cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3 : DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 3 : CẤP SỐ CỘNG Thời gian: 2 tiết I- Mục đích, yêu cầu: - Kiến thức: giúp HS biết khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tí

Chương 3 : DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ

NHÂN Bài 3 : CẤP SỐ CỘNG

(Thời gian: 2 tiết)

I- Mục đích, yêu cầu:

- Kiến thức: giúp HS biết khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC.

- Kĩ năng: giúp HS biết sử dụng các công thức và tính chất của CSC để giải các bài toán: tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u 1 , u n , n, d, S n

II- Phương tiện dạy học:

GV: Phiếu học tập, các thiết bị liên quan.

III- Phương pháp dạy học:

- Nêu vấn đề, thảo luận nhóm, phát vấn …

IV- Tiến trình tiết học:

1) Ổn định lớp

2) Kiểm tra bài cũ: Nêu các cách cho dãy số?

3) Bài mới:

GV hướng dẫn HS xét dãy số: 0,

1, 2, 3, 4, …, n, n+1, …: để ý đến

tính chất đặc biệt của dãy số là: số

hạng đứng sau bằng số hạng đứng

trước nó cộng thêm 1, từ đó dẫn

đến định nghĩa khái niệm CSC

Hỏi: Nêu đn CSC? Lưu ý đại

lượng d? → ghi đ.n

HĐ1: (nhóm thảo luận)

GV đưa ra yêu cầu cho HS:

Biết 4 số hạng đầu của một dãy

số là -1, 3, 7, 11 Hãy chỉ ra quy

luật rồi viết tiếp 5 số hạng tiếp

theo của dãy số

HĐ2: (nhóm thảo luận)

GV đưa ra yêu cầu cho HS:

Cho (un) là 1 CSC có sáu số

1 Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) trong đó,

kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng

ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của CSC.

(un) là CSC với công sai d ⇔un 1+ =un + ∀ ∈d, n ¥*

Đặc biệt : d = 0 thì CSC là một dãy số không đổi.

VD : Dãy số 1, 3, 5, , 2n – 1, là CSC, d = 2

hạng với 1 1

u

3

= − , d = 3 Viết dạng khai triển của nó

GV: Cho CSC (un)

Hỏi: u2 = ? (u2 = +u1 d)

Hãy biểu diễn u3, u4, … theo u1 và

d?

u =u + = +d u 2d

u =u + = +d u 3d

…

Dự đoán công thức un ?

u = + −u (n 1)d

GV hướng dẫn HS chứng minh,

yêu cầu HS nhắc lại pp chứng

minh quy nạp?

GV phát vấn HS:

- Đọc dạng khai triển của dãy số

tự nhiên lẻ?

- Nhận xét gì về dãy số lẻ?

HS:

Dãy số lẻ 1, 3, 5, …, 2n-1, …

Là CSC có u1 = 1, công sai d = 2

Và bài toán đặt ra là tìm u100?

HS tự giải và GV gọi lên bảng

trình bày

GV phát vấn HS:

- Nhận xét dãy số trong trò chơi?

HS:

Dãy số được đọc là: 5, 10, 15, 20,

…tạo thành CSC với u1 = 5,d = 5

Đề bài cho ta biết: un = 100, và

yêu cầu tìm n?

2 Số hạng tổng quát:

Định lí:

Nếu CSC (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

u = + −u (n 1)d, n 2∀ ≥ (*)

CM: (pp quy nạp)

* Khi n = 2 thì u2 = +u1 d Vậy (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với n = k ≥2, tức là:

u = + −u (k 1)d

Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là:

k 1 1

u + = +u kd

Ta có: uk 1+ =uk + = + −d u1 (k 1)d d u+ = +1 kd

Vậy: un = + −u1 (n 1)d, n 2∀ ≥

Ví dụ 1: Số tự nhiên lẻ thứ 100 là bao nhiêu?

Giải Dãy số lẻ: 1, 3, 5, …, 2n-1, … là CSC có u1 = 1, công sai d

= 2

Ta có: un = + −u1 (n 1)d⇒u100 = +u1 99d 199= Vậy số tự nhiên lẻ thứ 100 là 199

Ví dụ 2: Trong trò chơi “năm mười” khi đọc đến số 100 là

lần thứ bao nhiêu?

Giải Trong trò chơi “năm mười”, dãy số được đọc là 5, 10, 15,

20, …tạo thành CSC với u1 = 5,d = 5

Ta có: un = + −u1 (n 1)d

100 5 (n 1).5 n 20

⇔ = + − ⇔ = Vậy khi đọc đến số 100 là lần thứ 20

HĐ3: (nhóm thảo luận)

GV đưa ra yêu cầu cho HS:

Cho một CSC có u1= −1,

3

u =3 Tìm u , u2 4

HĐ4: (nhóm thảo luận)

GV đưa ra yêu cầu cho HS:

Cho CSC có u1 = -2, công sai d

= 2 Tính tổng 17 số hạng đầu

của CSC đó

3 Tính chất các số hạng của CSC:

Định lí:

Trong một CSC, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là :

k 1 k 1 k

u u

u , k 2

2

− + +

4 Tổng n số hạng đầu của một CSC:

Cho CSC (un) Đặt Sn = +u1 u2+ + un(tổng n số hạng đầu tiên của CSC) Khi đó :

n

n(u u ) S

2

+

= Hay : n 1 n(n 1)

S nu d

2

−

= +

4) Củng cố.

5) BTVN: 1–5/97, 98 sgk

BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN

- Học sinh biết khái niệm CSN, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng

và công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN

- Biết sử dụng tính chất và công thức CSN vào giải tóan Tìm các yếu tố còn lại khi

ta biết 3 trong 5 yếu tố U1, Un, n, q, Sn

- Phát vấn, nêu vấn đề, học sinh giải quyết vấn đề

I.Em hãy nêu định nghĩa cấp số cộng?

II Cho biết công thức tính số hạng tổng quát của CSC

III Công thức tính tổng n số hạng đầu CSC

- GV: Yêu cầu 1 học sinh của lớp đọc to

H1 ( trang 98)

- GV phân công:

+ Tổ 1: Tìm xem trong mỗi ô từ ô số 1 > ô

số 6 có bao nhiêu hạt thóc

+ Tổ 2: Tìm mối tương quan số hạt thóc của

các ô ( số thóc ô đứng sau = số thóc ô đứng

ngay trước nó nhân 2)

1, 2, 4, 8, 16, 32

Và các số trên lập thành một dãy các số có

tính chất số hạng đứng sau bằng số hạng

đứng ngay trước nó nhân với một số không

đổi Từ đó GV đưa ra định nghĩa CSN

- GV lần lượt cho công bội q các giá trị

q = 0, q = 1, U1 = 0 và học sinh phát hiện

CSN trong mọi trường hợp đó

- GV gọi một học sinh lên bảng tìm công

bội q bằng công thức: Un+1 = Un.q

- GV hỏi học sinh các số trong VD1 thỏa

yêu cầu gì?

- Hs trả lời: số hạng đứng sau bằng số

hạng đứng ngay trước nó nhân với ¼

- Vậy dãy số vừa cho là CSN

- GV quay lại hoạt động 1 Gọi số hạt

thóc trong các ô lần lượt là

U1 = 1

U2 = 2 = U1.2

U3 = 4 = U1.22

U4 = 16 = U1.23

U5 = 32 = U1.24

U6 = 64 = U1.25

Ta có công thức truy hồi t ính s ố h ạng th ứ

I ĐỊNH NGHĨA

CSN là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong

đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội cấp số nhân

- Nếu (Un) là CSN có công bội q ta có công thức truy hồi: Un+1=Un.q với n ∈ N*

ĐẶC BIỆT

khi q = 0 ==>CSN là U1, 0, 0, …,0 khi q = 1 ==>CSN là U1, U1, U1, …, U1

khi U1= 0 ==> CSN là 0, 0, 0, …,0

VD1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là CSN:

-4; 1; -1/4; 1/16; - 1/64

II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CSN Định lí 1: Nếu CSN có số hạng đứng đầu là U1

và công bội q thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức:

Un = U1.qn-1 với n ≥ 2

VD2: Tính số hạt thóc ở ô số 37 (U37)

VD3: SGK trang 100 ( chuẩn)

n nh ư sau: Un = U1.2n-1

GV: Cho cấp số nhân (Un) với U1 = - 2 và q

= - ½

gọi học sinh viết 5 số hạng đầu của nó Gọi

học sinh so sánh 2

2

u với tích u1.u3 2

3

u với tích u2.u4

GV hướng dẫn học sinh nêu nhận xét tổng

quát

GV gọi học sinh nhắc lại định lý 1: Un =

U1.qn-1 (n ≥ 2)

Từ đó đề nghị học sinh biểu Uk-1, Uk+1

Gợi ý học sinh sẽ làm gì để được vế phải của

định lý 2 Từ đó học sinh phát hiện (*)

Giáo viên cho cấp số nhân Un có công bội q

Hỏi các số hạng của cấp số nhân

Học sinh trả lời: U1, U1q, U1q2, …, U1qn-1, …

GV hỏi khi đó để tính tổng của n số hạng

của cấp số nhân trên ta làm gì?

Sn = U1 + U1q + U1q2 + …+ U1qn -1 (4)

qSn = U1q + U1q2 + …+ U1qn (5)

(4) – (5): (1-q) = U1 – U1qn

==>

q

q U

S

n n

−

−

=

1

) 1 (

1

GV hỏi: Như với n = 1 làm sao tính Sn ==>

với n = 1 cho biết các số hạng của CSN

Học sinh trả lời: U1, U1, …, U1 khi đó Sn = U1 +

U1 +…+ U1 ( n số)

Cho HS nhận xét

GV hỏi: Để tính S10 thì cần phải tính như thế

nào?

Học sinh phát hiện > cần tính q

Cho học sinh phát biểu U3

Gọi học sinh tính

Cho học sinh tính tổng:

n S

3

1

3

1

3

1

1+ + 2 + +

=

III.TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CSN

Định lí 2: Trong cấp số nhân, bình phương của

mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của 2 số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

1 1

k u u

(hay u n = u k−1 u k+1 ) Chứng minh:

Uk-1 = U1.qk-2 (1)

Uk+1 = U1.qk (2) (1)*(2): Uk-1.Uk+1= 2

1

u q2k-2 = (u1 qk-1)2 = 2

k u

(*)

* Tổng n số hạng đầu của CSN

Định lý 3: Cho CSN (Un) với công bội (q≠1) đặt Sn = U1+U2+ …+Un

Khi đó:

q

q u s

n n

−

−

= 1

) 1 (

1

Chú ý: với n = 1: Sn = n.U1

VD4: Cho CSN (Un), biết U1= 2, U3 = 18 Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên

Ta có: U3 = U1.q2 ==>q2 = 9

==>q= ±3 với q = 3, S10 = 59048 với q = - 3, S10 = - 29524

Trước tiên cho học sinh nhận xét đây là tổng

của CSN có số hạng đầu tiên và công bội q

là bao nhiêu? Từ đó học sinh tính tổng trên

1 Cho dãy số hữu hạn 1, 1, 1, …, 1 Chọn câu sai:

a Dãy số không tăng không giảm

2 Cho CSN biết U1 = -3 và U5= - 48 Công bội của CSN là

d Cả 3 câu đều sai

3 Cho CSN biết U1=2, q= -3, chọn kết quả đúng

a S3 = -13 b S3 = -28

VI DẶN DÒ

Bài tập 1 đến 6 trang 103 và 104

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN(Tổng số tiết: 13 tiết)

ÔN TẬP CHƯƠNG III (2tiết)

−Hiểu, nắm được phương pháp quy nạp toán học

−Hiểu các khái niệm: dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi (còn gọi là dãy

số hằng), dãy số bị chặn, cấp số cộng, cấp số nhân

−Nắm được các cách cho dãy số, các phương pháp đơn giản khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của một dãy số

−Nắm vững các công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng, một cấp số nhân

II Kĩ năng:

−Biết vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản

−Biết cách cho1dãy số, cách khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của các giải số đơn giản

−Nhận biết được cấp số cộng, cấp số nhân và biết cách tìm số hạng tổng quát, cách tính tổng n số hạng đầu của các cấp số đó trong các trường hợp không phức tạp

−Biết vận dụng những kiến thức trong chương để giải quyết các bài toán có liên quan được đặt ra ở các môn khác, cũng như trong thực tiễn cuộc sống

III Các bước lên lớp:

 Ổn định lớp:

 Kiểm tra sĩ số:

 Kiểm tra bài cũ:

1) Phương pháp chứng minh quy nạp?

2) Liệt kê các công thức đã học về cấp số cộng, cấp số nhân?

Nội dung bài mới:

Phần tự luận:

1 Chứng minh rằng với mọin N , ta có:Î *

a) 13n- 1chia hết cho 6

HD: Đặt: An =13n- 1, Ak+1=13k+1- 1 13.13= k- 13 12+

b) 3n3+15n chia hết cho 9

HD: Đặt: Bn =3n3+15n ,

Bk+1=3(k +1)3+15(k +1)=3.k3+15k + 9(k + k + 2)2

2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u ) , biết:n

a) u = n +n 1

n HD:

1

n+1 n

n(n +1) b) u = (-1)n n-1sin1

n

HD:(-1) đan dấu nên không tăng cũng không giảmn-1

c) u = n +1n - n

n+1 n

1

n

u

3 Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng1 (u ) , biết:n

14

ïï

íï =

ïî

1 5

4

s HD:u1=8, d = -3

……… Phương pháp CM quy nạp ? a/HS : thực hiện các bước

GV HD khi HS không thực hiện được

b/ HS làm tương tự

GV HD khi HS không thực hiện được bước k+1

2/ Phương pháp xét tính tăng giảm ?

HS : trả lời : 1/ u n+1−u n > 0 , < 0

2/ +1 >1, <1

n

n u u

3/ GV : HD HS sử dụng công thức để tìm u1, d nếu HS không áp dụng được

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN(Tổng số tiết: 13 tiết)

1170

ïï

íï + =

ïî

7 15

2 2

4 12

u u HD:u1=0, d = 3; u1= - 12, d = -3

4 Tìm số hạng đầu u và công bội q của cấp số nhân1 (u ) , biết:n

384

ïï

íï =

ïî

6

7

u

u HD:u1=6, q = 2

144

ïï

ïî

4 2

5 3

u - u

u - u HD:u1=12, q = 2

20

ïï

ïî

2 5 4

3 6 5

u + u - u

u + u - u HD:u1=1, q = 2

5 Biết rằng ba số x, y, z lập thành cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z

lập thành cấp số cộng Tìm công bội của cấp số nhân

HD: x, y, z là CSN nên thay các giá trị y = xq, z = xq2

v ào CSC x, 2y, 3z ta đ ược CSC x, 2xq, 3xq2

Suy ra giải pt: 3q -4q +1= 0 được kết quả: q = 1 và 2 1

3

= q

6 Chứng minh rằng nếu các số a ,2 b ,2 c lập thành cấp số cộng 2

¹

(abc 0) thì các số 1

b + c,

1

c + a,

1

a + bcũng lập thành cấp số cộng.

Gv: h ỏi Hs sử dụng công thức hay phương pháp nào giải ?

HS : nếu HS không trả lời đúng thì GV HD

5/ GV : 1/Hỏi HS nếu có x, y, z

là CSN thì có được gì ? 2/ Hỏi Hs n ếu có x, 2y, 3z là CSC thì có được gì?

HS nếu không trả lời được thì GVHD

Củng cố:Phần trắc nghiệm:

1 Cho dãy số (u ) biếtn un =3n Hãy chọn phương án đúng:

1) Số hạngu bằng:n+1

2) Số hạngu bằng:2n

3) Số hạngu bằng:n-1

3

1

d) 3n-1 4) Số hạngu bằng:2n-1

2 Hãy cho biết dãy số nào(u ) dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng n

quát: (u ) của nó là:n

a) ( 1) sinp

- n+1

n b) ( 1) (5- 2n n+1) c)

1 +

n n

3 Cho cấp số cộng -2, x, 6, y Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) x = -3, y = -2 b) x = 1, y =7 c) x = 2, y = 8 d) x = 2, y = 10

4 Cho cấp số nhân -4, x , -9 Hãy chọn kết quả trong các kết quả sau:

5 Cho cấp số cộng(u ) Hãy chọn hệ thức đúng trong các kết quả sau:n

a) u + u10 20 =u5+ u510

2 b) u + u90 210=2u150

d) u u10 30 =u20 2

ĐS&GT 11 CB – Chương 3 Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

6 Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

a)ìïï =2

íï

ïî

1

2 n+1 n

u

1

ì = -ïï íï ïî

1 n+1 n

u

3 1

ì = -ïï

ïî

1 n+1 n

u

u = u d) 7, 77, 777, 7777,…, 777 7n chu so 7