Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Định nghĩa.. ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN.. HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ. a) Hàm sản xuất[r]

HÀM

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z

x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

:

®

= a

( )

R = x y x y Î R va D Ì R

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z

x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

Tập D là miền xác định (domain)

Miền giá trị (range) của hàm f

T  f x y x y D

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

Khái niệm Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các

cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực.

Ví dụ 1 Với D = ¡ 2 và f x y( , )  x3  x2  xy.

Miền xác định của hàm số là cả không gian ¡ 2

Ứng với cặp số ( , )x y  (2, 1)  D, ta có z  f (2, 1)   23   ( 1)2  2.( 1)   5

Ứng với cặp số ( , )x y  (3, 2) D, ta có z  f (3,2)  33  22  3.2  29.

Ví dụ 2 Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định

a)  ,  1

1

x y

f x y

x

 



, ln

f x y  x y x

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

A) Ta có:

Tập xác định:

b) Ta có:

Tập xác định:

3, 2 3 2 1 6



 

 , 1 0, 1

D  x y x  y   x 

   2 

3, 2 3ln 2 3 0

 

,

D  x y x  y

VÍ DỤ 1

Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau:

2

KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D

Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với một số thực u

x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực

:

x y z u f x y z

®

= a

, , : , ,

ĐỒ THỊ.

Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì

đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho

 ,   , 

ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

f x y  x y  y

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

,

f x y  x  y

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

f x y  x  x  y

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

f x y  x  e 

HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ

a) Hàm sản xuất

b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận c) Hàm lợi ích

d) Hàm cung, hàm cầu

VÍ DỤ 2

Tìm các giới hạn sau

Sinh viên tự tham khảo thêm

2

2 3 2

2 2

3

x y

x y



GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu

Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D

Chú ý

Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trên miền xác định của nó

       

x y a b f x y f a b

VÍ DỤ 3.

Tìm các khoảng liên tục của hàm số:

f x y







ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D

Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x

Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x

Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y

Ký hiệu:

ĐẠO HÀM RIÊNG

Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0)

Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.

0

0

0

0

f f

f f

®

®

-¶

-¶

-VÍ DỤ 4.

Cho hàm số

Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)

Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số)

3

3