Bài tập hình học không gian lớp 12 (2)

h hCHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TRONG HÌNH HỌC Khối chóp tam giác đều Khối chóp tứ giác đều Kiến thức cần biết về khối chóp đều + Đáy là đa giác đều + Mặt bên là các tam giác cân +

h h

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TRONG HÌNH HỌC

Khối chóp tam giác đều Khối chóp tứ giác đều

Kiến thức cần biết về khối chóp đều

+ Đáy là đa giác đều

+ Mặt bên là các tam giác cân

+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm của đáy

+ Đường cao vuông góc với mp đáy

Chú ý: Tam giác đều thì tâm, chính là trực tâm ,trọng tâm của tam giác Hình vuông

thì tâm là giao điểm các đường chéo hình vuông

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a

a) Xác định đường cao của khối chóp

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

c) Tính cosin của góc giữa cạnh bên và đáy ; giữa mặt bên và đáy của khối chóp

S.ABC

 Cách giải:

+ Biểu diễn hình vẽ :

Biểu diễn tam giác đều ABC bằng tam giác thường,từ tâm O dựng SO ⊥ (ABC)

lấy S ∈ SO , nối S với A,B,C

+ Phân tích:

+ Vì S.ABC là hình chóp đều nên có SO là đường cao

+ Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?

+ V= 1

3B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+Tam giác đều ABC cạnh a nên tính được diện tích

+ Tam giác đều ABC cạnh a có O là trọng tâm nên tính được OA

+Tìm h = SO qua tam giác nào?Áp dụng định lí nào?

+Quan hệ mp(SAO) và mp(ABC)?(SAO) ∩ (ABC) =? → Kẽ MH ⊥OA →MH ⊥ (ABC)?Tính MH ?

 Lời giải:

a) Xác định đường cao của khối chóp

Gọi O là tâm tam giác đều ABC ⇒ SO là đường cao (vì S.ABC là hình chóp đều)

b)Tính thể tích của khối chóp S.ABC

• Diện tích đáy : S∆ABC = 1 . 3 2 3

B

C S

M O

• OA là hình chiếu của SA trên (ABC) góc giữa⇒ cạnh bên và đáy là SAO¼

• Gọi M là trung điểm BC ⇒ SM BC AM BC⊥⊥

 ⇒góc giữa mặt bên và đáy là SMO¼

• ∆ SOA vuông : cosSAO¼ = 23 2. 3 3

3

a OA

a OM

giác đều v.v…Chính vì thế,tôi đã cụ thể hóa đề bài ,bổ sung thêm câu a),c) vừa ôn cũ

luyện mới tạo điều kiện học sinh tiếp cận , giải được những bài tương tự khác

Biểu diễn tam giác đều ABC bằng tam giác thường ,từ tâm O

dựng SO ⊥ (ABC) , lấy S ∈ SO , nối S với A,B,C

+ Phân tích:

a) • SA và BC chéo nhau → cách chứng minh SA và BC vuông góc ?

• Quan hệ BC với SI và AI → quan hệ BC và mp (SAI) ? → BC ⊥ SA

b) • Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo công thức nào?

• Gọi O là tâm của tam giác đều ABC → quan hệ giữa SO và (ABC) ?

→ Đường cao của khối chóp S.ABI ?

• Đáy là hình nào ? Tính diện tích đáy ? → thể tích cần tìm

Câu b) : Đa số học sinh không nắm được định nghĩa khối chóp đều , không xác định được đường cao SO cũng là đường cao của khối chóp S.ABI

Câu b) có thể giải theo cách phân chia ,lắp ghép dùng tỉ số thể tích ( trình bày phần sau)



 Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a

a Xác định đường cao của khối chóp S.ABCD

b Tính thể tích của khối chóp đều S.ABCD

c Tính góc giữa cạnh bên và đáy ; giữa mặt bên và đáy của khối chóp S.ABCD.

Bài 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a

a) Chứng minh BD ⊥ SC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABD

Bài 3: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng và cạnh bên đều bằng nhau

a) Biết đường cao bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Biết diện tích đáy bằng a2 3 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

c) Biết khoảng cách giữa hai cạnh đối bằng a22 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng

cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a Tính thể tích hình chóp Đs: V 8a 33

3

=

Bài 6 : Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng

SABCD là hình chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của

nó bằng V 9a 23

2

= Đs: AB = 3a 

DẠNG: KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

a a

a S

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA

vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

 Cách giải:

+ Biểu diễn hình vẽ :

• Biểu diễn ∆ ABC vuông tại B bằng tam giác thường , BA,BC

không nhất thiết biểu diễn bằng nhau

• Từ A dựng đường vuông góc với (ABC) , trên đó lấy điểm S

+ Phân tích:

• Theo giả thiết đoạn nào là đường cao ? Độ dài đoạn đó?

• Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?

• Đáy là hình nào ? Tính diện tích tam giác vuông theo công thức nào ?

→ Thể tích cần tính

O a a

• Theo giả thiết SA là đường cao và SA = a

• Đáy là tam giác vuông (tại B) ,có diện tích S = 1 . 1 2

+ Không nắm được hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,đường cao chính là cạnh bên đó

+ Không nắm được tam giác vuông thì diện tích bằng nửa tích độ dài hai cạnh góc vuông

• Đáy hình vuông ABCD biểu diễn bằng hình bình hành ABCD

• Từ A dựng SA ⊥ (ABCD) , lấy S trên SA ,nối S với B,C,D

+ Phân tích:

• Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?

• Theo đề bài ta cần đi xác định góc giữa mp(SBD) và mp đáy bằng 600

đó là góc nào ? Nếu gọi O = AC ∩ BD thì suy ra SO và AO quan hệ như

thế nào với BD → SOA¼ = 600

• Theo giả thiết đoạn nào là đường cao ? Dựa vào tam giác vuông nào

O

C B

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với

đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC Gọi (α) là mp đi qua AM và song song với BD,cắt

SB tại E và cắt SD tại F

a) Gọi O = AC ∩ BD Xác định giao điểm I của SO và mp(α)

b) Chứng minh E,I,F thẳng hàng và EF//BD

c) Chứng minh EF ⊥ AM

d) Xác định đường cao và tính thể tích khối chóp S.AEMF

Cách giải:

+ Biểu diễn hình vẽ :

Tứ giác đều ABCD (hình vuông) biểu diễn bỡi hình bình hành

ABCD.Từ tâm O dựng SO⊥(ABCD)

+ Phân tích:

a) • Dựng giao điểm I của SO và EF thì I chính là gì? Tại sao?

b) • Trên SB,SD lần lượt lấy E,F sao cho E,I,F thẳng hàng và

EF//BD Tại sao?

c) • Quan hệ giữa BD và mp(SAC)? → quan hệ giữa EF và (SAC)

→ đpcm

d) • Cạnh bên tạo với đáy góc 600 đó là góc nào? → ∆ SAC là tam giác gì?

→ quan hệ SC và AM ? ; SC và EF? giữa SC và mp(AEMF) ? → đường cao của khối chóp S.AEMF

• Đáy của khối chóp S.AEMF là hình nào ? Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

tính theo công thức nào? Tính đường chéo AM ( theo đường cao tam giác đều) ,đường chéo EF (theo định lí Talet và trọng tâm của ∆ SAC)? → diện tích đáy

• Tính đường cao SM ? → Thể tích cần tìm

Lời giải

a) Xác định giao điểm I của SO và mp(α)

I = SO ∩ AM ⊂ (α) ⇒ I = SO ∩ (α)

b) Chứng minh E,I,F thẳng hàng và EF//BD

• E,I,F là ba điểm chung của hai mp phân biệt (α) và (SBD) nên chúng thẳng hàng

d) Xác định đường cao và tính thể tích khối chóp S.AEMF

• ∆SAC cân,có SAC¼ = 600 ⇒ ∆ SAC đều ⇒ SC ⊥ AM,mặt khác SC ⊥ EF ⇒ SC⊥(AEMF)

Ví dụ trên là từ một đề bài tập 9 trang 26 SGK hình học 12:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc

60 0 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Tính thể tích khối chóp S.AEMF còn có thể giải theo cách phân chia khối chóp và dùng

tỉ số thể tích hai khối chóp ( trình bày phần sau) Nhưng dẫu cho có giải theo cách nào thìcũng

phải nói rằng đây là một bài tập khó và quá phức tạp đối với đại đa số học sinh các lớp cơbản vì nó tổng hợp rất nhiều kiến thức từ các lớp dưới đặc biệt là kiến thức hình học không gian lớp 11 Từ đó,tôi nghĩ rằng việc giảng dạy bài tập trên để học sinh tiếp thu tốt

và giải được những bài tương tự không phải đơn giản chút nào ! Chính vì vậy , khi giảng

dạy bài nầy, trước yêu cầu tính thể tích khối chóp S.AEMF tôi đã đưa thêm các câu

a),b),c) với mục đích giúp các em biết xác định được các điểm E,F và tái hiện nhớ lại các kiến thức cũ

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o

Tính thể tích hình chóp Đs: V = a 23

6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam

giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V h 33

3

=

Bài 3: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A

bằng 60o và SA ⊥(ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a

Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V a 23

4

=

Bài 4: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥(ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o

1. Xác định mp qua C vuông góc với BD Chứng minh ∆ CEF vuông

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

3. Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Nhận xét: Đây là bài tập 5 trang 26 sách hình học 12 : Cho ∆ ABC vuông cân ở A và

AB = a Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Học sinh không thể hình dung Mặt phẳng qua C vuông góc với BD là mp phải được xác định như thế nào? nên để ôn cũ luyện mới , phù hợp khả năng phát triển tư duy ,đi từ dễ

đến khó tôi bổ sung thêm câu a) và b)

Bài 6: Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một

và OA=OB=OC = a

a) Tính thể tích khối chóp O.ABC

b) Gọi H là trực tâm của ∆ ABC Chứng minh rằng :OH ⊥ (ABC)

c) Tính thể tích khối chóp O.HBC

 Nhận xét: Bài tập nầy là trường hợp đặc biệt của bài tập 5 trang 26 hình học 12 : Cho

hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một và

OA=a,OB=b,

OC=c.Hãy tính đường cao OH của hình chóp và cũng là đề bài tập 4 trang 105 hình học

11:

h

Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một.Gọi H là

chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC) Chứng minh rằng :

a) H là trực tâm của ∆ ABC

đại đa số học sinh không định hướng được xác định đường cao OH như thế nào để tính ra

OH Do vậy vừa ôn cũ luyện mới tôi đã cải biên lại phân ra những yêu cầu nhỏ , bài toán

sẽ

phong phú và có nhiều cách giải hay hơn

Bài 7: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD=a 2,SA=a và

SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC ;I là giao điểm của MB và AC ,Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a.Mặt bên SAB là

tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD

a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S.ABCD

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

• Đáy ABCD là hình vuông được biểu diễn bỡi hình bình hành

• Đỉnh S được lấy sao cho thể hiện mp(SAB) đứng ,vuông góc

mp nằm ngang (ABCD)

+ Phân tích: a)

• Nếu trong ∆ ABC , dựng đường cao SH thì SH có là đường cao của khối chóp S

ABCD không ? Tại sao?

• Nhớ lại công thức tính đường cao SH của tam giác đều ?

b)

• Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo công thức nào? h = SH Tìm diện tích B củahình vuông ABCD bằng công thức nào ? → Thể tích cần tìm

Lời giải:

a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S ABCD

• Trong ∆ ABC , dựng đường cao SH ,vì (SAB) ⊥ (ABCD)

⇒ SH ⊥ (ABCD) Vậy SH là đường cao của khối chóp S ABCD

• ∆ SAB đều cạnh a nên SH = a23

o 60

a

C

B A

• Học sinh không biết xác định đường cao của khối chóp trong trường hợp khối chóp có

một mặt bên vuông góc với đáy



Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,

(ABC)⊥(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o ,AD = a

Tính thể tích tứ diện ABCD

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

Biểu diễn tứ diện ABCD thể hiện sao cho ∆ ABC nằm trong mp thẳng

đứng , ∆ BCD nằm trong mp nằm ngang do (ABC)⊥(BCD)

+Phân tích:

• Coi tứ diện như là hình chóp A.BCD Vậy hình chóp nầy

có một mặt bên nào vuông góc với đáy ? → Xác định được đường

cao SH → hình chiếu của AD trên mp(BCD) → góc giữa AD

với (BCD) là góc nào ?

• Phân tích V= 1

3B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

• Tìm diện tích B của BCD bằng công thức nào ?

• Tìm h = AH qua tam giác nào bởi công thức gì ?

 Lời giải:

• Gọi H là trung điểm của BC.Ta có tam giác ABC đều nên AH⊥(BCD) ,

mà (ABC) ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥(BCD)⇒ AH là đường cao của hình chóp A.BCD

• Ta có HD là hình chiếu của AD trên (BCD) ⇒ ¼ADH=60o ⇒ ∆AHD là nửa t/g đều

I

J

H A

C

B S

• Học sinh không biết tứ diện ABCD xem như là hình chóp đỉnh A , hình vẽ biểu diễn không nổi bật ,thể hiện (ABC)⊥(BCD)

• Học sinh không biết : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là

đường cao của mặt bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp

• Học sinh không xác định được góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng

• Học sinh quên tính chất đường cao của tam giác đều và tam giác vuông cân



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt

bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

b) Tính thể tích khối chóp SABC.

Cách giải:

+Biểu diễn hình vẽ :

• Biểu diễn hình chóp S.ABC có đáy ABC thể hiện nằm ngang , mp (SAC) thể hiện

thẳng đứng vuông góc với mp (ABC)

• Kẽ SH ⊥ BC tại H

+Phân tích: a)

• Kẽ SH ⊥ BC tại H → pcm : H là trung điểm cạnh AC ¬ pcm BH là

đường cao hoặc phân giác của ∆ ABC

• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC → HI = HJ

(ABC là tam giác vuông cân tại B) → BH là đường phân giác

của VABC

b)

• Phân tích V= 1

3B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

• Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?

• Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tính chất gì ?

 Lời giải:

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

• Kẽ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC)

• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⊥ SI và AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết

SH

Nhận xét:

• Câu a) liên quan nhiều kiến thức hình học ở lớp cấp 2 , không biết chân đường cao của

khối chóp chính chân đường cao của ∆ SAC kẽ từ S Từ đó không biết phân tích đề bài để

dẫn đến pcm điều gì để kết luận H là trung điểm của AC

• Bài toán nếu không giải được câu a) → không tính được SH → không tính được thể tích

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC

2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 33

24

=

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam

giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợpvới (ABC) một góc 45o Tính thể tích của SABC Đs: V a3

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao

SH = h và (SBC) ⊥(ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V 4h 33

9

=

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs: V a 63

36

=

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên SAB là tam giác

đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V 4h3

9

=

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a

nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc

30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V a 33

4

=

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥

(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V 8a 33

9

=

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam

giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V a 53

12

=

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD =

CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V a 33

2

=

Bài 11: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2008)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA = a ,SB= a 3 và mp(SAB) vuông góc với mp đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN



DẠNG: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP BẰNG CÁCH LẬP TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI

KHỐI ĐA DIỆN