65 Bài tập hình học 12 có đáp án chi tiết

Câu 1: Cho vectơ . Trong các vectơ sau đây, vectơ nào cùng phương với ?a) b) Câu 2:Cho , , .a) Tìm biết b) Phân tích vectơ theo các vectơ Câu 3:Cho 3 vectơ Tìm m để Câu 4:Cho . Tìm điều kiện của m,n để cùng phương với .Câu 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho .a) Xác định t để vectơ cùng phương với b) Tìm các số thực m,n,p để

mu nvr− r

.

Cho A(2;-1;7), B(4;5;-2), Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào.

b) Tìm M.

Câu 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh

3 (0;0;0); ; ;0 ; ( ;0;0); (0;0; )

Tính góc giưa hai đường thẳng AB và SC.

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a Gọi N là trung điểm của

B’C’.

Tính góc giữa hai đường thẳng AN và BD’

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, gọi M là trung

điểm SC Có tọa độ các điểm:

b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’

Câu 15: Cho hình hộp chứ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 K là trung điểm

của A’D’ Biết: BK ^( 'C' )A D Tính độ dài các cạnh hình hộp chữ nhật.

Câu 16: Giải phương trình:

Câu 24: Gọi α β χ; ;

là 3 góc bất kì Chứng minh rằng:

4cos α + + 1 4cos β + + 1 4cos γ + ≤ 1 21

Câu 25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có:

3 cos A cos B cosC

F = 1 tan tan + α β + 1 tan tan + β γ + 1 tan tan + γ α

Câu 28: Cho 3 vectơ ar= (1; ;2);m br= (m+ 1;2;1 ; ) cr= ( 0;m- 2;2 )

Tìm m để a b c; ;

r r r đồng phẳng.

Câu 29: Cho 4 điểm A(1;0;1); B(-1;1;2); C(-1;1;0); D(2;-1;-2) Chứng minh rằng

A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

Câu 30: Trong không gian cho 4 điểm A(0;0;3); B(1;1;5);C(-3;0;0); D(0;-3;0)

Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng.

Câu 31: Tìm m để các bộ ba vectơ sau đồng phẳng:

a) ar= (4;3;4);br= ( 2; 1;2 ; - ) cr= ( 1;2;m )

b) ar= ( 4;2;5 ; ) br= ( 3;m;3 ; ) cr= ( 2;0;1 )

Câu 32: Cho 4 điểm A(1,0,0); B(0,1,0); C(0;0;m); D(-2;1;-1)

Tìm m để C thuộc mặt phẳng (ABD)

Câu 33:

Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).

a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM.

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Câu 34:

Cho tứ diện ABCD, có tọa độ các đỉnh lần lượt là A(0;0;0); B c( ;0;0 ; C 0; ;0 ) ( b )

; D 0;0; a( ) a) Tính diện tích S của tam giác BCD theo a b c, ,

b) Chứng minh rằng : 2S≥ abc a b c( + + )

Câu 35:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tọa độ các điểm :

3 0; ;0 ; ;0;0

Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)

a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.

c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.

a a

− 

Tính thể tích khối chóp S.BMDN.

và vuông góc với đường thẳng AB vớiA(3;1; 2); (4; 3;1)− B − .

Câu 42: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

0 ( 2;3;1)

và song song với mặt phẳng (Q): 4x−2y+ − =3z 5 0

Câu 43: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

0 ( 2;3;1)

và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0

Câu 44: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm

Câu 46: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn

a) Chứng minh (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P)

và (Q).

Câu 50: Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

(m2 - 5)x- 2y mz m+ + - = 5 0

và x+2y- 3nz+ =3 0Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.

Câu 51: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:

(P): 2x+ny+2z+3=0 và (Q): mx+2y-4z+7=0

Tìm m và n để hai mặt phẳng song song.

Câu 52: Cho mặt phẳng (P) và họ mặt phẳng (Qm ) có phương trình lần lượt là:

Và song song với mặt phẳng (N): x+y-z+5=0.

Câu 54: Tìm khoảng cách từ các điểm M0 ( 1; 1;2 ; - ) M1 ( 3;4;1 ; ) M2 ( - 1;4;3 )

đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.

Câu 55: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm A(3; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) // mp (Q) và d(A;(P))=2

Câu 3: Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng:

( ) :P x+ - + =y z 1 0

và ( ) :Q z- y+ -z 5=0

Câu 56: Trên trục Oz tìm các điểm cách đều A(2;3;4) và mặt phẳng (P):

2x+3y+z-17=0.

Câu 57: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O,

vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z+ + =0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2

Câu 59: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3), B(0; 1; 2)− , (1;1;1)

C

Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến ( )P bằng khoảng cách từ C đến ( )P .

Câu 60: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P) có phương trình: 2x+y+z-1=0 với các mặt

phẳng (Oyz), (Oxz), (Oxy).

Câu 61: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 2x+y+4z=0 và (Q): -x+3y+2z+2016=0 Câu 62: Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3

điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).

Câu 63: Cho mặt phẳng (Q) chứa 2 điểm A(0,1,1), B(1;0;-1) và tạo với (P);

2x-2y-z+1=0 một góc 60 0 Tìm tọa độ giao điểm M của (Q) với trục Oz.

Câu 64: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và vectơ

Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)− − B − − và mặt phẳng ( ) :P x+2y z+ − =3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với

mặt phẳng (P) một góc  thoả mãn

3 cos

Suy ra:

1 ' 2

k t

c) Gọi I là giáo điểm hai đường chéo AC và BD thì:

I là trung điểm của AC

6 2

3 (6,3, 4) 2

4 2

A C I

A C I

A C I

x x x

y y

z z z

Gọi C x y z( C; C; C)

Theo qui tắc hình bình hành ta có:

Vậy M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

1 2

N là trung điểm của B’C’ nên:

( ; ;0) 2

Do đó góc giữa hai đường thẳng này là 600.

Câu 14:

4 ' ' '

A'(0;0;z); B'(x,0,z); C'(x,y,z); D'(0;y;z)

K là trung điểm của A’D’ nên

0; ; 2

^ ïïî

uuur uuuur uuur uuuur

2

0 2 1

0 2

y x

y x

x z y

Vây ta có bất phương trình (4) luôn được thỏa mãn.

Vậy nghiệm của (4) là

Từ điểm I tùy ý trong mặt phẳng (ABC) dựng ba vectơ v , v , v1 2 3

uur uur uur

có độ dài đơn vị lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB

Ta có:

v v cos(v , v ) cosC, v v cos A, v v cos B

⇒uuruur= uur uur = − uur uur= − uuruur= −

Suy ra 0 3 2(cos A cos B cosC)≤ − + + nên được chứng minh.

⇔tan tanα β +tan tanβ γ +tan tanγ α =1

Đặt u ( 1 tan tan ; 1 tan tan ; 1 tan tan );v (1;1;1)= + α β + β γ + γ α =

F = 1 tan tan + α β + 1 tan tan + β γ + 1 tan tan + γ α ≤ 2 3

Suy ra max F 2 3= khi

A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện Û AB AC AD, ,

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

Vậy A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện.

uuur uuur uuur

Vậy 4 điểm ABCD không đồng phẳng Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một

Vậy

1 13

AH =

Câu 37:

Do M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC nên: M

;0;0 2

uuur uuur uuur

Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a

AB n

M

vậy hai mặt phẳng song song c) Ta có

Ta có vectơ pháp tuyến của 2 mp là n1=(3;5;2 ;) n2=(0; 2; 2- - )

Do không tồn tại k để n1=kn2

ur uur

nên 2 mặt phẳng cắt nhau + Nếu m=0, 2 mặt phẳng có PT

Ta có vectơ pháp tuyến của 2 mp là n1=(3; 3;2 ;- ) n2=(2; 2;0- )

a) Hai mặt phẳng song song

nên (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc nhau.

b) (P) (Q) có vectơ pháp tuyến làn lượt là n1=(1;2;2 ;) n2 =(2; 4;3- )

Mà A(2;3;5) thuộc (R) nên PT của (R) là:

14(x-2)+1(y-3)-8(z-5)=0 hay 14x+y-8z+9=0

Câu 50:

3 2

n m

m

m

m m

n

n m

n=

thì hai mặt phẳng trùng nhau.

n m

ì ïï

9( ) 3

3( ) 3

z z

uur uuur uuur

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:

ê uur uur

Vây M(0;0;2- 2); (0;0;2M + 2)