Bài tập hình học không gian lớp 12 (3)

a b c CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 12 DẠNG: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V= B.h với B : diện tích đáyh : chiều ca

a b c

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TRONG HÌNH

HỌC KHƠNG GIAN LỚP 12

DẠNG: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ:

V= B.h với B : diện tích đáyh : chiều cao



Lăng trụ đứng tứ giác Lăng trụ đứng tứ giác

Kiến thức cần biết về khối lăng trụ đứng

+ Hai đa giác đáy nằm trong hai mp song song

+ Các mặt bên là các hình chữ nhật , các cạnh bên đều bằng nhau và vuơng gĩc vớ đáy

+ Đường cao chính là cạnh bên

Đặc biệt:

+ Lăng trụ tam giác đều thì hai đáy là các tam giác đều

+ Lăng trụ tứ giác đều thì hai đáy là các hình vuơng

+ Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, đáy là hình chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.cvới a,b,c là ba kích thước

+ Hình lập phương là lăng trụ đứng, tất cả các mặt đều là hình vuơng bằng nhau

Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh

3a

B'

C B

A

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A

có cạnh đáy BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ

Cách giải:

+ Biểu diễn hình vẽ :

• Biểu diễn tam giác ABC vuông cân tại A bằng tam giác thường

• Từ các đỉnh tam giác dựng thẳng đứng các đường thẳng song ,

trên đó lấy A’,B’,C’ sao cho A’B’//AB ,B’C’//BC … → có

hình biểu diễn lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’

+ Phân tích:

• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào? (V = B.h)

• B và h trong hình là các đối tượng nào ? Tại sao? a 2

• Đề bài đã cho B và h chưa ? ∆ ABC vuông cân,biết cạnh đáy có tính được diện tích không ?

(Biết cạnh đáy → tính được cạnh bên → tính được diện tích)

•Chiều cao AA' của lăng trụ là cạnh của tam giác nào?Tính được không ?Áp dụng định lí

gì ?

(Tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông → tính được cạnh góc vuông còn lại)

Lời giải: Ta có

• ∆ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a

• ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒AA' AB⊥

• Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23

Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

•Không biết những thao tác để biểu diễn một lăng trụ đứng tam giác,

∆ ABC vuông cân vẽ như trong hình học phẳng

• Không xác định được chiều cao của lăng trụ đứng

o 60

C'

B' A'

C

B A

• Không biết dùng định lí nào để tính chiềo cao lăng trụ (không nhớ tam giác vuông cân

là một nửa hình vuông)



Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích lăng trụ

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

Biểu diễn một lăng trụ đứng tam giác như ví dụ 1

+Phân tích:

• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào?

• B và h trong hình là các đối tượng nào ? Tại sao?

• Tính diện tích đáy là ∆ ABC vuông cân tại B với BA = BC = a

có dễ dàng không ?

• Xác định góc giữa A'B và đáy ABC? → Tính được chiều cao AA’

Lời giải:

• Ta có A'A (ABC)⊥ ⇒A 'A AB& AB⊥ là hình chiếu của A'B trên đáy ABC.

Vậy ¼ABA ' 60= o

• ∆ABA '⇒AA' AB.tan 60= 0 =a 3

• SABC = 1BA.BC a2

2 = 2 Vậy V = SABC.AA' = a 33

Nhận xét: Đa số học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC')

hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối lăng trụ đó

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

Dựng lăng trụ đứng tứ giác mà đáy là hình vuông

+Phân tích:

0 60

O

A'

D' B' C'

C

A D

B

• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào?

• B và h trong hình là các đối tượng nào ?

• Đáy là hình vuông cạnh a → tính diện tích đáy dễ dàng

• Tính chiều cao ? → cần xác định góc giữa mặt phẳng (BDC') và đáy (ABCD) là góc

nào ?

Gọi O = AC ∩ BD → quan hệ giữa C’O, CO với BD → COC'¼ = 60o → tính được CC’ trong ∆ CC’O

Lời giải:

• Gọi O là tâm của ABCD Ta có ABCD là hình vuông nênOC BD⊥

CC'⊥(ABCD) nên OC'⊥BD (đl 3⊥) Vậy góc COC'¼ = 60o

• ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

• VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o =a 6

2 Vậy V =

3

a 6

 Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

• Không hình dụng được khái niệm lăng trụ tứ giác đều nên không biểu diễn được hình

vẽ ban đầu

• Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng nên không tính được đường cao

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ

bằng a Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ

ĐS: V a 33

4

= ; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: V 32a3

9

=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và

BD' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o

h

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một gĩc 30o Đs: 1)V = a 3163 2)V = a 238

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một gĩc 60o

2)Tam giác BDC' là tam giác đều

3)AC' hợp với đáy ABCD một gĩc 450

Đs: 1) a3 6

2

V = ; 2) V = a3 ; V = a 23

Bài 5: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối D -2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cĩ đáy là

tam giác vuơng tại B ,AB=a,AA’=2a,A’C=3a.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng

A’C’ ,I là giao điểm của AM và A’C Tính theo thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC)



DẠNG 2: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ CẠNH BÊN KHƠNG VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY

Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ:

V= B.h với B : diện tích đáyh : chiều cao

Kiến thức cần biết:

+ Lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành là hình hộp

+ Đường cao là đoạn vuơng gĩc kẽ từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia

Chú ý: Lăng trụ cĩ cạnh bên khơng vuơng gĩc với đáy,khi đĩ thường gặp cạnh bên

hoặc mặt bên sẽ tạo với đáy một gĩc α ( 0 0 < α <90 0 )

Ví dụ minh họa:

H O

o 60

C'

A

a

B' A'

C

B

Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

+ Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nó

+ Dựng đường cao OA' Từ đó dựng các cạnh bên của lăng trụ

+Phân tích:

a) • Theo đề bài ta có ngay BB'C'C là hình gì ?

• Để chứng minh hình chữ nhật ta cần có thêm yếu tố nào?

b) • Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu

c) của AA' trên (ABC) là gì? → ¼OAA ' 60= o

• Theo đề bài thì đường cao của lăng trụ là đoạn nào? Tại sao?

• Tính AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

a) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật

• Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà AA'//BB' nên BC BB' ⊥ Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. d) Tính thể tích lăng trụ

• Ta có A'O (ABC)⊥ ⇒OA là hình chiếu của AA' trên (ABC) ⇒ ¼OAA ' 60= o

• V ABC đều nên AO 2AH 2 a 3 a 3

o

V Vậy V = SABC.A'O = a 33

4

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

• Đa số học sinh đều biểu diễn hình vẽ là lăng trụ đứng

• Không biết các khái niệm hình chiếu của một điểm trên mp ,tâm đường tròn ngoại

tiếp

nên không xác định đường cao A’O

•Không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

•Không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài chiều cao lăng

trụ

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 ,AD = 7

.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 .Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

• Biểu diễn đáy hình chữ nhật ABCD là hình bình hành

• Chú ý : theo đề bài đây không phải là hình hộp đứng , nên

các cạnh bên phải biểu diễn nghiêng so với mp nằm ngang (ABCD)

+Phân tích:

• Tìm diện tích đáy hình chữ nhật ABCD không có gì khó

khăn khi đã biết hai cạnh kề của hình chữ nhật

• Xác định đường cao của hình hộp trong trường hợp không

phải là hình hộp đứng ?

+Từ A’ (hay B’,C.,D’ ) dựng đường cao để từ đó cho ta xác định tiện lợi góc giữa hai

mp ?

+ Dựng A’H ⊥ (ABCD) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD → góc giữa (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 là các góc nào ?

• Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H

→ Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

Lời giải:

• Kẻ A’H ⊥(ABCD),HM⊥ AB,HN ⊥ AD ⇒ A'M ⊥ AB, A'N ⊥ AD(đl 3⊥)

A'MH 45 ,A'NH 60

• Đặt A’H = x Khi đó A’N = x : sin 600 =

3

2x

AN = AA −A N = − x =HM

3

4 3 '

'

2 2

2 Mà HM = x.cot 450 = x

Nghĩa là x =

7

3 3

4

3 2

=

⇒

− x x • Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3 7 3 3

Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

• Không biết khái niệm hình hộp nên hầu hết học sinh đi vẽ hình hộp đứng → xác định sai đường cao

• Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp

• Học sinh không tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường

vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ

2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2) V a3 3

8

=

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh

bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336

Bài 3: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Hình chiếu

của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a

và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o

Đs: V 27a3

4 2

=

Bài 4: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối A -2008)

Cho lăng trụ ABC A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại

A ,AB=a,AC=a 3và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mp(ABC) là trung điểm của

C' D'

D

A

C

B' B

cạnh BC Tính thể tích theo a khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’,B’C’



DẠNG 3: PHÂN CHIA,LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA

DIỆN

Phương pháp:

Khi tính thể tích khối đa diện , nhiều khi ta không thể tính trực tiếp theo công thức mà phài chia khối đa diện đó thành các khối lăng trụ hoặc các khối chóp đơn giản hơn hoặc ghép thêm vào các khối đa diện quen biết để được khối đa diện đơn giản

Ví dụ minh họa:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện

ACB’D’

Cách giải:

+ Biểu diễn hình vẽ :

+ Phân tích:

• Khi nối A,C,B’D’ với nhau để được tứ diện ACB’D’

khối lập phương được chia thành các khối tứ diện nào?

• Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ coi như các

hình chóp đỉnh C’,B’….Hãy nhận xét diện tích đáy và chiều cao các khối đó ? → thể tích các khối đó ?

• Thể tích khối tứ diện ACB’D’ bằng thể tích khối nào trừ thể tích các khối nào → ĐS

Lời giải:

• Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,

D’ACD, AB’A’D’

• Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên

có cùng thể tích

• Khối CB’D’C’ có 2 3

1

1 1 1

3 2 6

V = a a= a

•Khối lập phương có thể tích: 3

2

V =a 3 3 3

' '

1 1 4.

6 3

ACB D

V =a − a = a

Nhận xét:

• Từ lời giải trên ta có ngay tỉ số thể tích của khối lập phương và khối tứ diện ACB’D’ là

3

• Ví dụ này lấy từ bài tập 3 trang 25 sách hình học 12 : Cho hình hộp

ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’.

• Nếu đề bài như vậy,tôi nhận thấy là một khó khăn lớn cho học sinh khi phân chia khối

đa diện nên để học sinh tiếp cận ,định hướng cách giải tốt bài 3 tôi đã thay đổi giả thiết

“hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a”

• Có thể tính trực tiếp thể tích khối tứ diện ACB’D’ được không ?

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC

b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F Tính thể tích khối CA’B’FE

16

C

a

Bài 2: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối D -2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA =a , hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC AH= AC4 Gọi CM là đường cao của ∆ SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Nhận xét: Bài tập này lấy từ bài 10 trang 27 sách hình học 12 thay đổi một số giả

thiết E là trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của

học sinh