Đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến của đường cong Giải Tích 12 Gv: Đỗ Hữu Vị ĐẠO HÀM... C Tiếp tuyến của C tại M0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi điểm M di độ

Ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến của đường cong

Giải Tích 12

Gv: Đỗ Hữu Vị

ĐẠO HÀM

1. Nhắc lại:

1/ Hệ số góc của đường thẳng:

● (d) : y = ax + b

a : hệ số góc của (d)

y

x

(d)

a = tgϕ a > 0 ⇔ ϕ nhọn

a < 0 ⇔ ϕ tù

ϕ

(d)

● Hệ số góc của đường thẳng

qua A(xA,yA) và B(xB,yB) là:

y y

x x

−

−

y

x O

A

xA

B

xB

yB

● Phương trình của đường thẳng

qua M0(x0,y0) có hệ số góc k là:

0 0

( ) : d y k x x = ( − ) + y

2/ Tiếp tuyến của đường cong:

M M

M0

.

(C)

Tiếp tuyến của (C) tại M0 là vị trí giới hạn

của cát tuyến M0M khi điểm M di động

trên (C) dần tới M0

3/ Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a,b)

và x0∈(a,b),đạo hàm của y = f(x) tại x0 là:

0

0

0

/( ) lim ( ) ( ) lim

f x

Hãy liên kết các kiến thức vừa được nhắc lại trên đây

ta sẽ có Ý NGHIÃ HÌNH HỌC của ĐẠO HÀM

x

M0

.

f(x0)

x

M f(x)

Cho (C): y = f(x) và M0(x0,f(x0))∈(C)

Lấy M(x,f(x))∈(C)

Hệ số góc của cát tuyến M0M là:

0

0

( ) ( )

f x f x y

x x x

Khi x →x0 tức là M → M0 thì

( )

0

0

0 0

/

( ) ( )

lim

x x

f x f x

f x

x x

→

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến M0T là f x/ ( )0

● Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C):y = f(x)

tại điểm M0(x0,y0) ∈ (C) là đạo hàm f/(x0)

∆y

∆x

@

T

3. Phương trình tiếp tuyến:

● Loại 1: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0,y0)∈(C):

/

( ): d y f x x x = ( )( − ) + y

Ví dụ: Cho ( ): P y f x = ( ) = − x2 2 x − 3

1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của (P) và trục Ox

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm thuộc (P) có tung dộ là –4

2 2

/ /( )

y = f x = x −

1/ Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 2 x − = ⇔ = − 3 0 x 1 , x = 3

▪ x0=-1,y0=0: f /( )− = −1 4

Phương trình tiếp tuyến: y = − 4 ( x + 1 ) hay y = − − 4 x 4

▪ x0=3,y0=0: f /( )3 = 4

Phương trình tiếp tuyến: y = 4 ( x − 3 ) hay y = 4 x − 12

Phương trình tiếp tuyến: y = – 4

@

● Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết hệ số góc k.

▪ Giải phương trình có nghiệm xf x/ ( ) = k 0

Ví dụ: Cho Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: 3

1

( ) : C y x

x

+

=

−

1/ Tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4 2/ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – y + 2 = 0

2

4 1

/

y

x

−

=

−

1

( )

x

−

0 0 0 3

0 2 0 5

2/ Đường thẳng (d): x – y + 2 = 0 có hệ số góc bằng 1

Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k thỏa: k.1 = –1⇔ k =–1

2 2

4

1

( )

x

−

● Loại 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) đi qua điểm A(xA,yA).

▪ Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến là:

▪ A x ( , )A yA ∈ ( d ) ⇔ yA = f x x/( )(0 A − x0) + f ( x0) Giải phương trình này có nghiệm x0, từ đó có phương trình tiếp tuyến

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của

biết tiếp tuyến đó qua A(0,– 4)

2 2 ( ) : C y f x = ( ) = x − x

2

( ) : d y = ( x − )( x x − ) + x − x

2

( , ) ( ) ( )( )

A − ∈ d ⇔ − = x − − x + − x x

2

0 2 : ( ) : 2 4

x = pttt d y = x −

0 2 : ( ) : 6 4

x = − pttt d y = − − x

/ ( ) : d y f x x x = ( )( − ) + f x ( ) ( y0 = f x ( ))0

Phương trình tiếp tuyến là:

Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm, y0 = x02 − 2 x0

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của

biết tiếp tuyến đó qua S(3,3)

2 ( ) : C y x

x

−

=

0

0

0 0

2

2

2

( , ) ( ) ( ) x

−

2

0 1 : ( ) : 2 3

x = pttt d y = x −

0

2 7 3

9 3

: ( ) :

x = − pttt d y = x +

0 0

2

2 2

−

Phương trình tiếp tuyến là

0

2

0

x

x

−

Bài học kết thúc

2 2 3

y x= − x −

y = 4x – 12

y = – 4x – 4

y = – 4

5

3 1

x y

x

+

=

−

y= – 4x – 3

y= – 4x + 13

6