Chuong 4. Ham nhieu bien - e

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI VÀ CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM HAI BIẾN TRÊN MỘT TẬP ĐÓNG BỊ CHẶN... Tập đóng closed set trong  là tập chứa tất cả các điểm biên của nó, 2ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ CỰC TR

4.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA (DEFINITIONS)

HÀM HAI BIẾN (FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)

cặp số thực có thứ tự ( , )x y trong tập  2

D D   với một số thực duy nhất được kí hiệu là f x y( , ) Tập D là miền xác định (domain) và tập

T  f x y x y D   là miền giá trị (range) của hàm f

Ký hiệu hàm hai biến: z f x y( , ) với ,x y là các biến độc lập và z là biến phụ thuộc

Ví dụ 1: Với mỗi hàm số sau, tính f(3, 2) và tìm miền xác định

Giải: Miền xác định của hàm số g :

với miền xác định D thì đồ thị của f

Đây là phương trình mặt cầu tâm O bán kính

3 Vì z  nên đồ thị của 0 g là nửa trên của

mặt cầu

HÀM SỐ BA BIẾN HOẶC NHIỀU BIẾN HƠN (FUNCTIONS OF THREE OR MORE VARIABLES)

( , , )x y z thuộc miền xác định D   với một số thực duy nhất, kí hiệu là 3

( , , )

f x y z

Ví dụ 5: Tìm miền xác định của f với f x y z( , , )ln(zy)xysinz

Giải: Hàm số xác định khi zy0 Vậy miền xác định của hàm số là:

D x y z  z y

(đây là tập các điểm nằm phía trên mặt phẳng z y)

1 2

( ,x x , , x thuộc miền xác định n) n

D   với một số thực duy nhất, kí

hiệu là z f x x( ,1 2, , x n)

Ví dụ 6: Một công ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác nhau để chế

biến một loại thực phẩm Nếu c là chi phí trên mỗi đơn vị sản phẩm và i x i

là số đơn vị sản phẩm được sử dụng của nguyên liệu thứ i thì tổng chi phí

C dùng cho nguyên liệu là hàm số n biến x x1, 2, , x : n

Cho f là hàm hai biến có miền xác định D chứa các điểm gần ( , )a b

Giới hạn của f x y( , ) khi ( , )x y dần về ( , )a b là L nếu với mỗi số

Giải: Với  0, ta cần tìm   sao cho: nếu 0 0 x2 y2  thì

33

Nếu f x y( , )L1 khi ( , )x y ( , )a b theo đường C1 và f x y( , )L2

khi ( , )x y ( , )a b theo đường C2 với L1 L2 thì

( , )lim( , ) ( , )

không tồn tại

Giải: Cho ( , )x y (0, 0) dọc theo đường thẳng y : x

4 2

2

f x y  khi ( , )x y (0, 0)

Vậy, giới hạn đã cho không tồn tại

Lưu ý:

 Các luật tính giới hạn (về tổng, hiệu, tích, thương) và Định lý kẹp

trong trường hợp một biến được mở rộng cho trường hợp hai biến

Ta nói f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi điểm ( , )a b trong D

Hàm đa thức (polynomial function) hai biến là một tổng các số hạng có dạng cx y m n, ở đó c là hằng số, m n, là các số nguyên không âm, ví dụ:

Giải: Hàm ( , )g x y xác định tại điểm (0, 0) nhưng không liên tục tại

(0, 0) vì

( , )lim(0, 0) ( , )

x y g x y

 không tồn tại (xem Ví dụ 2)

Vậy hàm ( , )g x y liên tục trên 2  

\ (0, 0)

4.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (DERIVATIVES AND

DIFFERENTIALS)

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN (PARTIAL

DERIVATIVES OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)

Cho hàm hai biến f x y( , ), giả sử chỉ có biến x thay đổi và cố định y

(yb) Khi đó, hàm f trở thành hàm một biến Đặt ( )g x  f x b( , ), nếu

g có đạo hàm tại a , ta gọi nó là đạo hàm riêng của f đối với x tại ( , ) a b

Nếu f là hàm hai biến, đạo hàm riêng của nó là các hàm f x, f y được xác định bởi:

QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA z f x y( , ):

1 Để tìm f x, xem y là hằng số và lấy đạo hàm f x y( , ) đối với x

2 Để tìm f y, xem x là hằng số và lấy đạo hàm f x y( , ) đối với y

22

Tương tự, ta cũng có công thức đạo hàm riêng đối với y và z

Tổng quát, nếu u là hàm n biến, u f x x 1, 2, , x n, đạo hàm riêng của

u đối với biến thứ , , i x là: i

ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES)

Nếu f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của nó là f x, f cũng là các y

hàm hai biến Ta có thể xét các đạo hàm riêng    x x, x y, y

Nếu hàm hai biến f có các đạo hàm riêng liên tục, thực hiện tương tự hàm

một biến, ta thiết lập được phương trình mặt phẳng tiếp xúc (tangent plane) với mặt z f x y( , ) tại điểm P x( , y , z ) là:

0 x( 0, 0)( 0) y( 0, 0)( 0).

zz  f x y xx  f x y yy

Rõ ràng những điểm trên mặt phẳng tiếp xúc càng gần tiếp điểm P thì khoảng cách từ điểm đó đến mặt z  f x y( , ) càng nhỏ Tức là, khi x thay đổi từ a đến a x, y thay đổi từ b đến b  thì số gia tương ứng của y

z là  z f a(  x b,  y) f a b( , ) và ta có ước lượng sau, được gọi là

xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của hàm z f x y( , ) tại điểm ( , )a b :

Định lí sau đây cho phép ta kiểm tra tính khả vi của hàm hai biến

ĐỊNH LÍ: Nếu các đạo hàm riêng f x, f y tồn tại gần ( , )a b và liên tục tại ( , )a b thì f khả vi tại ( , ).a b

Ví dụ 6: Chứng minh ( ,f x y)xe xy khả vi tại (1, 0) và tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị f tại điểm đó Dùng phương trình vừa tìm

VI PHÂN (DIFFERENTIALS)

Cho hàm hai biến khả vi z f x y( , ), ta định nghĩa các vi phân dx và dy

là các biến độc lập (có thể nhận giá trị bất kì) Khi đó, vi phân toàn phần

(total differential) dz được định nghĩa như sau:

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (THE CHAIN RULE)

hàm khả vi theo biến x y, , với xg t( ), y h t( ) là các hàm khả vi theo biến , thì z là hàm khả vi theo biến t và

hàm khả vi theo biến x y, , với x g s t( , ), yh s t( , ) là các hàm khả

Ví dụ 9: Cho ze xsin y, với xst2 và 2

n biến x x1, 2, , x n và mỗi x i là một hàm khả vi m biến t t1, 2, ,t m Khi đó, u là một hàm theo các biến t t1, 2, ,t m và

ĐẠO HÀM HÀM ẨN (IMPLICIT DIFFERENTIATION)

 Cho y f x( ) là hàm khả vi theo x và phương trình dạng F x y  ( , ) 0

Sử dụng Quy tắc dây chuyền, lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến x ta được:

x

y

F dy

 Cho z  f x y( , ) và phương trình F x y z  Nếu ( , , ) 0 F và f khả

vi, theo Quy tắc dây chuyền:

F

F x

F

z x

F F

f a b gọi là giá trị cực đại địa phương (local maximum value)

 Hàm hai biến f có cực tiểu địa phương (local minimum) tại

Nếu các bất đẳng thức trên đúng cho mọi ( , )x y thuộc miền xác định

của f ta nói f có cực đại tuyệt đối / cực tiểu tuyệt đối (absolute

Lưu ý: Khái niệm ( , )x y gần ( , )a b có nghĩa: với mọi ( , )x y thuộc đĩa

nào đó có tâm ( , )a b

ĐỊNH LÍ: Nếu f có cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương tại

( , )a b và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại thì f a b  x( , ) 0 và

Từ định lí trên ta thấy nếu f có cực đại địa phương hay cực tiểu địa

phương tại ( , )a b thì ( , )a b là điểm tới hạn của f Tuy nhiên tại điểm tới

hạn, hàm có thể có cực đại địa phương, cực tiểu địa phương hoặc không có

( , ) 4, ,

Do đó: (1, 3) f  là giá trị cực tiểu địa phương và cũng là giá trị cực tiểu 4

tuyệt đối của f

Vậy, mỗi đĩa với tâm (0, 0) chứa các điểm mà f có thể nhận giá trị dương

cũng như giá trị âm, do đó f(0, 0)0 không thể là giá trị cực trị của f

hay f không có giá trị cực trị.

TIÊU CHUẨN ĐẠO HÀM CẤP HAI (SECOND DERIVATIVES

ii Nếu D 0 thì tiêu chuẩn trên không cho kết luận gì về điểm ( , )a b

Ví dụ 3: Tìm giá trị cực đại địa phương, giá trị cực tiểu địa phương và

điểm yên ngựa của hàm số f x y( , )x4  y4 4xy1

Giải: Ta có: f x 4x34 ,y f y 4y34 x

Cho f x 0, f y 0, ta tìm được các điểm tới hạn (0, 0), (1, 1) và ( 1, 1)

CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài toán tìm cực trị địa phương của hàm hai biến z f x y( , ) với điều kiện ( , ) 0

g x y  gọi là bài toán tìm cực trị có điều kiện (hay cực trị ràng buộc)

Trường hợp 1: Nếu từ điều kiện g x y  có thể giải tìm được ( , ) 0

  là giá trị cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho

Trường hợp 2: Nếu từ điều kiện g x y  ta không thể giải tìm được ( , ) 0 y

theo x (hay x theo y), khi đó ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE (METHOD OF

LAGRANGE MULTIPLIERS): Tìm các giá trị cực trị của hàm số

( , )

z f x y với điều kiện g x y ( , ) 0

1 Viết hàm Lagrange: L x y( , , )  f x y( , )g x y( , ) với tham số 

chưa xác định

2 Tìm các điểm tới hạn của L, tức các điểm ( , , )x y  thỏa L  x 0,

a Nếu D 0 thì f a b( , ) là giá trị cực tiểu có điều kiện

b Nếu D 0 thì f a b( , ) là giá trị cực đại có điều kiện

z M 

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI VÀ CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM HAI BIẾN TRÊN MỘT TẬP ĐÓNG BỊ CHẶN

Tập đóng (closed set) trong  là tập chứa tất cả các điểm biên của nó, 2

ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CHO HÀM HAI BIẾN (EXTREME

VALUE THEOREM FOR FUNCTIONS OF TWO VARIABLES):

Nếu f liên tục trên một tập đóng 2

D   thì f đạt được giá trị cực đại tuyệt đối và giá trị cực tiểu tuyệt đối trên D

Phương pháp tìm giá trị cực đại tuyệt đối và giá trị cực tiểu tuyệt đối của

một hàm hai biến f :

Tìm giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của hàm số f liên tục trên một

tập đóng và bị chặn D:

1 Tìm các giá trị của f tại các điểm tới hạn của f trong D

2 Tìm các giá trị cực trị của f trên biên D

3 Giá trị lớn nhất / nhỏ nhất của hai bước trên là giá trị cực đại tuyệt

đối/ cực tiểu tuyệt đối của f trên D

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho các đạo hàm riêng bằng 0 ta tìm

được điểm tới hạn là (1, 1) thuộc D Ta

 Cuối cùng, trên L ta có 4 x  và0 f(0, )y 2 , 0y  y : giá trị lớn 2nhất là f(0, 2) và giá trị nhỏ nhất là4 f(0, 0) 0

Do đó, trên biên D, giá trị lớn nhất là 9, giá trị nhỏ nhất là 0

Vậy giá trị cực đại tuyệt đối của f trên D là f(3, 0) , và giá trị cực 9

tiểu tuyệt đối của f trên D là f(0, 0) f(2, 2) 0

4.5 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (APPLICATIONS TO

ECONOMICS)

HÀM SẢN XUẤT COBB – DOUGLAS (COBB - DOUGLAS

PRODUCTION FUNCTION)

Trong kinh tế, để nghiên cứu sự phụ thuộc của một đại lượng nào đó vào các nhân tố ảnh hưởng khác nhau, ta thường sử dụng hàm số nhiều biến Chẳng hạn,

 Lượng sản phẩm Q của một nhà máy không chỉ phụ thuộc vào khối

lượng lao động L mà còn phụ thuộc vào vốn K, tức: Q f L K( , )

 Chi phí C cần để nhà máy sản xuất 3 loại sảnphẩm khác nhau với sản

lượng Q Q Q của công ty là một hàm ba biến: 1, 2, 3 CC Q Q Q 1, 2, 3 Dưới đây giới thiệu một trong những hàm hai biến có nhiều ứng dụng trong kinh tế: hàm sản xuất Cobb - Douglas

Năm 1928, Charles Cobb và Paul Douglas giới thiệu một mô hình phát triển kinh tế Mỹ trong những năm 1899 - 1922 Dưới góc nhìn đơn giản nhưng tỏ ra xác thực và đáng giá, họ chỉ xem xét nền kinh tế bởi chỉ số tổng sản phẩm được sản xuất ra Nó phụ thuộc vào 2 yếu tố: khối lượng lao động và tổng tiền vốn đầu tư Hàm số được họ sử dụng là:

Cobb và Douglas sử dụng các dữ liệu kinh tế

được chính phủ công bố để thiết lập bảng

bên Họ chọn năm 1899 làm mốc và P L K, ,

trong năm 1899 được gán bằng 100 Giá trị

của những năm khác được biểu diễn theo

phần trăm của năm 1899 Từ các số liệu bên,

họ đã tìm được hàm số:

0.75 0.25

Sử dụng mô hình trên, ta có thể tính tổng giá

trị sản phẩm trong năm 1910 và 1920 như

nhiều trong sản xuất với quy mô rộng lớn: từ

các công ty tư nhân đến toàn bộ nền kinh tế

Nó được gọi là hàm sản xuất Cobb - Douglas

ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN ĐO LƯỜNG SỰ

THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI

Trong phân tích kinh tế, ta giả sử biến phụ thuộc z (còn được gọi là biến

nội sinh) phụ thuộc vào các biến độc lập x x1, 2, , x (còn được gọi là các n

biến ngoại sinh) dưới dạng hàm số nhiều biến: z f x x( ,1 2, , x n)

Gọi sự thay đổi của z là  khi chỉ có z i x thay đổi một lượng nhỏ i  : x i

 Nếu bản thân x là biến nội sinh phụ thuộc vào một hay nhiều biến i

độc lập, để đo lường lượng thay đổi của z theo sự thay đổi của x ta i

sử dụng đạo hàm của hàm hợp

Ví dụ 1: Cho hàm cầu: Q f P P P( ,1 2, 3) 1000 0.5  P12 2P220.4P32 Giả sử mức giá của các loại sản phẩm là: P1 20,P2 20,P3 10

Sản lượng biên theo các mức giá là:

P  P  thì lượng cầu Q tăng 80 đơn vị; tăng P lên 11 và giữ 3

nguyên P1 20, P2 20 thì lượng cầu Q giảm 8 đơn vị

i

x z

Hệ số co dãn của đại lượng z theo đại lượng x là số đo độ thay đổi tương i

đối tính bằng phần trăm của z khi x tăng tương đối lên 1% và các biến độc i

lập khác không thay đổi

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ

Tùy theo các mục tiêu của bài toán trong kinh tế, ta sử dụng cực trị để tìm lời giải cho bài toán tối đa (chẳng hạn tối đa lợi nhuận), bài toán tối thiểu (chẳng hạn tối thiểu chi phí) Dưới đây là một số bài toán

Bài toán 1 Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa

Một công ty sản xuất một số loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do thị trường quy định)

Gọi P i i ( 1, 2, , )n là giá bán của sản phẩm thứ i với sản lượng Q và i

 1, 2, , n

CC Q Q Q là hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian nào đó Tìm số lượng sản phẩm Q i i ( 1, 2, , )n cần sản xuất của các loại sản phẩm trong đơn vị thời gian đã cho để công ty đạt lợi nhuận tối đa

Giải:

Ta có doanh thu của công ty là RPQ1 1 P Q2 2  P Q n n

Khi đó hàm lợi nhuận là  R C

Tìm số lượng sản phẩm Q i i ( 1, 2, , )n cần sản xuất để lợi nhuận tối đa tức là tìm Q Q1, 2, ,Q n sao cho Q i 0 (i1, 2, , )n để hàm  đạt cực đại tuyệt đối

Ví dụ 3: Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm có số lượng sản phẩm

Tìm số lượng sản phẩm Q Q1, 2 cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa

Giải: Hàm doanh thu của công ty là: R Q Q 1, 2PQ1 1P Q2 2

Hàm lợi nhuận: Q Q1, 2PQ1 1P Q2 2 C Q Q 1, 2,Q1 0,Q2  0

 đạt cực đại địa phương tại (15, 30) và (15, 30) 1575.

Vì  là đa thức hai biến bậc hai nên max (15, 30)1575

Vậy công ty có lợi nhuận tối đa là 1575 nếu mức sản xuất Q1 15,Q2 30

Bài toán 2 Tìm mức phân phối sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa

Giả sử công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên nhiều thị trường tách biệt Công ty cần quyết định phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho các thị trường để đạt được lợi nhuận tối đa

Để đơn giản trong trình bày, ta giả sử sản phẩm của công ty có hai thị trường tiêu thụ tách biệt với hàm cầu lần lượt là P1 P Q1 1 ,P2 P Q2 2trong đó Q Q là số lượng sản phẩm được tiêu thụ trên mỗi thị trường; 1, 2hàm tổng chi phí: C C Q( ) với QQ1Q2 (tổng sản phẩm trong một đơn vị thời gian)

Hãy tìm mức phân phối sản phẩm trên hai trị trường để công ty đạt lợi nhuận tối đa

Giải: Doanh thu của công ty trên các thị trường là:

Sử dụng điều kiện đủ của cực trị ta sẽ tìm được mức phân phối sản phẩm cho các thị trường để lợi nhuận tối đa

Ví dụ 4: Giả sử công ty có hai trị trường với lượng cầu như sau:

Tìm mức cung Q Q để lợi nhuận của công ty đạt tối đa 1, 2

Giải: Giả sử công ty cung cấp cho các thị trường với số lượng sản phẩm

Lợi nhuận của công ty xác định bởi:  R1R2 C Q( )

Điểm tới hạn của hàm  được xác định bởi hệ phương trình:

Vì  là đa thức hai biến bậc hai nên max (25, 30)10005

Vậy, để tối đa lợi nhuận công ty cần cung cấp cho thị trường thứ nhất 25 đơn vị sản phẩm với đơn giá P 1 225, cung cấp cho thị trường thứ hai 30đơn vị sản phẩm với đơn giá P 2 275

Bài toán 3 Tối đa lợi ích của người tiêu dùng

Giả sử một người tiêu dùng dành số tiền m để chi mua hai mặt hàng với số lượng lần lượt là x, y với đơn giá lần lượt là P P Mức hữu dụng do tiêu 1, 2dùng mà hai hàng hóa này đem lại là ( , )u x y Hàm ( , ) u x y được gọi là

số lượng bao nhiêu để đạt lợi ích cao nhất?

Giải: Người tiêu dùng cần tìm x, y để tối đa hàm hữu dụng ( , )u x y với

ràng buộc P x1 P y2 m

Lập hàm Lagrange: Lu x y( , )P x1 P y2 m

Từ điều kiện cần của cực trị tại điểm tới hạn x y, , ta có:

1 2

P  P 