Toán cao cấp chương 4 hàm nhiều biến đại học UEH Thầy Vân

Présentation PowerPoint 1 CHƢƠNG IV HAØM NHIEÀU BIEÁN 4 1 Khaùi nieäm y = f(x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ) 4 2 Ñaïo haøm rieâng cuûa y = f(x 1 ,x 2 , , x n )            i i 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 i.

CHƯƠNG IV HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Khái niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn)

4.2 Đạo hàm riêng của y = f(x1,x2,…, xn)

x x

(f ) ( f) f f

2) 2)

2) Cách tính đạo hàm riêng : thực chất là tính đạo hàm

của hàm một biến (khi ta xem các biến số kia là hằng số

CHƯƠNG IV HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1.2 cho hàm:

Đề thi K.37.Hàm f(x,y) nào sau đây thỏa phương trình

A f(x,y) = x2  y2 B f(x,y) = ln(x.y)

C f(x,y) = x y  y x D Cả ba câu trên đều sai

Giải: Xét

2 Đạo hàm riêng cấp cao 2.1 Khái niệm y = f(x1,x2,x3,….,xn)

''

x x

(f ) ( f) f f

2.2 Tính chất (Định lý Schwarz): Nếu các đạo hàm

riêng cấp hai là liên tục thì chúng khơng phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm  chúng bằng nhau

2 Đạo hàm riêng cấp cao Bài 2.2 Cho hàm

àn

3 Vi phân tịan phần 3.1 Định nghĩa:

df(x,y) f dx f dy,d f(x,y) f d x 2f dxdy f d y

Bài toán 3: Tính vi phân toàn phần :

Tìm du

1) u x 2 2y

2) u arctg x y x y 3) u x y z 2

Giải: 1) u 2 , x u 2 ln2y , Vậy du 2 x dx 2yln2.dy

4.Cực trị của hàm nhiều biến 4.1 Cực trị địa phương

Tại Mo (0,0) Ma trận Hesse : 16 0

H

32 0 2

H

 Đề thi :Hàm u f x y ( , ) x 3 xy y 3

A f Đạt cực tiểu địa phương tại điểm (1/3,1/3)

B) f Đạt cực đại địa phương tại điểm (0,0)

C) f Đạt cực đại địa phương tại điểm (1,3)

D Đạt cực đại địa phương tại điểm (1/3,1/3)

4 Cực trị tịan cục Bài 4.2 Cho hàm

Giải hệ phương trình :

Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm M bất kỳ

 Đề thi : Hàm u f x y ( , ) 2 x 2 3 y 4 thì

A f có cực tiểu toàn cục tại (0,0)

B f không có điểm dừng

C Vì

2 0

H tại (0,0) nên f không đạt cực trị tại (0,0)

D f có điểm dừng tại (0,0) nhưng không đạt cực trị tại

(0,0)

3 Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thực :

C1: Bài toán tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc

( , )

x (hay x theo y) và thế vào f Từ đó, bài toán đưa về việc

tìm cực trị của hàm một biến

C2ù: Tìm cực trị hàm f(x, y) với ràng buộc

g(x, y) = go ( giả sử g0 > 0) Trước tiên, ta lập hàm Lagrange :

( gọi là nhân tử Lagrange)

Điều kiện cấp 1 : Nếu L đạt cực trị địa phương tại (xo,yo,

o ) thì L x ' 0, L y ' 0 và L ' 0 hay dL 0 tại (xo, yo,

Điều kiện cấp 2 :

Ta định nghĩa Hesse bao như sau :

 Nếu dL(xo, yo, o) = 0 và H 2 0 H 3 0 thì L đạt cực đại địa phương tại (xo, yo, o )

 Nếu dL(xo, yo, o) = 0 và H 2 0 , H 3 0 thì L đạt cực tiểu địa phương tại (xo, yo, o )

Bài toán 5: Tìm cực trị có điều kiện của các hàm :

Hàm đạt cực đại địa phương có điều kiện tại (2,3/2)

+Tương tự hàm đại cực tiểu địa phương có điều kiện tại 3/2)

(-2,-Ứng dụng giải bài tốn kinh tế Bài toán:1

Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị trường riêng biệt Giả sử các hàm cầu trên 2 thị trường 1 và 2 lần lượt là:

QD1 = 310 - P1, QD2 = 235 – 1/2P2hàm tổng chi phí là C(Q) = Q2 + 30Q + 20

Trong đó Pi là đơn giá trên thị trường thứ i, i = 1, 2 ; Q là tổng sản lượng

Giải : Ta có : 9 L 1/3 1/3 K L 0,03 K

1/3 / 3 L 2/3 K 1; / 3 L 1/3 K 2/3 0,03

Ta có ma trận Hesse :

Bài toán:2 (Bài tập số 8-Trang 267)

Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một loại sản

phẩm là : R C PQ wL rK

trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là

lượng lao động, w là tiền lương của một lao động, K là

tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:

1/3 1/3

Q L K w 1, =0,03 r , P 9

Xác định lượng lao động L, lượng vốn K để công ty có lợi

nhuận cao nhất

Bài tốn:3 (Bài tập số 21, trang 272)

Xác định lượng lao động L, lượng vốn K của một xí nghiệp

để cực tiểu hóa chi phí C(L,K) = wL + rK Trong đó w =

800 là tiền lương cho mỗi lao động, r = 0,02 là lãi suất của

vốn vay Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Qo = 1000 đơn vị

sản phẩm và hàm sản phẩm là :Q = F(L,K) = L1/2K1/2

Giải :

Hàm Lagrange : F (L,K, ) = 800L + 0,02K + (Qo –

2 (1600) 1/2 1/2

1

2

2 (0,04) 1/2 1/2

Bài tốn 4: Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu

dùng tại cuối hai thời kỳ 1 và 2 là C1 và C2 như sau :

= C C1 2 Giả sử lãi suất tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,01,

tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ 1 là I=1000 Giả sử ta có

C r là thời giá của C2 tại cuối thời kỳ thứ 1)

Tìm C C để cực đại hóa hàm lợi ích Chọn câu đúng 1, 2

A (505,500) B (500,510)

C (500,505) D Một kết quả khác