SKKN Giải pt (được)

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao trong ch-ơng trình toán THCS và các bài tập minh họa.. - Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa v

A - đặt vấn đề

1 Lời nói đầu:

Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong cáclĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo

đạc, tính toán

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác

Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tínhtrừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm Vì vậy, làm thếnào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha

mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học

Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từcấp II đến cấp III và các cấp cao hơn Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bịcho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình

Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giảiphơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản Đối với các em học sinh thì việc giải cácphơng trình đó không gây khó khăn nhiều Nhng khi gặp một số phơng trình bậccao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán Ngaycả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phơng trìnhnày

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao trong

ch-ơng trình toán THCS và các bài tập minh họa

2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.

- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các

ph-ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Các ví dụ minh hoạ

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn

- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập

3 Đối t ợng nghiên cứu

- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thíchhọc toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định

Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém

5 Dự kiến các kết quả đạt đ ợc của đề tài

Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS trongviệc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn Qua đó các em có phơng pháp giảinhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việc trình bàycách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các

kỳ thi

B Nội dung đề tài

Biến x gọi là ẩn

Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm

Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình

Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình

đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với

ph-ơng trình đã cho

Ví dụ:

5x + 7 = 16x - 3 ⇔ 5x - 16x = -3 -7

Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì

đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái củaphơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0.

2.2 Cách giải

- Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi phơng trình đã cho về cácdạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích) đểtìm nghiệm của phơng trình

- Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số ∆ của phơng trình:

∆ = b2 - 4ac

∆ gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức ∆ = b2 - 4ac quyết định

Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :

a) ∆ < 0 ⇔ phơng trình bậc hai vô nghiệm

b) ∆=0 ⇔ phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau )

a

b x

2

1

∆ +

−

a

b x

P = x1.x2 =

a c

3 Ph ơng trình bậc cao một ẩn

3.1 Dạng tổng quát của ph ơng trình bậc cao một ẩn

Phơng trình tổng quát bậc n có dạng:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an ≠ 0)Trong đó: x là ẩn số,

an, ,a0 : là các hệ số

Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìmnghiệm của nó Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù cócông thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoàichơng trình THCS, THPT

Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại sốbậc cao

3.2 Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn :

Cho phơng trình bậc n: anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an≠ 0)

Giả sử phơng trình có n nghiệm x1, ,xn, trong các nghiệm đợc kê ra một sốlần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau:

n

n n

a

a x

1 + + = − −

n n

n

a

a x

x x

x x

1 4

3 2

+ + +

k n

k n i i i

a

a x x x

a

a x

Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau:

Cho phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3

Khi đó:

x1+x2+x3 = −a b

a

c x x x x x

x1 2 + 2 3+ 3 4 =

a

d x

x1+ 2+ 3+ 4 = −

a

c x x x x x x x x x x x

x1 2+ 1 3+ 1 4 + 2 3+ 2 4 + 3 4 =

a

d x

x x x x x x x x x x

x1 2 3+ 1 3 4+ 1 2 4+ 2 3 4 = −

a

c x x x

x1 2 3 4 =

II Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn :

Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải songtrong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại sốbậc cao.

Đó là:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích.+ Đặt ẩn phụ

II.1 Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

0)(0)()

(

x g

x f x g x f

Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì sẽ

đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng

ph-ơng trình quen thuộc đã biết cách giải

0 3 0

x

x

x

Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3

=

−

⇒

0 2

0 2

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2e) x3 - 7x-6 =0

⇔

0 3 2

0 2

− +

−

= +

⇔

0 ) 1 ( 2 ) 1 )(

1 (

0 2

x x

x x

= +

⇔

0 3

0 1

0 2

x x x

Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3

* Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm

nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử

Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho

nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a

- Khai thác cách nhẩm nghiệm :

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (1) ( ai ∈ Z )

+) Nếu an + an-1 + +a1+ a0 = 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1 +)Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) cónghiệm x = - 1

+) Nếu số hữu tỉ x = q p ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình(1) thì p là ớc của a0 , q là ớc của an

Ví dụ : Giải phơng trình : x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*)

Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình(*) nhận x =- 1là nghiệm

Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1, do

Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2

Bài toán áp dụng:

− +

−

=

−

0 2 3 2 2

0 1 2

Ta thÊy ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 1 nghiÖm x =12

Muèn ph¬ng tr×nh (*) cã 3 nghiÖm d¬ng ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2) ph¶i

cã 2 nghiÖm d¬ng ph©n biÖt kh¸c

2 1

§Æt f(x)=x2 -2mx +2m2 -3m +2 th× f(x) ph¶i tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:

0'

0)2

1(

P S

−

≠+

−

⇔

0232

02

033

09168

2

2 2

m m m

m m

m m

(1)(2)

⇔

04

12

32

0

0)2)(

1(

01)1(

8

2 2

m

m

m m m

⇒ Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2

II.2 Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ

Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta

đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y≥ 0) Giải phơng trình này ta đợcnghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu

H íng dÉn:

0 3 4

1

2

m m

m

2 3

2 1

; 2 3

1 2

V× x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta chia c¶ hai vÕ cña

0 34 )

1 ( 2 )

1 (

x

x x

= +

− +

=

+

⇒

0 2 3 16 3

2

0

1

2 3

Ta thÊy x=0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3)

Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) cho x2 ta cã:

0 2 3 16 3

x x x

x

0 16 )

1 ( 3 )

1 (

⇔

x

x x

= +

= + +

∆

3 2

; 3

m m mx

x

0 3 1 1

Đặt y=x+1x ( y ≥ 2 )

Phơng trình (1) trở thành : y2+ my + 3m - 2 = 0 (2) ( y ≥ 2 )

Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có một nghiệm thỏa mãn

điều kiện y ≥ 2

Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phơng trình (2) vô nghiệm:

+ Phơng trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) vô nghiệm hoặcphơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)

2

)23)

((0)

2

(

0)

726

;726

m m m

m m

7 2 6 5

b Cách giải :

Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả 2 vế của phơng trình

cho x2 rồi đặt

x x

x x x

x

0 1 1 1

2

1

x x y

1 2

x x

a a

ax

x

0 ) 1 2 ( )

1 ( )

1

x x a x x

Ta đợc phơng trình: y2 + 2 – ay –( 2a+1) =0

0 1 2

Ta thấy phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm với ∀y

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép: ⇔ ∆ = 0

⇔a2 +8a -4=0

'

∆ =16+4=20 ⇒ ∆ ' = 2 5

5 2 4

x x x

x

0 3 1 1

2 + − − =



 +

1 =− +

−

⇒

x x

2 2 ) 5 1

( − + = 2 −

0 2 ) 1 5 (

2 2 + − − =

5 2 22 16 5 2

1

− +

( + = 2 −

−

0 2 ) 5 1 (

2 2 + + − =

16 5 2

3

+ +

; 4

5 2 22 5 1

; 4

5 2 22 5 1

; 4

5 2 22

−

⇒

x x

2.4.1 Ph ơng trình dạng : ax2n + bxn +c = 0 ( a ≠ 0)

a) Cách giải :

Đặt xn = y sau đó đa về phơng trình bậc hai đối với biến y: ay2 + by + c = 0

b)Ví dụ minh hoạ:

=

−

0 3

0 5

Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phơng trình (2) có nghiệm duy nhất

Với m = 5 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x=5 ( − 2 )

Với m=-3 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x=5 2

2

2 2

12

4 2

Đây là phơng trình trùng phơng mà ta đã biết cách giải

Với t=1 ta có : y2 =1 ⇔ y=1 hoặc y=-1

(loại)

Nếu t=1 ⇒x+7 = 1

⇒ x= - 6

Nếu t =- 1 ⇒ x+7= - 1

⇒x=-8

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8

*Ví dụ 2: Cho phơng trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1)

a.Tìm điều kiện của m và n để phơng trình có nghiệm

=

0 6

0

2 2

y

y

⇔y=0 ( vì y2 ≥ 0 ∀x nên y2 + 6≥6∀x)với y=0 ⇒x+4=0 ⇒x=-4

Vậy phơng trình có nghiệm x=-4

c)Bài tập áp dụng :

Giải phơng trình:

10 4

10 4

Ta xét bài toán phủ định tìm m để phơng trình (*) vô nghiệm :

⇒ Phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình ( 2) có nghiệm nhng phơng trình(1 ) vô nghiệm :

25 04 124

04 25

y

m y m

0)4(425

−

≥

⇔

445

020164

25

m m

Vậy phơng trình (*) vô nghiệm khi m<

4

25

−

(vô lý)

+ Thay y =-1 vµo (1) ta cã :

3 ' 3 2 1

2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phơng trình:

y2 + 3y - 40 = 0

Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x

[(x+ 5 )(x+ 9 )][(x+ 6 )(x+ 8 )] = m(x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48)= m

C kết luận

Đề tài ''Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn'' tuy là mộtvấn đề khó và rộng nhng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hớng dẫn của thầy côgiáo, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS

Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa

về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 vàlớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy

Trớc khi áp dụng các phơng pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túngkhông tìm ra đợc hớng giải khi gặp các phơng trình bậc cao

Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục đợc nhiều nhợc điểm, tỷ lệlàm đợc bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn

Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:

độ nhận thức chung của học sinh

Ngời thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo củahọc sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giảitoán đúng đắn Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáodục trong nhà trờng

Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc sựgóp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết đợc hoàn chỉnh và hấp dẫnhơn

Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảngdạy tôi còn đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo

Tôi xin chân thành cảm ơn /

Ngời viết

Vũ Thị Thuý

D tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục)

2 Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng s phạm của Phạm Gia Đức - HoàngNgọc Hng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục)

3 172 bài toán có chứa các tham số của Lê Khắc Bảo (NXB Giáo dục)

4 Giải toán Đại số sơ cấp của Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng (NXB Giáo dục)

5 Bồi dỡng học sinh đại số 9 của Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều(NXB Giáo dục)

6 255 bài toán chọn lọc đại số của Vũ Dơng Thuỵ- Trơng Công Thành - NguyễnNgọc Đặng

Và một số tài liệu khác có liên quan

E Giáo án tiết dạy chuyên đề

Tiết 54 : Phơng trình quy về phơng trình bậc hai

I Mục tiêu :

- Học sinh biết giải một số phơng trình có thể biến đổi về dạng phơng trìnhbậc hai

- Rèn luyện kỹ năng giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai

- Phát triển t duy của học sinh

II Chuẩn bị

Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng

Học sinh : ôn cách giải phơng trình bậc hai, phơng trình chứa ẩn ở mẫu,phơng trình tích

III Tiến trình giờ dạy :

A Kiểm tra bài cũ :

Phơng trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phơngtrình bậc hai ?

Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình bậc hai một ẩn :

Hãy giải các phơng trình bậc hai đó ?

Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) không phải là phơng trình bậc hai.Tuy nhiên để giải đợc các phơng trình nh thế này ta có thể biến đổi đa về dạng ph-

ơng trình bậc hai → bài mới

B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :

Nếu học sinh không trả lời đợc, GV có thểgợi ý.

+ Có nhận xét gì về các hạng tử của vếtrái ?

+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?

- GV : Vế trái của phơng trình đã phân tíchthành nhân tử trong đó có 1 nhân tử bậc 1

và 1nhân tử bậc hai Việc giải phơng trình

đã cho quy về việc giải phơng trình bậchai

- GV nêu ví dụ 2 :

- Cho biết dạng của phơng trình này ?

- Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn ởmẫu ?

ax4 +bx2 +c=0 (a≠0) gọi là phơng trìnhtrùng phơng

- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm

- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b

- GV hớng dẫn bài 5b

- Khai thác số nghiệm của phơng trình trùng phơng thông qua phơng trình đợc đặt

ẩn phụ

Thanh Hoá, ngày 5 tháng 4 năm 2005

Hiệu trởng trờng THCS xã Mậu Lâm