Lý do chọn đề tài - Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình toán trung học phổ thông và thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và thi học s
Trang 1MỤC LỤC
Trang
Phần I : Phương pháp chung để giải phương trình lượng giác………… 3 Phần II : Các ví dụ minh hoạ……… 4 Phần III : Một số bài tập áp dụng……… 15 Phần IV : Kết luận……… 15
Trang 2Më ®Çu
1 Lý do chọn đề tài
- Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình toán trung học phổ thông và thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi Phương trình lượng giác rất đa dạng và không thể có phương pháp chung nào đề giải mọi phương trình lượng giác nên học sinh thường thấy lúng túng trong việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn Để giúp học sinh phần nào trong việc định hướng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp với các bài toán trong chương trình toán THPT ( chương trình chuẩn), tôi đã nghiên cứu đề tài :
“Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực không
chứa tham số “
2 Giới hạn của đề tài
- Phương trình lượng giác rất đa dạng nhưng có thể nói có hai dạng riêng biệt là: Phương trình chứa tham số và phương trình không chứa tham số (phương trình dạng đại số) Những phương trình lượng giác mẫu mực đã có cách giải cụ thể ở sách giáo khoa vì vậy ở đây tôi chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình không chứa tham số ở những phương trình không mẫu mực
3 Mục tiêu, nhiệm vụ
* Mục tiêu
- Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải một
số bài tập mẫu học sinh có thể vận dụng giải những bài tập trong sách giáo khoa sách bài tập phần nào giúp học sinh thuận tiện hơn trong quá trình học và quá trình
ôn tập củng cố kiến thức chuần bị cho các kỳ thi
* Nhiệm vụ.
- Phân loại các phương trình lượng giác không mẫu mực
- Chỉ ra các phương pháp giải mỗi dạng phương trình lượng giác đó
- Đưa ra một số ví dụ minh học có lời giải và một số bài tập để học sinh vận dụng
4 Cơ sở lý luận của đề tài
- Về lý luận: dựa vào kiến thức về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt ở đại số lớp 10
- Phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác mẫu mực (Đại số và giải tích lớp 11)
- Về thực tiễn: dựa vào yêu cầu của các đề thi vào các truờng Cao đẳng và Đại học
5 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu qua SGK và SGV, Sách nâng cao và các tài liệu tham khảo khác
- Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy
- Trao đổi cùng các đồng nghiệp
Trang 3- Điều tra khảo sỏt chất lượng học sinh.
Phần I.
Phơng pháp chung để giải phơng trình lợng giác
- Thụng thường để giải phương trỡnh lượng giỏc ta phải thực hiện cỏc bước sau:
* Nếu phương trỡnh chứa nhiều hàm lượng giỏc khỏc nhau thỡ sử dụng phộp biến đổi tương đương đưa về phương trỡnh chỉ chứa một hàm lượng giỏc
* Nếu phương trỡnh chứa cỏc hàm lượng giỏc của cỏc cung khỏc nhau thỡ sử dụng phộp biến đổi tương đương đưa về phương trỡnh chỉ chứa cỏc hàm lượng giỏc của một cung
- Sau khi biến đổi như trờn nếu phương trỡnh nhận được khụng cú dạng quen thuộc thỡ tiếp tục thực hiện một trong hai hướng sau
* Hướng thứ nhất : Biến đổi phương trỡnh đó cho về cỏc phương trỡnh đơn giản
quen thuộc Cỏc phương phỏp biến đổi theo hướng này gồm cú
+ Phương phỏp đặt ẩn phụ : Đưa phương trỡnh lượng giỏc về việc giải phương trỡnh đại số
+ Phương phỏp hạ bậc : Nếu phương trỡnh cần giải cú bậc cao thỡ dựng cụng thức
hạ bậc để biến đổi về bậc thấp hơn
+ Phương phỏp biến đổi thành phương trỡnh tớch
+ Phương phỏp đỏnh giỏ hai vế
* Hướng thứ hai : Dựng lập luận để khẳng định phương trỡnh cần giải là vụ nghiệm
hoặc cú nghiệm duy nhất x x= 0
Trang 4Phần II.
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài toán 1: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1; Giải phương trình 2 ( )
1
2 1 tan 2 3 cos x = − x− + (1) ; ĐK 0
3
x π
< <
Gi¶i : Do 0
3
x π
< < nên cosx > 0, ta có
2
2
(1) 1 tan ( 2 1) tan 2 3
tan ( 2 1) tan 2 2 0
Đặt tanx = t ta được phương trình
( 2 1) 2 2 0
2 2
t
t
=
− − + − = ⇔ = −
vì 0
3
< < <=> 0 tan< x< 3 do đó chỉ nhận t = 1
t = 1 <=> tanx = 1 <=>
4
x=π
(V× 0
3
< < )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
4
x=π
Ví dụ 2 : Giải phương trình
tan2x + cotx = 8 cos2x
Điều kiện để phương trình có nghĩa là
( )
1.1
≠ + ≠ +
* Xét hai khả năng sau
+ Nếu
2
x= +π kπ
khi đó tan2x + cotx - 8 cos2x = 0
Vả lại chúng thoả mãn ĐK (1.1) nên
2
x= +π kπ
; k Z∈ là một nghiệm của phương trình đã cho
*) Nếu
2
x≠ +π kπ
( và thoả mãn (1.1)) Khi đó viết phương trình đã cho dưới dạng
1 tan tan 1 tan
x
Đặt tanx = t (t≠0;t ≠1) ta có phương trình:
Trang 5( ) ( )
( )
2
2 2
8 1
8 4 0 *
t
t t
+ =
⇔ + + − = − ⇔ + + − + =
⇔ + + − + = ≠
⇔ − ÷ + − + =÷
Đặt y t 1
t
= − khi đó đưa (*) trở về phương trình y2 +8y + 4 =0 ⇔ = − ±y 4 2 3
(chú ý rằng 1 tan cot sin cos cos 2 2 cot 2
cos sin sin cos
−
Ta có hai trường hợp sau
1/ cot 2 2 3 tan cot ( )
5
2 / cot 2 2 3 tan cot ( )
Đối chiếu với ĐK (1.1) ta suy ra mọi nghiệm đều chấp nhận được Tóm lại phương trình đã cho có các nghiệm là:
5
; ; ( )
x= π +kπ x= π +kπ x= +π kπ k Z∈
Chú ý :
*, Nếu dùng phép biến đổi t = sinx hoặc t = cosx thì không có gì đáng nói
*, Nếu thực hiện phép biến đổi t = tanx ( hoặc t = cotx) thì lưu ý các điểm sau đây : +, Nếu trong ĐK của phương trình đã có
2
x≠ +π kπ (x k≠ π) thì việc đặt ẩn phụ t=tanx (t = cotx) không phạm sai lầm gì
+, Nếu trong ĐK của phương trình không có
2
x≠ +π kπ (x k≠ π) thì việc đặt ẩn phụ
t tanx t cotx = = mà không xét thêm khả năng
2
x= +π kπ
( x k= π ) có thể sẽ dẫn đến mất nghiệm
Bài toán 2: Dùng phương pháp hạ bậc
B1: Đặt ĐK để phương trình có nghĩa ( nếu cần)
B2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng một trong các công thức hạ bậc sau
Trang 6( )
2
2
2 2
2 2 2
1 1.sin 1 cos 2
2 1 2.cos 1 cos 2
2 sin 1 cos 2 3.tan
cos 1 cos 2 cos 1 cos 2 4.cot
sin 1 cos 2 1
5.sin cos sin 2
2
x
x
= −
= +
−
+ +
−
=
3
3
3
3
1 6.sin 3sin sin 3
4 1 7.cos 3cos cos3
4 3sin sin 3 8.tan
3cos cos3 3cos cos3 9.cot
3sin sin 3
x
x
−
=
+ +
=
−
Ví dụ1 : Giải phương trình
Sin2x + sin22x +sin2 3x + sin24x = 2 (2)
Giải : Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos 2
sin
2
α
α = −
Ta cã:
(2) ⇔ 1 - cos2x + 1 - cos4x + 1 - cos6x + 1 - cos8x = 4
⇔ 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0
⇔ os5x cos3x + 2 cos5x cosx = 0
⇔ s5x (cos3x + cosx ) = 0
⇔ os5x cos2x cosx = 0
⇔
10 5 cos5x =0
cos2x =0 ( )
4 2 cosx =0
2
π π
π π
π π
= +
= +
Chú ý: nghiệm ; ( )
2
x= +π kπ k Z∈
không nằm trong nghiệm ; ( )
10 5
x= π +kπ k Z∈
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ; ;
x= π +kπ x= +π kπ k Z∈
- Để kết luận chính xác nghiệm của phương trình này học sinh cần biết biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác một cách thành thạo
- Với những phương trình chứa số lẻ các hạng tử bậc cao ( ví du 2 ) thông thường ta không hạ bậc tất cả các hạng tử mà chỉ chọn ra 2 hạng tử để hạ bậc
Ví dụ: Giải phương trình Sin2x = cox22x+ cox23x (3)
Gi¶i: TX§: D = R
Trang 72 2
1 cos 2 1 cos 4
(3) cos 3 2cos 3 (cos 4 cos 2 ) 0
⇔2cos 32 x+2cos3 cosx x=0 ⇔(cos3x+cosx)cos3x=0
2cos 2 cos cos3 0
2
cos 2 0
cos3 0
3
x
x
= + = +
=
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
= + = +
Vậy phương trình có các họ nghiệm
4 2
( ) 2
6 3
π π
π π
π π
= +
= +
Chú ý: Với những phương trình bậc cao hơn bậc 3 ta hạ bậc dần Cụ thể ta xét ví
dụ sau
Ví dụ 3: Giải phương trình: sin4x+cos4x+π4=14
÷
1 cos 2 1 cos(2 ) 1 cos 2 1 sin 2 1
π
2 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sin 2
3
4 4
x k
k Z
π
⇔ + = ⇔ + ÷= ⇔ + ÷=
+ = + =
= +
+ = +
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm ( )
4
x k
k Z
π
π π
=
= +
Bài toán 3: Biến đổi phương trình lượng giác đã cho thành phương trình tích
Phương pháp chung : Việc biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích cần lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1 : Biến đổi tổng, hiệu thành tích
Cách 2 : Lựa chọn phép biến đổi cos2x
Cách 3 : Phương pháp luận hệ số
Cách 4 ; Sử dụng phép biến đổi hỗn hợp
Trang 80 0
0
A
A B
B
=
= ⇔ = trong đó các phương trình A=0, B=0 là các phương trình dạng chuẩn
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
Dạng 1: Biến đổi tổng, hiệu thành tích
Ví dụ 1 Giải phương trình : 1+ cosx + cos2x + cos3x = 0 (4)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau
Cách 1 : (4) <=>( 1 + cos2x ) + ( cos3x + cosx ) = 0
⇔ 2cos2x + 2cos2x.cosx = 0
⇔ 2cosx ( cosx + cos2x) = 0
3
2cos cos cos 0
cos 0
cos 0 2
2 2
2 3
cos 0
2
x x
k x
x k
x
π
π π
π π
=
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2 ( )
2
3 3
k Z k
x
π π
π π
= +
∈
= +
Cách 2 : Biến đổi về phương trình chứa một hàm lượng giác rồi biến đổi thành tích (4) ⇔1 cosx 2cos x – 1 4 cos x – cos3x 0+ + 2 + 3 =
⇔4cos x 2cos x 2 cosx 03 + 2 − =
⇔(2cos x cosx – 1 cosx 02 + ) =
⇔ 2(cos 1)(cos 1) cos 0
2
2
2 1
k x
π π
π π
π π
π π
π π
⇔ = − ⇔ = + ⇔ ∈
= = ± +
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2 ( )
2
3 3
k Z k
x
π π
π π
= +
∈
= +
Trang 9Nhận xét: Cách 1 tỏ ra đơn giản hơn nhưng ta thấy nếu VP là hằng số khác 0 hoặc
chứa tham số thì cách 2 là sự lựa chọn đúng đắn
Ví dụ 2: Giải phương trình ; 1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x 5+ + = + + ( )
Giải : ( )5 ⇔ 1 cos2x sinx ( − ) + +( cos3x cosx sin2x 0− ) − =
2
2sin x sinx 2sin2x.sinx 2sinx.cosx 0
2sinx 1 4sinxcosx 2cosx sinx 0
2sinx 1 1 2cosx sinx 0
2
cos
2
2
sin
7 2
2 6
x
x k
x
π π π
π π
π π
= ± +
= − +
= −
Vậy phương trình có 5 họ nghiệm
2 3
( ) 2
6 7 2 6
x k
k Z
π π π
π π
π π
= ± +
=
= − +
= +
Nhận xét : Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận thấy
rằng chúng đều có chung nhân tử sinx
Dạng 2: Lựa chọn phép biến đổi cos2x
Ví dụ : Giải phương trình 2cos x cos2x sinx 0 63 + + = ( )
Giải: (6) ⇔ 2cos x 2cos x 1 sinx 03 + 2 − + =
⇔ 2 cosx 1 cos x sinx 1 0( + ) 2 + − =
⇔ 2 cosx 1 1 – sin x sinx 1( + ) ( 2 ) + ( − ) = 0
⇔ (1 sinx− ) [ 2 cosx 1 1 sinx 1( + ) ( + ) − ] = 0
⇔ (1 sinx− ) [ 1 2 sinx.cosx 2 sinx cosx+ + ( + ) ] = 0
⇔ (1 sinx− ) [ ( )2 ( )
sinx cosx + + 2 sinx cosx+ ] = 0 ⇔(1 sinx sinx cosx sinx cosx 2 0− ) ( + ) ( + + ) =
Trang 10⇔
sin cos 0
x
π
+ + =
⇔
2 2 ( )
k Z
= + = +
+ = = − +
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
2 ( ) 4
k Z
π π
π π
= +
∈
= − +
Nhận xét: Trong cách giải trên ta lựa chọn phép biến đổi cos2x = 2cos2x – 1 bởi hai hạng tử còn lại là 2cos3x ( cos có hệ số 2 ) và sinx ( sin có hệ số 1 ) Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi cos2x = 1 – 2sin2x
Cụ thể ta xét ví dụ sau
Giải phương trình : 2sin3x - cos2x + cosx = 0 (7)
Giải (7) ⇔ 2sin3x - 1 + 2 sin2x + cosx = 0
⇔ 2 ( sinx + 1 )sin2x + cosx - 1 = 0
⇔ 2(sinx + 1) ( 1 - cos2x) + cosx - 1 = 0
⇔ (1- cosx) (2(sinx + 1)( 1 + cosx) - 1) = 0
⇔ (1- cosx) (1+2sinx.cosx + 2( sinx + cosx) ) = 0
⇔ ( 1- cosx) (sinx + cosx)2+2(sinx + cosx)) = 0
⇔ ( 1- cosx) (sinx + cosx)(sinx + cosx+2) = 0
2
( ) 4
x
k Z
π
π
=
= − +
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
( ) 4
k Z
π
π π
=
= − +
- Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có được phương pháp suy luận trong lựa chọn hai
hướng biến đổi cho cos2x Trong trường hợp có hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn phép biến đổi Cos2x = cos2x - sin2x Cụ thể ta xét ví dụ sau
Giải phương trình : sin3x+cos3x = cos2x (8)
Trang 11Giải : (8) ⇔ sin3 x+cos3x = cos2x - sin2x
⇔ ( sinx + cosx )( 1 – sinx.cosx + sinx – cosx ) = 0
⇔ − 1 sin cos sin x + x cos x x = + 0 (8.1) sin x − cos x = 0 (8.2)
*) Giải (8.1) :(8.1) <=> – cosx = sinx <=> tanx = -1 <=> ,
4
x= − +π k k Zπ ∈
*) Giải (8.2) : đặt sinx – cosx = t (đk t ≤ 2) suy ra sinx.cosx 1 2
2
t
−
=
khi đó (8.2) có dạng 1 2 2 ( )2
2
t
−
− + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = −
Với t = -1 ⇔ sin cos 1 2 sin 1
4
x− x= − ⇔ x−π = −
÷
2 1
2
x k
π π
π π
=
= +
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
4
2 ( )
3 2 2
π π π
π π
= − +
= +
Chú ý: Đôi khi việc gom các hạng tử trong đầu bài nhằm tăng độ phức tạp của bài
toán Khi đó để tiện cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi chúng ta nên chuyển phương trình về dạng đơn Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Giải phương trình : 4sin2x - 3 cos2x = 3( 4sinx - 1) (9)
Giải: (9) ⇔ 4sin2x - 3 cos2x = 12sinx - 3
⇔ 4sin2x - 3( 1- 2sin2x) = 12sinx - 3
⇔ 8sinx.cosx + 6sin2x = 12 sinx
⇔ 2(4cosx+ 3sinx – 6 )sinx = 0
4cos 3sin 6( )
x
=
Nhận xét : trong lời giải trên khi chuyển phương trình về dạng đơn ta lựa chọn phép
biến đổi cos2x = 1 – 2sin 2 x bởi khi đó sẽ khử được số hạng tự do và cùng với nhận
xét các phần tử còn lại đều chứa sinx
Trang 12Dạng 3: Phương pháp luận hệ số
Ví dụ 1 Giải phương trình : cosx + cos3x + 2 cos5x = 0 (10)
Giải : (10) ⇔ (cos5x cosx cos3x cos5x 0+ ) + ( + ) =
⇔ 2cos3x.cos2x 2cos4x.cosx 0+ =
⇔ (4cos x – 3cosx cos2x cos4x.cosx 03 ) + =
⇔ (4cos x 3 cos2x cos4x cosx 02 − ) + =
⇔ (2 1 cos2x – 3 cos2x 2cos 2x – 1 cos( + ) ) + 2 x=0
(4cos 2x – cos2x – 1 cosx 02 )
2
cos 0
1 17
8
1 17 cos 2 cos 2
8
x
α
+
⇔ = = ⇔ = ± + ⇔ = ± + ∈
−
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm 1
2
2
( )
π π
α π
α π
= +
= ± + ∈
= ± +
Ví dụ 2 Giải phương trình : sin 3 sin 5
x = x (11)
Giải : (11) ⇔ 5 sin3x 3 sin5x= <=> 2sin3x 3 sin5x – sin3x= ( )
⇔ 2 3sinx 4sin x 6cos4x.sinx ( − 3 ) =
]
2
2
(3 4sin 3 os4 ).sinx 0
3 2(1 os2 ) 3(2 os 2 1) sinx 0
2 (3 os 2c x cos2x 2).sinx 0
sinx 0 sinx 0
( )
x k
k Z
x k
α π α
π
α π π
⇔ = − ⇔ = − = ⇔ =
= ± +
Trang 13Vậy phương trình có 2 họ nghiệm x k (k Z)
x k
α π π
= ± +
=
Nhận xét : Chúng ta cũng có thể giải ví dụ trên theo phương pháp tách dần
3
2
sin 3 3sinx 4sin
sin 5 sin( 4 ) sinx os4 cos sin 4
sinx os4 2cos os2 sin 2
sinx os4 4 os os2 sinx
Bài toán 4 : Phương pháp đánh giá 2 vế
Nội dung của phương pháp này có thể tóm tắt nnhư sau:
Xét phương trình f(x) = g(x) (*) với x D∈ , trong đó D là miền xác định của (*) Giả sử
bằng cách nào đấy, ta chứng minh được : ( ) ,
( ) ,
α α
≥ ∀ ∈
≥ ∀ ∈
(Hoặc ngược lại ) Khi đó (*) ( )
( )
f x
g x
α α
=
⇔ =
để đánh giá hai vế của (*), ta thường sử dụng các bất đẳng thức đại số Cụ thể ta xét
ví dụ sau
Giải phương trình : sin12x c+ os16x=1
sin sin
sin os 1
os os
≤
≤
Vì thế phương trình đã cho tương đương với hệ sau
sin sin sinx 0; sinx 1
( ) cos 0; osx 1 2
os os
π
=
Ta thấy loại phương trình trên thuộc dạng tổng quát sau:
Sinmx + cosnx = 1,với ,m n≥2; ,m n Z∈ (và có ít nhất một đại lượng m hoặc n > 2) Cách giải phương trình tổng quát này như sau
Ta có
2 2
sin sin
os os
m
n
≤
≤
vì thế dẫn đến hệ sin sin22 ( )*
os os
m n
=
=
Có 4 khả năng sau:
1) Nếu m,n cùng chẵn khi đó
( )* ⇔ sinx 0; sinx 1 ( )
cos 0; cos 1 2
k
π
= = ±
2) Nếu m,n cùng lẻ Khi đó