  

1

x

Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân

Giải:

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y 0; 0, thì d :

0 0

1

1 1

x x



- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B :

0

1

B

x

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :

0

1

x



- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB

































































2 2 1 1 1

2 2 1 1 1

1 1

1 )

2 2 (

0 0

0

0 0

0 2

0

0 2 0 2

2

x x

x

x x

x

x

x x

IB IA

2

2

   



Với x00 , y00, ta có tiếp tuyến : y = x

Vớix0 2 ,y02, ta có tiếp tuyến : y = x +4

Bài 8 Cho hàm số yx33x2mx 2 m có đồ thị là đường cong (C) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C bằng 3

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành là:

3 2 2

2

1

(2)

x







(C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có

m

m

1 2

1 2

2

2



 

 Yêu cầu bài toán  f '(1) f '( )x1  f '(x2)3

      (thỏa mãn (*))

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

Bài 9 Cho hàm số yx33x22 ( )C Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

d ym x  cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; -2), D và E sao cho tich các hệ số góc của tiếp tuyến tại D và E với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) với d là nghiệm của phương trình:

2

2

x





 (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; -2), D và E khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

0 (*)

m

m



  



Với điều kiện (*) gọi x x1; 2 là nghiệm của (1) thì theo Viet ta có: 1 2

1 2

1 2



Tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại D và E với hoành độ x x1; 2 là kk k1 2 y x'( ) '(1 y x2)

Khi đó mink     9 m 1 (thỏa mãn (*))

Vậy giá trị cần tìm là m = -1

Bài 10 Cho hàm số 2 3 ( )

2

x

x





 , tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y2x m cắt đồ

thị (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C): 2 3 2 (1)

2

x

x



2

2

x





 

2

Và  (m6)28(2m 3) m24m600,m

Nên phương trình (2) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân

Gọi x x1; 2lần lượt là hoành độ các điểm A và B x x1; 2là nghiệm của phương trình (2), theo định lý Viet,

2

m

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là:

2

m

m



Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

Bài 11 Cho hàm số 1 (1)

1

x y x





 Tìm các điểm trên trục tung để từ điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến đến

(C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng có hoành độ dương

Giải:

Điểm M(0; m) thuộc trục tung

Tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm ( ;x y0 0) bằng (x0 1) có phương trình: 0

0 2

x



Tiếp tuyến qua M nên có:

0

0 2

2

x



(do x0 1)

Yêu cầu bài toán  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương Điều kiện là:

0

1 1 0 0

1

m

m m

m a

m c

m a

 









Vậy m > 1 là giá trị cần tìm

Bài 12 Cho hàm số yx3x23x1, tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến phần của đồ thị (C) ứng với x 1;3

Giải:

M(0; m) thuộc trục tung Oy Đường thẳng d có hệ số góc k qua M có phương trình: d y: kxm

d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

2







Thế (2) vào (1) ta có:

3 2 3 2 3 2

x x  x  x  x  x  m x x  m

Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc  1;3 thì phương trình (3) phải có ít nhất một nghiệm x 1;3

Xét hàm số: g x( ) 2x3x21 liên tục trên R và có:

 

2

g x   x  x  x Hàm số ( )g x nghịch biến trên  1;3

Phương trình (3) có nghiệm x 1;3

Vậy M(0; m) với m  62; 2 là các điểm cần tìm

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn