Bài tập tính thể tích khối chóp phần 1+2 thầy lê bá trần phương

S’ là tâm hình vuông ABCD... Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy... Cho hình chóp

D' A' C'

B'

D

C

A

B S

S'

Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA(ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ l n

l t là trung đi m c a SC, SD, SA, SB S’ là tâm hình vuông ABCD Tính th tích kh i chóp S’A’B’C’D’

Gi i

- (A’B’C’D’)// (ABCD)

- SA(ABCD)SA( ' 'A B C D' ')

- SA SA/ / S A' '( ' 'A B C D' ')

VS’A’B’C’D’=1 ' ' ' ' ' '

3 SA B C D S A Mà:

+ SA’=1

2SA=2

a

+ A’B’C’D’ là hình vuông

SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=

2

a 2

a

=

2

4

a => VS’A’B’C’D’ = 1

3.

2

4

a 2

a

=

3

24 a

Bài 2 Cho hình chóp t giác SABCD có đáy là hình thang, 0

90 ABCBAD , BA = BC = a; AD = 2a

Gi s SA vuông góc v i (ABCD) và SA = a 2 G i H là hình chi u c a A trên SB Tìm th tích c a t

di n SHCD

Gi i:

Ta có

à AH

M t khác AD(SAB)=>ADHA

Nh v y AH là kho ng cách gi a AD và (SAB)

 

 , 



D SHC

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 01 + 02)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp ( Ph n 01+ Ph n 02) thu c khóa

h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng

hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

(Tài li u dùng chung cho P1+ P2)

C

S

N

M I

H

2 3

2

 

2

2

2

a

G i I là trung đi m c a SC =>

2

2

VSHCD  HASSHAC  2

3

2 3 3

a

=

3 2 9 a

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA= a G i M, N

l n l t là trung đi m c a SB và SD; I là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN) Ch ng minh SC vuông

góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI

Gi i



T ng t ta có AN SC (2)

T (1) và (2) suy ra AI SC

V IH song song v i BC c t SB t i H Khi đó IH

3

Ta có

2

4

ABM

a

V y

1

ABMI

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy Góc gi a m t

ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD

Gi i

D C

B A

S

M

G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC Ch ng minh

đ c góc DMB = 1200

và  DMB cân t i M

Th t v y:

- Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC

- Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)

 SBC , SDC MB, DM (chú ý góc gi a 2 đ ng th ng là góc nh n)

Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC SBC )

60 DMB

=>Tam giác DMB là tam giác đ u => đi u này vô lý do DB>BM

=> DMB 1200

Tính đ c: DM2

= 2

3a

2

 SCD vuông t i D và DM là đ ng cao nên 1 2 = 12 + 12

Suy ra DS = a 2 Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a

V y th tích S.ABCD b ng 1

3a

3

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc v i m t ph ng (ABC) áy là tam giác ABC cân t i

A, đ dài trung tuy n AD là a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc  và t o v i m t (SAD) góc  Tìm th

tích hình chóp S.ABC

Gi i

Th tích hình chóp S.ABC là: 1

V SAS

Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD

c ng là đ ng cao c a tam giác

Theo gi thi t:

t BD = x suy ra: AB a2x2 SA a2x2.tan

2 2

2

sin sin

sin

os sin





SB

a x

c

a

c





Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có SC  (ABC) và ABC vuông t i B Bi t r ng AB = a, AC = a 3a0

và góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng  v i tan  13

Gi i

G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB

Ta ch ng minh đ c

CK  (SAB), SA  (CHK) suy ra CHK vuông t i K

và SA  KH

Do đó =CHK T tan 13 sin 13 22 13 1

CH

t SC = x >0 Trong tam giác vuông SAC

có

2 2 2

3

3

a x CH



T ng t trong tam giác vuông SAC có 2 2 2

2 2

a x CK





19

3 2



3

3

Bài 7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i đáy hình chóp Cho

AB = a, SA = a 2 G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD Ch ng minh SC 

(AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK

Gi i

*) BC vuông góc v i (SAB)

 BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB

 AH vuông góc v i (SBC)  AH vuông góc SC (1)

T ng t AK vuông góc SC (2)

(1) và (2)  SC vuông góc v i (AHK )

*)SB2 AB2SA2 3a2

6

3

a a

(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)

3

HK

+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E OE(AHK doSC)( (AHK))

suy ra OE là đ ng cao c a hình chóp OAHK

+ G i I là giao đi m c a AE v i SC,SAACa 2

 Tam giác SAC cân t i A

Mà AI vuông góc v i SC (do SC vuông góc (AHK))=>SI=CI hay I là trung đi m c a SC

Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2

+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)

+ G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có

2

9

a

AM  AH HM   AM=2

3 a

A B

C S

3

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a C nh SA vuông

góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600

Trên c nh SA l y đi m M sao

3

a

, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N Tính th tích kh i chóp S.BCNM

Gi i

Tính th tích hình chóp SBCMN

( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD





T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ ng cao

Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,

3 3

2 3

a a



Suy ra MN = 4

3

a BM = 2

3

a

Di n tích hình thang BCMN là :

S =

2

4 2

3

a a

BM

  

H AH BM Ta có SHBM và BC (SAB)  BC  SH

V y SH ( BCNM)  SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB  MS = 1

2

30 SBH

   SH = SB.sin300

= a

3SH dtBCNM =

3

10 3 27 a

Bài 9 Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t

ph ng (ABC), SC = a Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t

Gi i

G i  là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC)

Ta có : SCA; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin

V y

1 sin 1 sin

6

a

Xét hàm s : f(x) = x – x3

trên kho ng ( 0; 1)

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2

3

f x    x

S

M

E

K

N

B

K

có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN hay    

0;1

x

Max f x f



  

V y MaxVSABC =

3

9 3

a

, đ t đ c khi sin = 1

3 hay

1 sin 3 arc

2



 )

Bài 10. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA(ABCD), SA = a, đi m MAD,

ECD, AM = CE =

4

a

G i N là trung đi m c a BM, K là giao đi m c a AN và BC Tính th tích kh i

chóp SADK theo a và ch ng minh r ng: (SKD) (SAE)

Gi i

3SADKSA3SADKa

Mà :

S S S S

= a2 - SABM - 1

2CK CD

= a2 - 1

2AB AM -

1 3

2 4

a a

= a2 - 1

2 4

a

a -

2

3 8

a

=

2

2 a

 VSADK=

1

a

+ ( L u ý: Vì AM//BK nên theo h qu c a đ nh lý talet

NB  NK  BK

Mà N là trung đi m c a BM NM=NB => NA=NK, AM=BK)

+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE CDK

M t khác: DAE AED900 CDK AED900AEDK





Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n : Hocmai.vn