Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i đáy hình chóp.. Ch ng minh SC AHK và tính th tích kh i chóp OAHK... Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích
Trang 1Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Các bƠi đ c tô mƠu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i đáy hình chóp Cho
AB = a, SA = a 2 G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD Ch ng minh SC (AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK
Gi i:
*) BC vuông góc v i (SAB)
BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB
AH vuông góc v i (SBC) AH vuông góc SC (1)
T ng t AK vuông góc SC (2)
(1) và (2) SC vuông góc v i (AHK )
*)SB2 AB2SA2 3a2
6
SB 3 AH.SB SA.AB AH
3
a a
(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)
+ Ta có HK song song v i BD nên 2 2
3
HK
+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E OE(AHK doSC)( (AHK))
suy ra OE là đ ng cao c a hình chóp OAHK
+ G i I là giao đi m c a AE v i SC,SAACa 2
Tam giác SAC cân t i A
Mà AI vuông góc v i SC (do SC vuông góc (AHK))=>SI=CI hay I là trung đi m c a SC
Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)
+ G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có
2
9
a
3 a
3
TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp ( Ph n 02) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n
h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
(Tài li u dùng chung cho P1+ P2)
Trang 2C
S
N
M I
H
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA= a G i M, N
l n l t là trung đi m c a SB và SD; I là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN) Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI
Gi i:
AM BC BC SA BC AB
AM SB SA AB
T ng t ta có AN SC (2)
T (1) và (2) suy ra AI SC
V IH song song v i BC c t SB t i H Khi đó IH vuông góc v i (AMB)
3
ABMI ABM
Ta có
2
4
ABM
a
V y
1
ABMI
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a C nh SA vuông
góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600
Trên c nh SA l y đi m M sao
cho AM = 3
3
a
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N Tính th tích kh i chóp S.BCNM
Gi i:
Tính th tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
BC SA
T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ ng cao
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
3 3
2 3
a a
Suy ra MN = 4
3
a
BM = 2
3
a
Di n tích hình thang BCMN là :
S =
2
4 2
2 10 3
a a
BM
H AH BM Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH
V y SH ( BCNM) SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB MS = 1
2
V y BM là phân giác c a góc SBA 0
30 SBH
SH = SB.sin300
= a
Trang 3Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
B A
S
M
G i V là th tích chóp SBCNM ta có V = 1 ( )
3SH dtBCNM =
3
10 3 27 a
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy Góc gi a m t
ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD
Gi i:
G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC Ch ng minh
đ c góc DMB = 1200
và DMB cân t i M
Th t v y:
- Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC
- Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)
SBC , SDCMB, DM (chú ý góc gi a 2 đ ng th ng là góc nh n)
Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC SBC )
Gi s góc gi a 2 đ ng th ng DM, MB= 0
60
=>Tam giác DMB là tam giác đ u => đi u này vô lý do DB>BM
=> 0
120
Tính đ c: DM2
= 2
3 a
2
SCD vuông t i D và DM là đ ng cao nên 1 2 = 12 + 12
Suy ra DS = a 2 Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a
V y th tích S.ABCD b ng 1
3a
3
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc v i m t ph ng (ABC) áy là tam giác ABC cân t i
A, đ dài trung tuy n AD là a, c nh bên SB t o v i đáy m t góc và t o v i m t (SAD) góc Tìm th
tích hình chóp S.ABC
Gi i:
Th tích hình chóp S.ABC là: 1
V SAS
Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD
c ng là đ ng cao c a tam giác
Theo gi thi t:
SA mp ABC SBA SB mp ABC
BDmp SAD BSD
t BD = x suy ra: AB a2x2SA a2x2.tan
2 2
2
sin
SB
a x
c
Trang 4B
A
B
C S
a
c
Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có SC (ABC) và ABC vuông t i B Bi t r ng AB = a, AC = a 3a 0
và góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng v i tan 13
6
Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a
Gi i:
G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB
Ta ch ng minh đ c
CK (SAB), SA (CHK) suy ra CHK vuông t i K
và SA KH
CK CH
t SC = x >0 Trong tam giác vuông SAC
có
2 2 2
3
3
a x CH
CH CA CS a x
T ng t trong tam giác vuông SAC có 2 2 2
2 2
a x CK
a x
19
3 2
3
3
Bài 7 Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t
Gi i:
G i là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC)
Ta có : SCA; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
SABC ABC
Xét hàm s : f(x) = x – x3
trên kho ng ( 0; 1)
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2
3
T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên t i đó hàm
s đ t GTLN hay
0;1
3 3 3
x
Max f x f
V y MaxVSABC =
3
9 3
a
, đ t đ c khi sin = 1
3 hay
1 sin 3 arc
( v i 0 <
2
)
Bài 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA(ABCD), SA = a, đi m MAD,
ECD, AM = CE =
4
a
G i N là trung đi m c a BM, K là giao đi m c a AN và BC Tính th tích kh i chóp SADK theo a và ch ng minh r ng: (SKD) (SAE)
Gi i
+ VSADK =1 1
3SADK SA3SADK a
Trang 5Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
N
S
M
E K
D'
A' C'
B'
D
C
A
B S
S'
Mà :
ADK ABCD ABK DCK
= a2 - SABM - 1
2CK CD
= a2 - 1
2AB AM -
1 3
2 4
a a
= a2 - 1
2 4
a
a -
2
3 8
a
=
2
2 a
VSADK=
1
a
+ ( L u ý: Vì AM//BK nên theo h qu c a đ nh lý talet
ta có NM NA AM
NB NK BK
Mà N là trung đi m c a BM NM=NB => NA=NK, AM=BK)
+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE CDK
M t khác: DAE AED900 CDK AED900 AEDK
Ta có: DK AE DK (SAE)
DK SA
, mà DK(SKD) => (SAE) (SKD)
Bài 9 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ l n
l t là trung đi m c a SC, SD, SA, SB S’ là tâm hình vuông ABCD Tính th tích kh i chóp S’A’B’C’D’
Gi i
- (A’B’C’D’)// (ABCD)
- SA(ABCD)SA( ' 'A B C D' ')
- SA SA/ / S A' '( ' 'A B C D' ')
VS’A’B’C’D’=1 ' ' ' ' ' '
3 SA B C D S A
Mà:
+ SA’=1
2 SA=2
a
+ A’B’C’D’ là hình vuông
SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=
2
a
2
a
=
2
4
a
=> VS’A’B’C’D’ = 1
3.
2
4
a
2
a
=
3
24 a
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n : Hocmai.vn