Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƯ PHẠM KHOA THỊ LOAN VẬN DỤNG PHÉP SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

KHOA SƯ PHẠM

KHOA THỊ LOAN

VẬN DỤNG PHÉP SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC

SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHAM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS VŨ QUỐC CHUNG

Lời cảm ơn

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Quốc Chung, người thầy đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trực tiếp giảng dạy chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học cũng như ban lãnh đạo khoa Sư phạm,

Đại học Quốc gia Hà Nội;

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn những ý kiến quý báu

đóng góp cho luận văn của thầy Nguyễn Duy Tráng – Phó hiệu trưởng trường Đại học Hải Phòng và các thầy cô trường THPT Marie- Curie thành phố Hải Phòng đã giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2009 Người thực hiện

MỞ ĐẦU

Tên đề tài: Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1 Lý do chọn đề tài

+) Theo lý luận dạy học thì bản chất của việc dạy học suy cho cùng là

thông qua hệ thống kiến thức giáo viên dạy cho học sinh cách suy nghĩ, cách tư duy, cách tiếp thu tri thức mới trên cơ sở những cái đã biết Trong dạy học phải rèn kĩ năng tư duy vì tư duy là điều kiện để người học lĩnh hội tri thức Tư duy tốt sẽ giúp người học luôn điều chỉnh để có trạng thái tâm lý tốt và có thái độ tích cực đối với học tập, đối với cuộc sống Tư duy phải luôn phát triển để tồn tại Tư duy không phát triển làm hạn chế sự tiến bộ Con người đủ thông minh

để tồn tại và con người cũng đủ thông minh để huỷ diệt, vì vậy cần những bộ

óc tỉnh táo để học tập và lao động Trong các kỹ năng tư duy thì kỹ năng tư duy sáng tạo là một trong những kỹ năng cần phát triển nhất Bởi vì tư duy sáng tạo là căn cứ vào những gì đã biết để tìm ra những cái mới , nó được biểu hiện ở bốn mặt: sự trôi chảy, sự linh hoạt, tính độc đáo và tính chi tiết Kho tàng tri thức của nhân loại là vô hạn, kiến thức được truyền thụ là có hạn, vì vậy trong dạy học phải luôn chú ý phát triển tư duy đặc biệt là tư duy sáng tạo cho học sinh để họ tự chiếm lĩnh kiến thức

+ Do đặc trưng bộ môn nên Toán học là một môn học đòi hỏi sự suy luận lôgic, sự trôi chảy, sự linh hoạt, sự độc đáo và tính chi tiết hơn tất cả các môn học khác Vì vậy khi dạy Toán người giáo viên phải luôn có ý thức rèn luyện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh từ khâu thiết kế bài giảng, chọn lựa hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập để đạt được mục tiêu đề ra

+ Hình học không gian là một phần kiến thức đòi hỏi rất nhiều sự liên tưởng giữa những điều đã biết trong hình học phẳng để tiếp cận những cái tương tự trong hình không gian, hơn thế nữa sự liên tưởng ngay giữa các kiến

khía cạnh này thì việc dạy học nhất là dạy bài tập hình học không gian lớp 11 trở nên rất lý thú vì nó vừa học mới - ôn cũ, vừa khám phá ra cái mới trên cơ

sở cái đã có bằng cách tương tự hoá cái khái niệm hình học, ví dụ: nếu ta coi tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian thì một loạt những định lý, những bài tập trong không gian sẽ có kết quả như trong mặt phẳng, ngoài ra cách suy luận tương tự cũng rất đa dạng và sáng tạo, từ một bài toán ở hình học phẳng nếu đặt các phép tương tự khác nhau giữa các khái niệm

ta sẽ có những kết quả khác nhau hay nói cách khác: Từ một bài toán hình học phẳng qua suy luận tương tự có thể trở thành nhiều bài toán không gian khác nhau Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học "Tích cực hoá hoạt động của người học" hiện nay

+ Mặc dù người thầy dạy Toán nào cũng hiểu là nếu vận dụng tốt mối liên hệ trong hình học phẳng và hình học không gian thì chất lượng dạy và học

sẽ nâng cao rất nhiều Tuy nhiên, để tiến hành khai thác hệ thống bài tập theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đòi hỏi phải có một sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức, về lý luận dạy học và về lôgic dạy học Thực tế cho thấy thời lượng dành cho chương trình thì có hạn mà dung lượng kiến thức thì nhiều, học sinh lại quên rất nhiều kiến thức trong hình học phẳng, vì thế một số giáo viên đã bỏ qua dùng phép suy luận tương tự Tuy nhiên, sau nhiều năm đứng lớp dạy về vấn đề này, tôi thấy rằng nếu sử dụng phép suy luận tương tự một cách thích hợp, kết hợp với các suy luận khác để dạy thì hiệu quả việc dạy

và học được nâng lên rất nhiều Trong cùng một thời gian, học sinh vừa được

ôn lại kiến thức cũ, đồng thời được khám phá ra những điều mới mẻ Kiến thức được chính bản thân người học tự phát hiện sẽ được nhớ lâu, và quan trọng

hơn là học sinh tìm thấy niềm vui, sự say mê trong học tập Vì vậy tôi lựa

chọn đề tài này để nghiên cứu phương pháp giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 thông qua phép suy luận tương tự theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bằng cách tìm lời giải hoặc thiết kế các bài tập hình học không gian từ các kết quả của các bài tập tương tự trong hình học phẳng, với

mong muốn góp phần nhỏ bé của mình vào việc đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay

+ Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà Toán học, tâm lý học, giáo dục học…

đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng dạy học hình học không gian ở một số trường THPT trong giai đoạn hiện nay, giai đoạn mà việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động của người học là vô cùng cấp thiết thì luận văn này xin được trình bày một ý tưởng rất hẹp và cụ thể là: nghiên cứu cách vận dụng phép suy luận tương tự vào việc dạy phần bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

3 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm ra biện pháp vận dụng phép suy luận tương tự trong việc dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho

Phải vận dụng phép suy luận tương tự như thế nào trong việc dạy

học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh?

7 Giả thuyết khoa học:

Bằng cách hướng dẫn học sinh khai thác và thiết lập những dấu hiệu tương tự trong giải bài tập hình học không gian lớp 11 sẽ góp phần phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh

8 Phương pháp chứng minh luận điểm:

+ Nghiên cứu tài liệu về phép suy luận tương tự, về tư duy sáng tạo;

+ Nghiên cứu hệ thống bài tập hình học không gian lớp 11; hệ thống bài tập hình học phẳng Phát hiện những bài tập có dấu hiệu tương tự với nhau Từ

đó nêu ra biện pháp hướng dẫn học sinh dự đoán phương pháp giải bài toán hoặc sáng tạo bài toán mới tương tự bài toán đã cho

+ Khảo sát việc dạy và học bài tập hình học không gian lớp 11 thông qua việc dự giờ và kết quả kiểm tra đánh giá học sinh

+ Sử dụng phiếu điều tra để biết được thực trạng của việc dạy và học bài tập hình học không gian lớp 11 ở trường THPT hiện nay

+ Thực nghiệm về việc vận dụng phép suy luận tương tự trên các lớp mình dạy ở một số giờ, so sánh đối chiếu với kết quả giờ dạy khi không vận dụng phép suy luận tương tự

+ Phương pháp phỏng vấn: Đưa ra các câu hỏi để phỏng vấn một số giáo viên và học sinh về quan điểm và cách thức sử dụng phép suy luận tương tự trong việc dạy và học hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

9 Dự kiến luận cứ:

+ Luận cứ lý thuyết:

+ Khái niệm suy luận + Các thành phần của suy luận + Khái niệm suy luận tương tự, bản chất và các loại tương tự + Giá trị nhận thức của tương tự

+ Khái niệm tư duy sáng tạo

+ Các mặt biểu hiện tư duy sáng tạo: Sự trôi chảy, tính linh hoạt,

sự độc đáo và tính chi tiết

+ Những thành tựu về lý luận dạy học: bản chất của quá trình dạy học là dạy cách tư duy thông qua các phép suy luận Dạy học là phải đi đôi với rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

+ Những thành tựu về tâm lý học dạy học + Định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới phương pháp dạy và học trong giai đoạn hiện nay

10 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1: Một số vấn đề về tư duy sáng tạo và suy luận tương tự

Chương 2: Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy bài tập hình học

không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY SÁNG TẠO

VÀ SUY LUẬN TƯƠNG TỰ 1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY

1.1.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý, phản ánh những thuộc tính bản chất, những

mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết

1.1.2 Các loại tư duy

Tuỳ theo góc độ nghiên cứu về tư duy mà người ta có ta có nhiều cách khác nhau để phân loại tư duy Theo mức độ sáng tạo của tư duy, người ta có thể chia tư duy thành hai loại: Tư duy Angôrit và tư duy Ơritxtic

1.1.2.1 Tư duy Angôrit

Là loại tư duy diễn ra theo một chương trình, một cấu trúc logic có sẵn theo một khuôn mẫu nhất định

1.1.2.2 Tư duy Ơritxtic

Là loại tư duy sáng tạo, có tính chất cơ động, linh hoạt không theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào cả và có liên quan đến khả năng trực giác, khả năng sáng tạo của con người

1.1.3 Tư duy sáng tạo

1.1.3.1 Định nghĩa:

+ Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả

+ Tư duy sáng tạo là căn cứ vào những gì đã biết để tìm ra những gì chưa biết

+ Sáng tạo cũng là tổng hợp các thái độ và khả năng giúp con người tạo

ra các ý nghĩ, ý tưởng hay hình ảnh sáng tạo

1.1.3.2 Những biểu hiện của tư duy sáng tạo

+ Tư duy sáng tạo thể hiện ở 4 mặt:

+ Trôi chảy trong tư duy là các thông tin được lưu giữ trong trí nhớ được

sử dụng một cách dễ dàng, thoải mái khi cần thiết

+ Thí dụ:

- Một học sinh có thể trình bày hết sức logic một bài toán chứng minh hình mà không cần nhìn vào hình vì trong trí nhớ, trong trí tưởng tượng của học sinh đó mọi quan hệ hình học trong bài toán đó đều rõ ràng, mạch lạc

c Tính độc đáo

+ Tính độc đáo được thể hiện ở sự phản ánh ứng không bình thường hoặc rất hiếm

ở đây ta có thể lấy ví dụ về việc nhà Toán học Gauxo khi còn bé

đã giải quyết bài toán: 1+2+3+…+100 hết sức bất ngờ và độc đáo để sau

đó thành bài toán nổi tiếng mang tên ông

d Tính chi tiết

+ Tính chi tiết được thể hiện ở số lượng những bổ sung cho yếu tố kích thích đơn giản để biến chúng thành phức tạp

+ Ví dụ:

- Từ một bài toán quen thuộc, thêm, bớt giả thiết, hoặc đặc biệt hoá, hoặc khái quát hoá, tương tự hoá để chúng trở thành nhiều bài toán khác hay, lạ hơn

1.1.4 Dạy học toán với việc phát triển tư duy

1.1.4.1 Mục tiêu chung của việc dạy học môn Toán

Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt nam, từ đặc điểm, vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu chung sau đây (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26):

 Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực

 Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống;

 Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên;

 Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn

1.1.4.2 Dạy học Toán với mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ

Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26)

Môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có

kế hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, theo Nguyễn Bá Kim , người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Do đặc

thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn Toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

 Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát

 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa

 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Tác dụng

phát triển tư duy của môn Toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:

 Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy

tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ

về quen,…

 Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn

cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều

 Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng,

từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể

hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi

hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá …

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hoá, so sánh,… do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệ này

Việc thực hiện một số trong các hoạt động trí tuệ trên có thể được minh hoạ qua ví dụ tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của đối số x

Thoạt tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x) Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với công thức sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa Việc khớp trường hợp riêng sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b) là một sự khái quát hoá; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hoá,nêu bật các đặc điểm bản chất

“hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như “một số hạng của tổng gấp đôi số hạng kia” Tiếp theo khái quát hoá là việc đặc biệt hoá công thức sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa cho trường hợp a = 2x, b = x để đi đến công thức sin(2x+x) = sin2xcosx + sinxcos2x Hoạt động phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức trên để biến đổi thành sin2x = 2sinxcosx; cos2x = cox2x – sin2x Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sinxcos2x – sin3x Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phat sin3x với kết quả biến đổi 3sinxcos2x – sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin3x = 3sinxcos2x – sin3x

Quá trình tư duy vừa trình bày có thể được minh hoạ bằng sơ đồ 1.1 Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm

cho học sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:

 Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hoá)

 Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2x+x) (khuyến khích đặc biệt hoá

Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ Việc rèn luyện cho

học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng

 Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng

chuyển hướng quá trình tư duy Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đó biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, cũng điểm xuất phát của quá trình đó biết lại trở thành đích của quá trình mới Nhờ đó học sinh không chỉ biết vận dụng hằng đẳng thức (a + b)3 =

a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 để biến đổi (x + 2y)3 ra dạng x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 mà cũng

có thể chuyển 1 + 3x + 3x2 + x3 thành (1 + x)3 Việc chuyển hướng quá trình tư duy không chỉ có nghĩa là đảo ngược quá trình này mà cũng có thể chuyển từ hướng này sang một hướng khác không nhất thiết phải ngược với hướng ban đầu Được rèn luyện tính linh hoạt dưới dạng này, học sinh có thể đặc biệt hoá một mệnh đề, chẳng hạn: “Tích của một số chẵn những thừa số âm luôn là một số dương” theo nhiều cách để được mệnh đề như:

 Tích của hai số âm luôn là một số dương (1)

 Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm luôn là một số dương (2)

 Bình phương của một số âm luôn là một số dương (3)

âm luôn là một số dương

Tích của hai số âm luôn là Luỹ thừa bậc chẵn của một

Lấy hai thừa số bằng nhau Lấy số mũ bằng 2

Sơ đồ 1.2

- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát

hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”,… đúng chỗ, đúng lúc

- Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những

điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận

Theo G Pôlya trong Toán học: Có thể gọi là tư duy có hiệu quả nếu tư duy

đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán

Bình phương của một số âm luôn là một số dương

vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng càng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao

Đôi khi, ngay cả trong trường hợp không giải được bài toán đang khảo sát, việc làm đó vẫn có thể coi là sáng tạo, vì những cố gắng của người giải có thể vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc anh ta

để lại một bài toán tuy không giải được nhưng cũng tốt vì đó gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả Ví dụ, người Hy Lạp lúc để lại cho ta bài toán về chia ba một góc là một việc rất sáng tạo, dù họ chưa giải được, vì trải qua hàng mấy trăm năm nay bài đó đó làm cho không biết bao nhiêu người tổn hao tâm trí Chúng ta nhận thấy bài toán này vạch ra một sự tương phản: mọi đoạn thẳng, mọi góc đều có thể chia thành hai phần bằng nhau, trong lúc đó chỉ

có thể chia thành ba phần một cách dễ dàng một số góc đó được chọn đặc biệt (chẳng hạn góc 900) (1) Tiếp tục con đường này, ta sẽ gặp những bài chia góc thành 5, 7 và 17 phần bằng nhau, có quan hệ với các bài toán giải các phương trình bằng căn thức và cuối cùng là với các phát hiện của Gauxơ, Aben và Galoa đó dẫn đến việc hình thành các định lý giúp ta giải được vô số bài toán

mà những người Hy Lạp, những người đầu tiên nghĩ ra bài toán chia ba một góc, cũng chưa hề nghĩ tới

Tóm lại thông qua dạy môn Toán, người thầy phải góp phần phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo cho học sinh

1.2 Tương tự

1.2.1 Bản chất và các loại tương tự

Trong logic học, tương tự được coi như phương pháp lĩnh hội tri thức mới,

là suy luận trong đó kết luận sự giống nhau của các dấu hiệu được rút ra trên

cơ sở giống nhau của các dấu hiệu khác của các đối tượng

1.2.1.1 Khái niệm: Tương tự là suy luận, trong đó kết luận về dấu hiệu thuộc

về đối tượng xác định nào đó được rút ra trên cơ sở giống nhau của đối tượng

*Thí dụ: Đường thẳng trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng trong

hình học không gian, vì trong hình học phẳng, đường thẳng là đường đơn giản nhất, trong hình học không gian, mặt phẳng là mặt đơn giản nhất

 Đường tròn tương tự với mặt cầu vì đều là quỹ tích của những điểm cách đều một điểm cho trước

Những trường hợp đặc biệt của cùng một khái niệm, cùng một vấn đề cũng thường được coi là tương tự với nhau Chẳng hạn hình tam giác có thể coi là t-ương tự với hình tứ giác, ngũ giác,… vì đều là những hình tạo thành bởi các đường gấp khúc kín

Tương tự được biểu diễn bằng sơ đồ:

và hiện tượng là một hệ thống hoàn chỉnh các dấu hiệu liên hệ qua lại với nhau Các dấu hiệu đó không tồn tại biệt lập mà nằm trong mối liên hệ tất yếu bên trong Nếu giải thích được các mối liên hệ cơ bản, sâu sắc giữa các dấu hiệu riêng biệt tác động qua lại với nhau thì có thể chuyển từ sự hiểu biết các dấu hiệu của một đối tượng sang sự hiểu biết các dấu hiệu của đối tượng khác trong quan hệ giống nhau nào đó và đối tượng đầu tiên Thí dụ, con người nhận thấy rằng, nếu một đối tượng có các dấu hiệu a, b, c, d, e thì đối tượng khác có các dấu hiệu a, b, c, d cũng có thể có dấu hiệu e

1.2.1.2 Các loại tương tự: Tùy theo dấu hiệu được rút ra trong kết luận thuộc

về thuộc tính hay quan hệ, người ta chia tương tự thành tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan hệ

a Tương tự theo thuộc tính

Nếu dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính thì suy luận gọi

là tương tự theo thuộc tính

Ví dụ: Hình thang trong hình học phẳng tương tự với hình chóp cụt trong hình học không gian, vì trong hình học phẳng, hình thang có thể tạo thành bởi việc cắt tam giác bằng một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, còn trong hình học không gian, hình chóp được tạo thành bởi việc cắt hình chóp bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy

b Tương tự theo quan hệ

Nếu dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ thì suy luận gọi là tương tự theo quan hệ

Ví dụ: Quan hệ giữa số 1 và số 2 giống như quan hệ giữa số 5 và số 10 vì

Song, kết luận của tương tự theo quan hệ có mức độ xác suất cao hơn Đó

là do, tương tự theo quan hệ dựa vào sự phân tích sâu sắc, có hệ thống sự giống nhau để vạch ra các mối liên hệ nhân quả giữa các phần tử riêng biệt của một

hệ Điều đó cho phép chuyển các mối liên hệ qua lại phát hiện được trong một

hệ thống sang một hệ thống khác có cơ cấu tương tự Thí dụ, chuyển quan hệ tồn tại giữa một số cặp số sang cặp số khác nhờ tỷ lệ thức được xây dựng đúng đắn, như 2:1 = 10: 5 Để có quan hệ của phần tử thứ nhất (số 2) của một hệ với phần tử thứ nhất (số 10) của hệ thứ hai giống như quan hệ của phần tử thứ hai (số 1) của hệ thứ nhất với phần tử thứ hai (số 5) của hệ thứ hai

Tuy kết luận của tương tự là xác suất, nhưng không được tuyệt đối hóa đặc trưng xác suất ấy Dựa vào tương tự người ta đó rút ra được nhiều luận điểm khoa học rất gần chân lý Thí dụ, các sự vật trong thực tế (cái cầu) được nghiên cứu bằng mô hình Mô hình sự vật tương tự với sự vật Nó cho phép nghiên cứu chất lượng và số lượng của đối tượng diễn ra trên “mẫu”, cho phép làm tăng hoặc giảm độ lớn của sự vật, làm cho quá trình nghiên cứu tiện lợi hơn

1.2.2 Giá trị nhận thức của tương tự

Tương tự có giá trị to lớn trong hoạt động thực tiễn, cũng như trong

nhận thức khoa học của con người Nó là một trong những phương pháp nghiên cứu và chiếm ưu thế ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức Với hình thức sử dụng đơn giản, phổ thông là hình thức sơ đẳng của nhận thức khoa học, nó tạo ra mầm mống sơ khai trong suốt quá trình nghiên cứu khoa học Ngay từ thời cổ xưa, tuy mới có một chút tri thức, con người đó biết dựa vào tương tự để lập luận về các đối tượng họ gặp trong thực tế Họ đó biết bắt đầu nghiên cứu các sự vật từ quan sát và so sánh Ngày nay, tuy khoa học đã phát triển, con người vẫn sử dụng so sánh để nhận thức hiện thực khách quan

Tương tự là phương tiện cụ thể hóa tư tưởng, là phương tiện giải

thích nội dung tư tưởng nhờ so sánh tư tưởng này với tư tưởng khác có cùng một số dấu hiệu chung Trong thực tế cái chung tồn tại trong cái riêng, được

phát hiện thông qua cái riêng Tư duy tương tự với liên hệ chặt chẽ với hiện thực Nhờ tương tự con người mới phát hiện được cái cụ thể, cái riêng và khái quát chúng thành cái chung, cái trừu tượng Cụ thể hóa tư tưởng, tương tự bổ xung cho tư duy tính mềm dẻo và làm giàu tư duy

Tương tự được xem như thủ thuật bổ trợ, là một trong những phương pháp của kho tàng phương pháp nhận thức Nó hòan tòan là

phương pháp vững chắc, thực tế để thu nhận tri thức mới Nó là thủ thuật dẫn nhà nghiên cứu tới dự đoán và phát hiện tri thức mới Nó cũng là thủ thuật để làm sáng tỏ và cụ thể hóa tri thức

1.3.3 Vai trò của tương tự trong Toán học

Toán học là một khoa học suy diễn Những vấn đề toán học, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm những suy luận diễn dịch Nhưng trong quá trình phát minh, sáng tạo toán học, suy diễn được gắn chặt với quy nạp và tương tự Thường phải dùng qui nạp và tương tự để đề ra giả thuyết, dự đoán về một định lý, về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết

Trong lịch sử toán học, có nhiều sự kiện lý thú chung quanh những giả thuyết được đề ra bằng qui nạp không hoàn toàn hoặc bằng tương tự Có những giả thuyết đó bị bác bỏ (vì là sai), có những giả thuyết đó được chứng minh là đúng, có những giả thuyết qua mấy trăm năm nay vẫn chưa được chứng minh hoặc bác bỏ; việc tìm cách chứng minh hoặc bác bỏ nhiều giả thuyết đó có tác dụng thúc đẩy toán học phát triển

Thí dụ: Tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian

Trên mặt phẳng hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giới hạn, còn

ba đường thẳng thì có thể tạo nên một tam giác Trong không gian ba mặt phẳng không thể tạo nên một vật thể có giới hạn, còn 4 mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện Quan hệ của tam giác đối với mặt phẳng cũng y như quan

hệ của tứ giác đối với không gian, vì cả tam giác và tứ diện đều được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản Sự tương tự là ở chỗ đó Từ đó ta có thể

dự đoán những tính chất của tứ diện thông qua các tính chất đó biết của tam

giác mặc dù không phải tính chất nào cũng có sự tương tự và không phải sự tương tự nào cũng khẳng định được là nó đúng

Danh từ “tương tự” bắt nguồn ở một từ Hi-lạp “a-na-lo-gi-a” Từ này có một nghĩa là “tỉ lệ” Thực vậy, hệ hai số 6 và 9 tương tự với hệ hai số 10 và 15,

vì tỉ số giữa những số tương ứng thoả mãn hệ thức 6:9 = 10:15

“Tính tỉ lệ” hay tỉ số giữa những bộ phận tương ứng mà chúng ta có thể thấy một cách trực quan trong những hình đồng dạng của hình học, gợi ý cho

ta một trường hợp về tương tự

Có thể là bạn sẽ rất muốn diễn tả mối tương quan giữa các hình phẳng và các vật thể không gian bằng một loại “tỉ lệ” nào đó, và nếu bạn chưa giải

Hình vẽ 1.3 quyết được thì hãy xem trong hình này ý nghĩa thông thường của vài ký hiệu (: và =) đã được biến dạng, theo hướng như trước đây, trong lịch sử ngôn ngữ,

từ “tỉ lệ” đã biến dạng thành từ “tương tự”

Thí dụ trên đây còn có ích ở một phương diện khác Sự tương tự, nhất là những sự tương tự chưa được giải thích đầy đủ, có thể có hai ý nghĩa Chẳng hạn như khi so sánh hình học phẳng và hình học không gian, trước hết ta thấy tam giác trên mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian, và sau đó tam giác tương tự với hình chóp Cả hai đều hợp lý và mỗi cái có ý nghĩa riêng của

nó Giữa hình học phẳng và hình học không gian có một số điểm tương tự, chứ không phải chỉ có một sự tương tự duy nhất

Hình vẽ 1.4

Sơ đồ trên chỉ rõ: xuất phát từ tam giác chúng ta có thể tiến lên đa giác hoặc bằng khái quát hoá, trở về tam giác đều bằng đặc biệt hoá, hoặc chuyển sang những vật thể không gian khác nhau bằng tương tự – tương tự trong một khía cạnh Và hãy nhớ rằng, đừng coi thường những sự tương tự lờ mờ, nhưng muốn cho chúng được coi trọng thì cần phải giải thích rõ ràng

1.2.4 Vai trò của suy luận tương tự trong việc giải một bài toán hình học không gian

Tương tự cùng với khái quát hoá, đặc biệt hoá và quy nạp là những suy luận

thuộc loại suy luận nghe có lý, nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giải một bài toán Theo G Pôlya, có bốn bước cơ bản để giải một bài toán, đó là:

Bước 1: Hiểu đề toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

1 Bài toán nói gì? Cái gì là dữ kiện? Cái gì phải tìm? Cái dữ kiện đã đủ

để xác định được cái phải tìm hay chưa? hay chưa đủ? hay thừa?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác?

Có thể tìm quan hệ giữa bài toán đã cho và một bài toán nào khác mà ta

đã biết cách giải không? Hay một bài toán mà ta có thể giải dễ dàng hơn?

Phải nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại, khi giải các bài toán phụ

Ngoài ra: Mọi dữ kiện của bài toán đã được sử dụng chưa?

2 Phát biểu các quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết

Biến đổi các yếu tố chưa biết: Thử đưa vào các ẩn mới, gần các dữ kiện của bài toán hơn

Hãy chỉ giải một phần bài toán đã thoả mãn một phần các điều kiện thôi: Khi đó cái chưa biết được xác định đến mức độ nào? (quỹ tích)

Tổng quát hoá Đặc biệt hoá Sử dụng sự tương tự

3 Kiểm tra lại từng bước, chỉ công nhận những điều thật rõ ràng hay đã được tính toán thật cẩn thận

4 Kết quả có đúng không? Vì sao? Có thể kiểm tra được không? Có con đường nào khác để đi đến cùng kết quả đó không? Có con đường ngắn hơn không? Trên con đường đã đi còn có thể "hái" thêm những kết quả nào khác?

Tóm lại: Trước hết phải hiểu bài toán yêu cầu tìm cái gì Thứ hai là phải nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái chưa biết và cái đã biết để tìm thấy cách giải, để vạch ra được một chương trình (dự kiến) Thứ ba là thực hiện cái chương trình đó Thứ tư là nhìn lại cách giải đã

thu được, một lần nữa nghiên cứu và phân tích nó Mỗi bước đều có tầm quan trọng của nó

Hình học không gian và hình học phẳng có nhiều khái niệm tương tự nhau nên khi giải bài tập hình học không gian có nhiều khi cần sử dụng suy luận tương tự Nó giúp ta quy lạ về quen, tìm ra kết quả mới, phương pháp giải mới trên cơ sở từ những cái đã có, đã biết Thí dụ từ các hệ thức lượng đã biết trong tam giác vuông ở hình học phẳng nhờ phép suy luận: Đặt tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện có góc tam diện vuông mà ta có nhiều (hệ thức lượng) trong tứ diện

Phép suy luận tương tự có mặt trong đủ bốn bước đối với việc giải không

ít bài toán hình không gian Từ bước tìm hiểu đề, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, nghiên cứu sâu cách giải Trong mỗi bước, luôn có câu hỏi: Bạn đã gặp bài toán tương tự như thế này chưa? Kết quả này là duy nhất chưa? Phương pháp này bạn đã gặp ở bài toán nào rồi? có thể áp dụng cho bài toán nào nữa? Có thể phát biểu bài toán này dưới dạng khác không? Từ bài toán này có thể thiết kế được một hay nhiều bài toán tương tự khác hay không? Trả lời được những câu hỏi này, bạn đã nắm chắc kiến thức, ngoài ra bạn còn

có cái nhìn tổng quát, xâu chuỗi về các kiến thức đã học và hơn thế nữa, bạn đã sáng tạo bởi vì: Theo nhà toán học Pháp A-đa-ma đã nói: “ Giữa việc giải một bài tập đại số hay hình học của người học sinh và sự phát minh, cái khác nhau chỉ là ở mức độ và chất lượng, bởi vì cả hai việc đó đều có chung một tính chất” Tính chất chung đó là sự sáng tạo

Từ đó ta có thể nói rằng: phép suy luận tương tự trong việc giải bài toán

hình học không gian có hai vai trò chính sau đây:

1.2.4.1 Dự đoán phương pháp giải bài toán từ lời giải một bài toán đã biết

(M, N,K lần lượt là trung điểm các cạnh BC,AC,AB)

ta đã sử dụng định lý Talet Vậy việc chứng minh tính chất trọng tâm G của tứ diện

CG BN

BG AM

AG

(M, N, K, E lần lượt là trọng tâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD),

(ABC)) ta cũng sẽ sử dụng định lý Talet? Và đó là phương pháp đúng

Ví dụ 2: Ta đã sử dụng định lý Pi tago khi tính độ dài đường chéo hình chữ

nhật khi biết hai kích thước Vậy để tính độ đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết ba kích thước ta cũng thử nghĩ cách dùng định lý Pitago xem sao?

Hình vẽ 1.6

1.2.4.2 Thiết kế một hay nhiều bài toán mới tương tự như bài toán đã cho

a Thiết kế bài toán hình học không gian từ bài toán tương tự trong hình học phẳng

Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán sau: Qua các đỉnh của tam giác ABC vẽ các

đường thẳng a, b, c lần lượt song song với các cạnh BC, CA, AB; các cặp đường thẳng (a;b), (b;c), (c;a) lần lượt cắt nhau tại M, N, P Chứng minh rằng

A, B, C là các trung điểm của các cạnh PM, MN, NP của tam giác MNP

Hình vẽ 1.7 Bằng suy luận tương tự như sau: coi tam giác ABC trong mặt phẳng tương tự như tứ diện ABCD trong không gian, các đường thẳng a, b, c tương

tự như các mặt phẳng (R),      ,  ,  lần lượt song song với các mặt đối diện

các đỉnh A, B, C, D của tứ diện, ta sẽ có bài toán tương tự như sau: Cho tứ diện

song với các mặt đối diện các đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD Các mặt (R),      ,  ,  đôi một cắt nhau tạo thành tứ diện MNPQ Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt của tứ diện MNPQ lần lượt là A, B, C, D

Hình vẽ 1.8

Ví dụ 2: Ta đã biết bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng tổng

bình phương độ dài hai kích thước, vậy bình phương độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật cũng bằng tổng bình phương độ dài ba kích thước?

Hình vẽ 1.9

Ví dụ 3: Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đường, vậy bốn đường chéo hình hộp cũng gặp nhau tại trung điểm của mỗi

Ví dụ: Xuất phát từ bài toán (ví dụ 2 trang 66 sách giáo khoa hình học 11) :

Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài

của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB Chứng minh :

+) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC)

+) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng

Nếu ta suy luận: Tứ diện SABC có SA = SB = SC trong không gian

tương tự như tam giác SAB có SA = SB trong mặt phẳng, Sx, Sy, Sz lần lượt

là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB tương tự

như Sx là phân giác góc ngoài của tam giác SAB thì ta có bài toán hình học

phẳng rất quen thuộc sau:

Cho tam giác SAB cân tại S, Sx là phân giác góc ngoài của tam giáctại

đỉnh S Chứng minh: Sx song song với BC

Hình vẽ 1.11

Ví dụ 2: Sau khi học sinh giải xong bài tập sau: Tứ diện ABCD Gọi G 1 , G 2 , G 3

lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB Chứng minh rằng:

9

1

3 2

trở về một định lý hết sức quen thuộc trong hình học phẳng đó là định lý về

đường trung bình của tam giác

Cho tam giác ABC gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC Ta có:

MN song song BC và MN =

2

1

BC

Kết luận: Tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo rất cần thiết cho con người

trong mọi suy nghĩ và hành động Những kỹ năng tư duy có thể được hình thành, được rèn luyện và được phát triển thông qua dạy học, nhất là thông qua dạy học môn Toán Do đặc trưng môn học, dạy học Toán gắn liền với dạy cách suy luận, trong các suy luận nghe có lý thì suy luận tương tự có vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyêt một số bài tập nhất là bài tập hình học không gian Nhiệm vụ của mỗi giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là phải không ngừng nâng cao chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm để ngày càng

có cách giảng dạy hay hơn, hiệu quả hơn Xuất phát từ đối tượng học sinh, nội dung chương trình, điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường mà trong từng thao tác dạy học, trong từng tiết học, trong từng bài học, từng chương… người thầy phải luôn có ý thức suy nghĩ, tìm tòi, học hỏi để thiết kế bài dạy sao cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, đồng thời phát triển khả năng độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó tạo niềm say mê, hứng khởi của học sinh trong học tập Và đó cũng chính là cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu đề tài

“vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh” mà tôi sẽ trình bày

ở các chương tiếp theo

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG PHÉP SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

2.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

2.1.1 Nội dung kiến thức của chương trình hình học không gian lớp 11

Chương trình hình học lớp 11 gồm ba chương: Chương một là các kiến thức tiếp tục và kết thúc phần hình học phẳng Đó là chương đề cập đến phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Phần hình học không gian được phân làm hai chương nói về các khái niệm mở đầu, quan hệ song song và quan

hệ vuông góc trong không gian Ở cuối cấp Trung học cơ sở, học sinh đã bước đầu làm quen với hình học không gian Sang lớp 11 phần hình học không gian được trình bày một cách hệ thống và có chứng minh tương đối đầy đủ và chặt chẽ Học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học không gian sau đây:

Các khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Các quan hệ cơ bản: quan hệ liên thuộc (điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng), quan hệ song song, quan

hệ vuông góc

Về các hình trong không gian, ở lớp 11 chỉ giới thiệu một số loại hình quen thuộc: đó là hình lăng trụ, hình chóp, chóp cụt và các trường hợp đặc biệt của chúng Về các hình đa diện nói chung và mặt tròn xoay, đặc biệt là mặt cầu, mặt trụ, mặt nón sẽ được tiếp tục giới thiệu ở lớp 12

Hai chủ đề quan trọng cũng được đề cập một cách chi tiết là khoảng cách và góc: khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song

song, giữa hai mặt phẳng song song ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

2.1.2 Yêu cầu về mức độ của chương trình

2.1.2.1 So với chương trình hình học trước đây, phần hình học không gian các

nội dung kiến thức hầu như được giữ nguyên Nó chỉ khác trước cách sắp xếp các nội dung học trong lớp 11 và lớp 12, cách trình bày các vấn đề lý thuyết và bài tập

2.1.2.2 Hệ thống bài tập có giảm tải so với trước Số lượng các bài tập trong

SGK không nhiều như trước và cũng không khó bằng

2.1.3 Những yêu cầu về dạy học hình học không gian lớp 11

Từ yêu cầu về mức độ của chương trình đã trình bày ở trên, học xong phần này, học sinh phải đạt những yêu cầu sau đây:

- Nắm được các điều kiện xác định mặt phẳng

- - Hiểu khái niệm hình chóp và tứ diện

- Biết cách xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng nào đó

2 Hai đường thẳng song

- Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

- Các tính chất của đường thẳng song song với một mặt phẳng và biết vận dụng chúng

để xác định thiết diện của các hình và giải được một số bài tập có liên quan

5 Phép chiếu song song

6 Véc tơ trong không

- Thế nào là một hình biểu diễn của một hình trong không gian và cách vẽ các hình biểu diễn

- Mục tiêu:

Học sinh nắm được các khái niệm, các phép toán

về véc và vận dụng chúng vào giải một số bài toán hình học về:

- Cần hướng dẫn học sinh biết cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng Vận dụng giải các bài toán

- Vận dụng giải một số bài tập có liên quan

2.1.4 Một số dạng bài tập thường gặp trong chương trình hình học không gian lớp 11

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng

- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng

- Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

- Chứng minh một số tính chất của hình chóp, hình lăng trụ

- Chứng minh đường thẳng song song (vuông góc, cắt nhau, chéo nhau) với đường thẳng, đường thẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng; mặt phẳng song song (vuông góc) với mặt phẳng

- Chứng minh một số đẳng thức véc tơ

- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa một điểm và một đường thẳng, giữa một điểm và một mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

- Tìm tập hợp điểm

2.1.5 Vai trò của bài tập toán trong dạy học hình học không gian

2.1.5.1 Bài tập giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ đồng thời hình thành kiến thức mới

Ví dụ +) Trước khi học về hai mặt phẳng song song, giáo viên có thể

cho học sinh tìm vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian? Từ đó học sinh có thể hình thành khái niệm: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung

được ôn lại cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đồng thời qua việc nhận xét phần chung của hình

2.1.5.2 Bài tập có tác dụng rèn luyện kĩ năng, kỹ xảo vận dụng lí thuyết vào những trường hợp cụ thể trong toán học cũng như trong thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát