GIẢI PƯOƠNG TRÌNH BẰNG PP ẨN PHỤ

Song song với việc dạy và học định lí và các khái niệm Tốn học, người thầy cịn phải dạy và rèn luyện cho học sinh quy tắc và phương pháp giải tốn, cùng với dạy học giải bài tập tốn.. Tro

ĐINH VĂN QUYẾT

A MỞ ĐẦU

Dạy và học tốn ở trường THPT là một quá trình tư duy và sáng tạo Song song với việc dạy và học định lí và các khái niệm Tốn học, người thầy cịn phải dạy và rèn luyện cho học sinh quy tắc và phương pháp giải tốn, cùng với dạy học giải bài tập tốn Trong thực tế dạy và học tốn hiện nay ở trường THPT, khơng nhiều học sinh cĩ kĩ năng vận dụng lí thuyết để giải được nhiều lớp bài tốn một cách chính xác và khoa học Từ nhận thức đĩ tơi xin đưa ra một vài ý kiến và kinh nghiệm của mình xung quanh việc giải bài tập tốn

I Vị trí, chức năng của bài tập tốn học

Ở trường THPT, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, cĩ thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất cĩ hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng , kĩ xảo ứng dụng Tốn học vào thực tiễn Phát triển tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

II Dạy học phương pháp tìm tịi lời giải bài tốn

Trong mơn Tốn ở trường THPT cĩ rất nhiều bài tốn chưa cĩ hoặc khơng cĩ thuật tốn để giải Đối với những bài tốn ấy cĩ thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải Khơng cĩ một thuật tốn tổng quát nào để giải mọi bài tốn Chúng ta chỉ cĩ thể thơng qua dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ tìm tịi giải các bài tốn Thơng thường việc tìm lời giải bài tốn được tiến hành theo bốn bước sau:

- Tìm hiểu nội dung bài tốn

- Xây dựng chương trình giải

- Thực hiện chương trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Sau đây tơi trình bày một phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình.

B NỘI DUNG

Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

* Phương pháp

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ.

Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT ẩn phụ Giải PT chứa ẩn phụ và tìm nghiệm thỏa

điều kiện của ẩn phụ.

Bước 3 : Tìm nghiệm PT ban đầu thỏa hệ thức khi đặt ẩn phụ.

* Một số dạng thường gặp

I PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1 Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng dạng :

4 3 2 0,( 0)

ax bx cx bx a  a

PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x2 ta được

2

2

0

2

PT trở thành : at2bt c  2a0,(t 2).Giải PT này tìm t , từ đó tìm x

 VD : 3x47x37x 3 0

 Giải :

PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x 2

ta được 2

2

2

ta có PT :3t27t 6 0 

3 2 3

t t





 

 



2

2

x

 

2

3

t  ( không thỏa ĐK)

2 Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch dạng:

4 3 2

0,( 0)

ax bx cx  bx a  a

PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x2 ta được

2

2

0

2

PT trở thành : 2

2 0, ( 2)

at bt c  a t  Giải PT này tìm t , từ đó tìm x

 VD : 3x4 4x3 5x24x 3 0

 Giải : PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x2 ta được

2

2

2

       ta có PT :

ĐINH VĂN QUYẾT

2

3t  4 1 0t  

2

2

2

x









3 Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ dạng:

4 3 2 2 0,( 0, 0)

ax bx cx bkx ak  a k

PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x2 ta được

2

2

1

0

k

Đặt ẩn phụ : 2 2 2

PT trở thành : at2bt c  2ak 0,(t 2)

Giải PT này tìm t , từ đó tìm x

4 Phương trình bậc bốn hệ số không đối xứng dạng :

4 3 2 0,( 0)

ax bx cx dx e  a

Biến đổi PT đã cho về dạng : 2 2 2

A x b x c B x b x c C Đặt ẩn phụ : 2

1 1

t x b x c , thu được PT mới : 2

0

At Bt C  Giải PT này tìm t , rồi tìm x

5 Phương trình dạng : 2 2 2

a ax bx c b ax bx c  c x

Đặt ẩn phụ : 2

y ax bx c ta có hệ :

2

2

ay by c x

ax bx c y





 Trừ các vế của PT trong hệ ta được một PT hệ quả, từ đó tìm được x

6) PT dạng : ax2 bx c px2 qx r, a b

p q

 

Đặt ẩn phụ : t px2qx r t ,( 0) PT (1) trở thành PT bậc hai ẩn t

Từ đó tìm t , rồi tìm x

 VD1 :Giải phương trình: 4x210x 9 2x25x3

 Giải: Đặt t 2x25x3,t0  2t2  t 3 0

Phương trình này vô nghiệm vì  0.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 VD2: Giải phương trình: 2 2

x  x x  x 

 Giải:

ĐK:x25x  4 0 x 4 x1

Đặt 2

5 4 ,( 0)

t x  x t

2 3 0

2

t

t t

t

 



      



5

x

x







7) PT dạng: a cx  b cx d  (a cx b cx )(  )e c;( 0;d 0)

ĐK : ( ) 0

a cx

b cx





Đặt ẩn phụ : t a cx  b cx t ,( 0) 2 (a cx b cx )(  ) t2 a b

PT trở thành dạng : 2

2t d t (  a b ) 2 ,( e t0) Giải PT này tìm t từ đó suy ra x

 VD : x 1 3 x (x1)(3 x) 2

 Giải: ĐK:   1 x 3

Đặt ẩn phụ:

2

2

0

2 1

3

t

t t

t x

t

x

t PTVN











   



 

8) PT dạng :

x a  b a x b  x a  b a x b cx d a 

ĐK : x b 0

, 0

t x b t   x t b Thay vào PT (2) ta có PT 2

t a  t a c t b d Giải PT này cần xét hai trường hợp : t a và 0 t a 

6

x

x x  x x  

Giải: ĐK : x 9

Đặt ẩn phụ :

2

t  x t  x t  

2

( 32)

6

t

t  t   Xét hai trường hợp:

2 12 32 0 8 73

1:

3

t t

TH

t



ĐINH VĂN QUYẾT

2 4

t

t



 



9) PT dạng : ( ) a P x bQ x( )c P x Q x ( ) ( ) 0,( abc0)

Nếu ( ) 0P x  thì ( ) 0Q x 

Nếu ( ) 0P x  , chia hai vế PT cho P(x) và đặt ( ),( 0)

( )

Q x

P x

PT trở thành at2bt c 0 Giải PT tìm t , suy ra x

10) PT dạng :

a P x Q x b P x  Q x  a P x Q x  c a b  (5)

ĐK : Q x P x( ) 0( ) 0



Đặt ẩn phụ : t P x( ) Q x( ) P x( )Q x( ) 2 P x Q x( ) ( ) t2

PT trở thành at2bt c 0 Giải PT tìm t , suy ra x

11) PT dạng : k f x( )k g x( )c; trong đó: ( )f x g x( )a (a là hằng số)

Đặt hai ẩn phụ : uk f x v( ); k g x( )

Thu được hệ : k k

u v c

u v a

 







 VD : Giải phương trình: 4 47 2 x435 2 x 4

 Giải: TXĐ 35 47;

D 

Đặt:

4

4

47 2 0

35 2 0







Ta thu được hệ phương trình: 4 4

4 82 0; 0

u v

u v

u v

 









4 4

3

29

S S

u v S

P

uv P P P

P











TH1:

3 1

3

u v

v

 







 



 



TH2: 4

29

S

P









 vô nghiệm

12) Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai dạng :

a f x  b g x   2c (6)

ĐK: f x   0

Đặt hai ẩn phụ:  

 

0

u f x

v g x









PT đã cho trở thành hệ phương trình hai ẩn

 VD: Giải phương trình x6 x24x

 Giải: TXĐ: D    6; 

 2

2

6 0

1 0

u x

v u

  

*

2

17

3 







2

13 5 0



u

13) Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba dạng :

3

3ax b r ux v  (  ) dx e (7)

Đặt ẩn phụ : 3 ax b uy v    (uy v )3ax b

PT đã cho trở thành hệ :

3

3

r uy v arx br

r ux v uy ar u x br







Trừ theo vế các PT trong hệ tìm được u , v , x

 VD : 33x 5 8 x3 36x253x 25

II PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

1 Tích của hai cơ số bằng 1(Các cơ số dương và khác 1)

a Đối với mũ : a A f x( )b B f x( )c và A.B=1

Đặt : ( ) ( ) 1

0

t

Thu được phương trình : at2 ct b 0 với t > 0

Giải phương trình tìm t , suy ra x

ĐINH VĂN QUYẾT

 VD1 : 5 21x 3 5 21x 2x3

 Giải : Chia cả hai vế PT cho 2xvà đặt

2

x x

t     t  t  5 21 

2

b Đối với logarit (cơ số dương và khác 1)

loga f x( ) log b g x( )c với a.b=1

Đặt tloga f x( ) logb g x( ) loga g x( )

Khi đó đưa phương trình về cùng một cơ số

2log  1x x log  1x  x 1 1

 Giải: Nhận xét:        

1

1





1

2 3

1

3



 

2 2

2

2

1

2 1

2

x x





















2 3 2

1 3

1 2

2 2 3

x 







2 Đặt toàn bộ PT bằng một ẩn phụ t

PP : - Đặt toàn bộ phương trình bằng một ẩn phụ , chẳng hạn ẩn t

- Chuyển PT về hệ PT , giải tìm t sau đó tìm x

 VD : log3x log 12  x 0

 Giải: ĐK: x>0

Đặt tlog3xlog 12  x 

3

2

log log 1









t

t

x

x

 









 

3

t

x

 





t t

Vế trái là hàm số nghịch biến ,vế phải là hàm số không đổi , suy ra

phương trình có nghiệm duy nhất t = 2

Vậy x= 9 là nghiện của PT đã cho

3 Đặt ẩn phụ nhưng ẩn của x vẫn còn

PP : - Có thể đặt ẩn phụ t nhưng ẩn củ x vẫn còn

- Đưa PT về PT ẩn phụ t và xem x là tham số

- Giải tìm t theo x , sau đó tìm x

x x  x x 

 Giải: ĐK: x>-1

3

t x  x t  x t 

 

1 2

80

81







      

 Xét PT(*) ta có:

 2



hàm số nghịch biến   ; 2và2;

 

3

VT y x hàm số đồng biến trên 1;

Suy ra PT(*) có nghiệm duy nhất x=2

Vậy PT có hai nghiệm: 2; 80

81

x x III PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẤU HIỆU

Ẩn phụ Điều kiện ẩn phụ Biểu thức cần tính

sin

cos

t ax

t ax





 



1 t 1

   Phụ thuộc vào bài toán cụ thể

sin cos

2

t

x x  cos sin

2

t

x x 

ĐINH VĂN QUYẾT tan cot

tan xcot x t  3t

tan cot

1 Phương trình dạng : asinxcosxbsin cosx x c

Đặt ẩn phụ : sin cos 2 cos

4

t x x x  

ĐK của ẩn phụ là :  2 t 2;

Suy ra : sin cos 2 1;

2

t

x x  Thu được PT mới ẩn phụ t như sau :

2

2

( 1)

2

b t

at   c bt  at b c 

* Chú ý 1:

Nếu phương trình dạng : acosx sinxbsin cosx x c

thì đặt ẩn phụ: cos sin 2 cos

4

t x x x 

ĐK của ẩn phụ là :  2 t 2

Suy ra : sin cos 1 2

2

t

x x  Thu được PT mới ẩn phụ t như sau :

2

b t

at    c bt  at b  c

* Chú ý 2:

Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng

sina xcosx b sin cosx x c

Thì ta đặt: sin cos ;0 2 sin cos 2 1

2

t

t x x  t  x x 

* Chú ý 3:

Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng

cosa x sinx b sin cosx x c

Thì ta đặt: cos sin ;0 2 sin cos 1 2

2

t

t x x  t  x x 

 VD1 : Giải phương trình

 

3 sinxcosx 2sin 2x 3 0

 Giải : Đặt ẩn phụ : sin cos 2 cos

4

t x x x  

ĐK của ẩn phụ là :  2 t 2;

Suy ra : sin cos 2 1;

2

t

x x  Thu được PT mới ẩn phụ t như sau:

2

2

1 4( 1)

2

2

t t

t





 



t x x x    x  

t x x x   x   

 VD2: Giải phương trình

sinxcosx sin cosx x1

 Giải: Đặt sin cos ;0 2 sin cos 2 1

2

t

t  x x  t  x x 

Thu được phương trình:

2

1

3 2

t t

t









*t3 :PTVN

t  x x   x     x  

 VD3: Giải phương trình 3 3 3

1 sin 2 cos 2 sin 4

2

 Giải:

1 sin 2 cos 2 sin 4

2

1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 3sin 2 cos 2

Đặt: sin 2 cos 2 2 cos 2

4

t x x  x  

Điều kiện:  2 t 2

2 1 sin 2 cos 2

2

t

x x 

Thu được phương trình:

   2 

2

1

2 5 0 2

t

t t t





ĐINH VĂN QUYẾT

4

















2 Phương trình dạng: asin2x b sin cosx x c cos2x d

* Cách giải :

B1 :Kiểm tra cos x = 0 có phải là nghiệm của PT hay không ?

B2 : Khi cosx 0 chia cả hai vế của PT cho cos x2 và

đặt ẩn phụ t = tan x ta thu được một PT mới như sau :

(1 )

at bt c d  t  (a d t ) 2bt c d  0

3sin x 3 3 sin cosx x 3 cos x0

 Giải: Nhận thấy cosx 0 không là nghệm của phương rình đã cho nên ta chia hai vế của phương trình cosx 0 ta thu được phương trình:

2

4 3

tan



















 VD2 : Giải phương trình: 2 2

3sin x2 3 sin cosx xcos x1

 Giải: Nhận thấy cosx 0 không là nghệm của phương rình đã cho nên ta chia hai vế của phương trình cosx 0 ta thu được phương trình:

3tan 2 3 tan 1 1 tan 2 tan 2 3 tan 0

tan 0

3

x k x

x























2sin x sin cosx x cos x m Tìm m để PT đã cho có nghiệm

 Giải:

2

x k  x  m vậy m=2 là một giá trị cần tìm

2

x k  x  m thì ta chia hai vế của phương trình cho cosx 0 Thu được phương trình:

tan x tanx1m 1 tan x  2 m tan x tanx m 1 0

Đặt ttan ;x t R  2 m t 2 t m1 0

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

2 2

0

m m

m









 Vậy phương trình có nghiệm khi 1 10 1 10

3 Phương trình dạng: atan2xcot2 xbtanxcotx c 0

Đặt ẩn phụ: tan cot  2

sin 2

x

Điều kiện: 2 2

sin 2

t

x

Khi đó: tan2xcot2 x t 2 2

Thu được phương trình: a t 2 2bt c  0 at2bt c  2a0

 VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3 tan xcot x m tanxcotx  2 0

 Giải: Đặt ẩn phụ: tan cot  2

sin 2

x

Điều kiện: 2 2

sin 2

t

x

Khi đó: tan2xcot2 x t 2 2

t

2

t

t

             t  ; 2  2; Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, ta có: f(-2) = 4 và f(2) = -4

Kết luận phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: m     ; 4  4;