Tính th tích kh i chóp đã cho... Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
Trang 1D
C
S
E
H M
I
A
B
C S
E H
Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
D NG CHÓP U
Bài 1 Cho hình chóp đ u S.ABCD, O là tâm đáy, M là trung đi m c a SO, kho ng cách t M đ n m t
ph ng (SBC) b ng b, AB = a Tính th tích hình chóp S.ABCD
Gi i:
B c 1: Xác đ nh d(M, (SBC) 1
2OH
B c 2: Ph i tính SO
B c 3: Tính SO thì d a vào tam giác vuông SOE và c n tính OE
1
2
OE AB
Xét tam giác SOE vuông t i O, OH là chi u cao
Bài 2
Cho hình chóp đ u S.ABC, đáy b ng a, góc gi a hai m t ph ng (SBC), (ABC) Tính V
Gi i:
B c 1: Xác đ nh góc gi a hai m t ph ng (SBC), (ABC) SEA
B c 2: Ph i tính SH
B c 3: Tính SH thì d a vào tam giác vuông SHE
Trong tam giác SHE c n tính HE, HE 1
3AE
AE là chi u cao trong tam giác đ u
3 2
a
AE
Có AE suy ra HE suy ra SH suy ra V
Bài 3. Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC) b ng 2 V i giá tr nào
c a góc gi a m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t?
Gi i:
G i M, N là trung đi m BC, AD, g i H là hình chi u vuông góc t N xu ng SM Ta có:
TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 06)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 06) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n
h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2A
Q
R
P
D
C
A
K
A
B
A
I
S
2
2
2 SABCD
SMN , d A; SBC d N; SBC NH 2
SI MI.tan
sin cos
V
3 sin cos 3.sin cos
sin sin 2cos
1 sin cos
3
V min sin cos max
3
Bài 4 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, O là giao đi m c a AC và BD Bi t m t bên c a hình chóp là tam giác đ u và kh ang cách t O đ n m t bên là d Tính th tích kh i chóp đã cho
Gi i:
G i M là trung đi m CD, k đ ng cao OH c a tam giác SOM
d OH SCD
G i CM = x Khi đó: OM = x , SM = x 3
SO = SM2x2 3x2x2 x 2
Ta có: SM.OH = SO.OM hay
3 ,
6 2
6
2
3 2 3 6 3
1
3
d d
d SO
CD
Bài 5 Cho t di n ABCD có t t c các c nh đ u b ng a G i P, Q l n l t là trung đi m c a AB và CD
R là m t đi m trên c nh BC sao cho BR = 2RC M t ph ng ( PQR) c t AD t i S Tính th tích kh i t
di n SBCD theo a
Gi i:
RQ c t BD t i K, g i I là trung đi m c a BR =>DI//RQ
=> ID là đ ng trung bình c a tam giác BRK =>D là trung đi m c a BK
T đó suy ra S là tr ng tâm tam giác ABK 2
3
AS AD
ABSC
SBCD ABCD ABCD
mà
N
M I
D
C
S
H
d
x
H
M O
D
C B
A
S
Trang 3Bài 6 Cho hình chóp t giác đ u SABCD có c nh đáy b ng a, m t bên t o v i đáy góc 0
60 M t ph ng qua CD và vuông góc v i m t bên (SAB) c t SA, SB l n l t t i M và N Tìm th tích hình chóp
S.CDMN
Gi i:
P
O
S
N
M
I H
Xét PHI vuông t i P, có cos 600
2
a
Xét OSH vuông t i O, có
os60o
OH
c
P là trung đi m c a SH do đó M, N l n l t là trung đi m c a SA, SB
M t khác:
tan 60
2
a
SOOH
2 1
ABD
a
S ABD S BCD ABD
Ta có:
.
.
S MND
S MND S ABD
S ABD
.
.
S NCD
S NCD S BCD
S BCD
V
Th tích kh i chóp S.MNCD là:
3
S MNCD S MND S NCD S ABD
a
V V V V (đvtt)\
G i O là tâm hình vuông ABCD, thì SO là đ ng cao c a chóp đ u SABCD
K SHAB thì H là trung đi m AB do SAB cân, Khi đó 60o
SHO
G i I là trung đi m CD, k IP SH
Ta có:
Do đó IP (SAB) (CDP)(SAB)
n l
Trang 4A
B
C
H
M
N
Bài 7 Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng 1 G i M, N là các đi m l n l t di đ ng trên các c nh AB,
AC sao cho DMN ABC t AM = x, AN = y Tính th tích t di n DAMN theo x và y Ch ng minh r ng: x y 3 xy
Gi i:
D ng DH MNH
Do DMN ABCDH ABC mà D ABC là
t di n đ u nên H là tâm tam giác đ u ABC
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
Di n tích tam giácAMN là 1 sin 600 3
AMN
Th tích t di n D AMN là 1 2
.sin 60 sin 30 sin 30
x y 3 xy
Bài 8. Trong m t ph ng (P) cho tam giác đ u ABC c nh a, I là là trung đi m c a BC và D là đi m đ i
x ng c a A qua I Trên đ ng th ng vuông góc v i (P) t i D l y m t đi m S sao cho 6
2
a
SD G i H là hình chi u c a I trên SA Ch ng minh r ng (SAB)(SAC) và tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC
Gi i:
Ch ng minh: (SAB)(SAC)
BC SD do SD ABC
Nh v y: SA BC SA (HBC)
SA IH
SAHB và SAHC [( SAB), (SAC)]BHC
Ta có: AHI ADS HI AI
2
a
2
a
AI
( 3) ( )
Trang 5Tam giác HBC có
2
a
IH IBIC HBC vuông t i H 0
90 BHC
V y: (SAB)(SAC) (đpcm)
Tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC
Ta có: VH ABC. VS ABC. VS HBC.
.
SH là đ ng cao c a hình chóp S.HBC .
1 3
IH IC HC IHC vuông cân t i I
IHB
2
a
2 2
BHC
Tam giác AHB vuông t i H
2
2
S HBC
V y:
H ABC S ABC S HBC
Bài 9 ( bt t gi i) Cho kh i chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a G i G là tr ng tâm c a tam
giác SAC và
kho ng cách t G đ n m t bên (SCD) b ng 3
6
a Tính th tích kh i chóp S.ABCD
áp s : . 3
3 6
S ABCD
a
Bài 10 (bt t gi i) Cho t di n đ u ABCD c nh a G i H là hình chi u vuông góc c a A xu ng m t
ph ng (BCD) và O là trung đi m c a AH Tính th tích V c a t di n theo a
áp s : 3 2
12 ABCD
a
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng Ngu n : Hocmai.vn
A
H
B
I
C
D
S
