Bài 16 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tiep tuyen hàm so phần 5

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ Phần 5 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG... Tìm tất cả các điểm M nằm trên đường cong sao cho từ M chỉ có thể vẽ được duy nhất một tiếp

Bài 1 Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là 3 2

y   x 3x 3 Gọi  là đường thẳng có phương trình y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E   với (C)

Lời giải:

E (e, 1)   Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D) (D) tiếp xúc (C)  hệ

3 2

2

x n h x e

x x h



 Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)

 – x3

+ 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)

 (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)

 x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex

 x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) (2) có  = (3e – 1)2

– 16 = (3e – 5)(3e + 3)

(2) có nghiệm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2

Ta có  > 0  e < – 1 hay e > 5

3

Biện luận :

i) Nếu e < – 1 hay 5

3 < e < 2 hay e > 2

 (1) có 3 nghiệm phân biệt  có 3 tiếp tuyến

ii) Nếu e = – 1 hay e = 5

3 hay e = 2

 (1) có 2 nghiệm  có 2 tiếp tuyến

iii) Nếu – 1 < e < 5

3  (1) có 1 nghiệm  có 1 tiếp tuyến

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 5)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 2 Cho hàm số 3 2

yx  x  x Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ

được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Lời giải:

0; 0 2 0 7 0 4

M x x  x  x   C 

Phương trình đường thẳng d qua M là   3 2

0 0 2 0 7 0 4

yk x x  x x  x 

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C)  Hệ sau có nghiệm

2







Thế k ở phương trình sau vào phương trình trước ta được

 

0 2 0 2 0 2 0 0

f x

xx  x  x  xx  x 



Để có một tiếp tuyến duy nhất thì f x 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng x0

Trường hợp 1:  2

0

3x 2 0

     Vô lý

Trường hợp 2: 0 0

0

0

2

b x a

 





Vậy điểm cần tìm là 2; 250

Bài 3 Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là 3 2

y   x 3x 3 (C) Tìm M  (C) để qua M chỉ

có một tiếp tuyến với (C)

Lời giải:

Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a  0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :

 M  (C), ta có :

i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M

ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M

Cách 2 : Gọi M(x0, y0)  (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :

y = k(x – x0)  x03 3x023 (D)

Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

0 0 0

0 3( 0) ( 0)( 3 6 ) 0

0 0 0 0 3 3 0 3 6 0

0 2 (3 0) 0 3 0 0

 xx hay0 (xx0)(2xx0 3) 0

0

3 2

x

Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0)  (C)

3

1 2

x

Suy ra, y0 = 1 Vậy M(1, –1) (điểm uốn)

Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0

Bài 4 Cho y = x3

- 3x2 Tìm tất cả các điểm M nằm trên đường cong sao cho từ M chỉ có thể vẽ được duy nhất một tiếp tuyến tới đường cong đã cho

Lời giải:

Gọi M ( , 332)là điểm cần tìm Tiếp tuyến qua M chỉ có thể có dạng:

y = k(x -  ) +  3

-3 2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có hệ phương trình gồm 2 pt sau:

2

0 0

( )







Thay (2) vào (1), ta có:

2x30 - 3x20 ( + 1) + 6 x0 + 3 - 3 2

= 0 (*)

 (x0 -  ) [2x20 - ( + 3)x0 -  2 + 3 ] = 0

 (x0 -  )2 (2x0 +  - 3) = 0

x0 =  hoặc x0 = 3

2





(3)

Chú ý rằng vì y = x3

- 3x2 là đường cong bậc ba, nên số tiếp tuyến vẽ được bằng số tiếp tuyến với đường cong Vì thế qua M có 1 tiếp tuyến duy nhất với đường cong khi và chỉ khi hệ (1) (2) (ẩn x0) có nghiệm duy nhất Dựa vào (3) điều đó xảy ra khi:

3

1 2



Vậy trên đường cong y = x3 - 3x2 có một điểm duy nhất thoả mãn yêu cầu đề bài

Đó là điểm M (1, - 2)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn